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    同類相食對具有密度制約項種群模型的動力學影響

    2020-05-13 05:20:26藺小林劉宗英李建全
    陜西科技大學學報 2020年2期
    關(guān)鍵詞:同類平衡點全局

    藺小林, 劉宗英, 朱 雪, 李建全

    (陜西科技大學 文理學院, 陜西 西安 710021)

    0 引言

    近年來,人們發(fā)現(xiàn)同類相食現(xiàn)象是許多種群共有的自然現(xiàn)象.Bazazi S等[1]研究了沙漠蝗蟲在大規(guī)模遷移中受到同類相食行為的影響;Carl Smith等[2]研究了硬骨魚類間存在的同類相食現(xiàn)象;Gabriel和Bosch提出了同類相食具有調(diào)節(jié)生態(tài)規(guī)模的潛力,同時對物種的生存具有穩(wěn)定調(diào)節(jié)作用[3-5].

    在生態(tài)環(huán)境中,幾乎所有的種群生長都具有階段結(jié)構(gòu),階段結(jié)構(gòu)模型更能表現(xiàn)出物種復雜的動力學性態(tài)[6-9].在1990年,Aiello和Freedman[10]討論了一類具有幼年和成年兩個階段的種群增長模型,得到了系統(tǒng)正平衡點全局穩(wěn)定的充分條件.陳蘭蓀和王東達曾系統(tǒng)地介紹了具有階段結(jié)構(gòu)種群的動力學模型的一些研究成果[11].Kang等[12]對于卵會被成熟個體所吞噬的同類捕食模型進行了研究:

    發(fā)現(xiàn)了此類同類相食行為會促進種群個體內(nèi)部的平衡,即種群存活平衡點的穩(wěn)定性[12].因此,將同類相食考慮到階段結(jié)構(gòu)模型中具有重要的現(xiàn)實和實際意義[13-15].

    本文在Kang等[12]提出模型的基礎(chǔ)上,假設(shè)同類相食發(fā)生于種群成長階段的幼蟲和成蟲之間,即成蟲會因存活需要而捕殺幼蟲,以降低成蟲的死亡率,考慮到成蟲具有密度制約項[16],在實際中常認為成蟲之間存在種內(nèi)競爭和資源競爭,從而成蟲的死亡率比較快,即死亡率應(yīng)遵循logistic型.同時幼蟲的死亡來自于自然死亡和成蟲的捕殺兩個方面,建立一類具有兩階段結(jié)構(gòu)的同類相食模型.

    1 模型及正不變集

    本文討論以下具有兩階段結(jié)構(gòu)(幼年種群、成年種群)的同類相食模型:

    (1)

    其中J(t),A(t)分別表示t時刻幼年種群、成年種群的數(shù)量,b為不存在幼年種群制約情形下每個成年種群的繁殖率,α為單個成年種群對幼年種群的捕獲率,μ1為單個幼年種群的自然死亡率,β為幼年向成年種群的轉(zhuǎn)化率,μ2為單個成年種群在不捕殺幼年種群情形下的死亡率,ε1為幼年種群對其出生率的制約系數(shù),ε2為成年種群捕殺幼年種群后自身死亡率減少的系數(shù),δ表示密度制約下成年個體的死亡率系數(shù).除α,ε2外,其它所有參數(shù)都為正數(shù).當α>0,ε2>0時,表示成蟲會對幼蟲進行捕殺;當α=ε2=0 時,表示沒有同類相食行為,模型變?yōu)?/p>

    (2)

    其次,由模型(1)的第一個方程得

    其中

    這意味著對于任意小的ε>0,存在T>0,使得當t>T時JT時,由模型(1)的第二個方程有

    其中

    因此,區(qū)域D1={(J,A):0≤J≤J1,0≤A≤A1}為模型(1)的一個正不變集,其中

    對于模型(2)

    因此,區(qū)域

    是模型(2)的一個正不變集.

    2 無同類相食時模型(2)的動力學性態(tài)分析

    本節(jié)分析無同類相食情形下(即α=ε2=0)模型(1)的動力學性態(tài),對模型(2)直接求解方程組

    (3)

    可得方程組(3)的正解即對應(yīng)模型(2)的平衡點.

    由模型(2)的第一個方程可得

    (4)

    當J≠0時,將上式代入到模型(2)的第二個方程可得

    (5)

    再將方程(4)代入到上式可得

    (μ1+β)[(μ1+β)(1+ε1J)δJ+μ2b].

    由F(J)直接計算可得

    F(0)=b[βb-μ2(μ1+β)].

    因此,總結(jié)以上推理,關(guān)于模型(2)平衡點的存在性有如下敘述.

    關(guān)于模型(2)平衡點的局部穩(wěn)定性有:

    定理2 對于模型(2),種群滅絕平衡點O(0,0),當βb≤μ2(μ1+β)時,在集合D2內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的,當βb>μ2(μ1+β)時是不穩(wěn)定的.種群存活平衡點E0(J0,A0)只要存在,在集合D2內(nèi)就一定是局部漸近穩(wěn)定的.

    證明:由模型(2)在O(0,0)處的Jacobi矩陣可知,平衡點O(0,0)當βb<μ2(μ1+β)時是穩(wěn)定的,當βb>μ2(μ1+β)時是不穩(wěn)定的,當βb=μ2(μ1+β)時是高階奇點.

    為了分析平衡點O(0,0)當βb=μ2(μ1+β)時在區(qū)域D2上的穩(wěn)定性,做變換

    (6)

    則模型(2)可變?yōu)?/p>

    (7)

    其中

    X=β(μ22ε1+δβ);Y=μ2(βε1b-μ22ε1-2δβ);

    Z=μ2β2(δ-ε1b);W=β(μ22bε1-βb2ε1-2μ22δ).

    系統(tǒng)(7)的線性部分滿足局部中心流形存在的條件,因此設(shè)系統(tǒng)(7)在原點的局部中心流形為v=h(u)=au2+o(u3)對它兩邊關(guān)于t求導得v′=[2au+o(u2)]u′并結(jié)合系統(tǒng)(7)可得

    將上式代入系統(tǒng)(7)的第一個方程,得到中心流形上的解滿足

    由上式的第一項次數(shù)為偶數(shù)可得,O(0,0)是系統(tǒng)(7)的鞍結(jié)點.進一步,根據(jù)變換(6)可知,O(0,0)在集合D2上是局部漸近穩(wěn)定的.

    綜上所述,當βb≤μ2(μ1+β)時,平衡點O(0,0)在集合D2上是局部漸近穩(wěn)定的.

    模型(2)在E0(J0,A0)處的Jacobi矩陣為

    利用J0和A0滿足的方程組(3),可得

    于是

    由方程(5)可得

    (μ1+β)(μ2+δA0).

    將方程(4)代入上式,進一步可得

    (μ1+β)(μ2+δA0)=(μ1+β)(μ2+δA0)

    因此,平衡點E0(J0,A0)只要存在,就一定在集合D2內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的.

    定理3 種群滅絕平衡點O(0,0)在集合D2內(nèi)全局漸近穩(wěn)定;平衡點E0(J0,A0)只要存在,就一定在集合D2內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

    證明:為了證明種群滅絕平衡點O(0,0)在D2上的全局穩(wěn)定性,定義Lyapunov函數(shù)為L1=βJ+(μ1+β)A,則L1沿著模型(2)的解的全導數(shù)為

    為了證明種群存活平衡點E0(J0,A0)存在時的全局穩(wěn)定性,首先將模型(2)變形為

    (8)

    其次,定義關(guān)于E0(J0,A0)的Lyapunov正定函數(shù)

    則函數(shù)L2沿著系統(tǒng)(8)的全導數(shù)為

    由方程(4)和(5)可得

    則有

    (μ2+δA)(A-A0)]2≤0.

    3 具有同類相食時模型(1)的動力學性態(tài)分析

    本節(jié)分析同類相食存在時,即α,ε2≠0時種群平衡點的存在性和穩(wěn)定性,模型(1)總存在種群滅絕平衡點O(0,0).為了確定模型(1)的種群存在平衡點,令模型(1) 的左邊為零,得到

    (9)

    方程組(9)的正解即對應(yīng)模型(1)的種群存在平衡點.

    由方程組(9)的第一個方程可以得到

    (10)

    其中b-αJ(1+ε1J)>0,當J≠0時,將上式代入方程組(9)的第二個方程有

    (11)

    將式(10)代入方程(11)可得

    根據(jù)模型(1)有正不變集D1,G(J)=0在(0,J1)上的零點對應(yīng)模型(1)正平衡點J的坐標.于是,可通過判定方程G(J)=0在區(qū)間(0,J1)上根的存在性得到模型(1)正平衡點的存在性.其中,

    G(0)=μ2(μ1+β)-βb,

    對函數(shù)G(J)求導可得

    G″(J)=

    并且對于函數(shù)G(J)有

    于是關(guān)于方程G(J)=0正根存在性討論如下:

    當ε1<ε2時,G″(J)>0 ,即函數(shù)G(J)的圖形是上凹的.于是若G(0)<0或G(0)=0且G′(0)<0,則函數(shù)G(J)在區(qū)間(0,J1)上也有唯一零點.注意到G(0)=0,即μ2(μ1+β)=βb時,

    注意到

    因此,總結(jié)以上推理,關(guān)于方程G(J)=0在區(qū)間(0,J1)上平衡點的存在情形有如下定理:

    定理4 當下列條件之一滿足時,模型(1)在區(qū)域D1內(nèi)有唯一的正平衡點E*(J*,A*),

    (i)μ2(μ1+β)<βb;(ii)μ2(μ1+β)=βb

    且μ22[b(ε2-ε1)-α]>βbδ.

    根據(jù)定理4的推理過程,對其做下面四點注:

    注1 (1)對于定理4中模型(1)在區(qū)域D1內(nèi)有唯一的正平衡點E*(J*,A*),其滿足G′(E*)>0.

    (3)對于定理4中模型(1)在區(qū)域D1內(nèi)有兩個正平衡點E*(J*,A*)和E*(J*,A*).

    (4)由于G′(0)<0意味著ε1<ε2,因此定理4(ii)、(iii)以及模型(1)存在兩個正平衡點的條件中均未明確寫出條件ε1<ε2.

    關(guān)于模型(1)平衡點局部穩(wěn)定性有如下結(jié)論:

    證明:模型(1)在O(0,0)處的Jacobi 矩陣為

    因此,對于矩陣M(O)當βb<μ2(μ1+β)時,平衡點O(0,0)是穩(wěn)定的;當βb>μ2(μ1+β)時,平衡點O(0,0)是不穩(wěn)定的;當βb=μ2(μ1+β)時,平衡點O(0,0)是高階奇點.

    當βb=μ2(μ1+β)時,做變換

    (12)

    其中

    A=(βb-μ22)[b(ε2-ε1)-α]+2βbδ,

    B=μ22[b(ε2-ε1)-α+δ],

    C=(βb-μ22)[β(bε1+α)+ε2μ22]+2μ22δβ,

    D=b[β(bε1+α)+ε2μ22]+μ22δ.

    根據(jù)中心流形定理[19],可求得系統(tǒng)(12)在原點的局部中心流形為

    o(u3).

    進一步將上式代入系統(tǒng)(12)中的第一個方程得

    (13)

    根據(jù)式(12)和(13)可得,當μ22[b(ε2-ε1)-α]≠βbδ時,原點為系統(tǒng)(12)的鞍結(jié)點.如果μ22[b(ε2-ε1)-α]<βbδ,則系統(tǒng)(12)在u>0一側(cè)原點漸近穩(wěn)定;如果μ22[b(ε2-ε1)-α]>βbδ,則系統(tǒng)(12)在u>0一側(cè)為鞍點情形,是不穩(wěn)定的.當μ22[(bε2-ε1)-α]=βbδ時,式(13)變?yōu)?/p>

    因此,當μ22[b(ε2-ε1)-α]=βbδ時,O是漸近穩(wěn)定的.

    綜上所述,當μ2(μ1+ε)>βb或μ2(μ1+β)=βb且μ22[b(ε2-ε1)-α]≤βbδ時,模型(1)的種群絕滅平衡點O(0,0)是漸近穩(wěn)定的;當μ2(μ1+ε)<βb或μ2(μ1+ε)=βb且μ22[b(ε2-ε1)-α]>βbδ時是不穩(wěn)定的.

    下面討論模型(1)正平衡點的穩(wěn)定性:

    (14)

    計算可得

    由方程(9)的第一個方程可得

    由方程(9)的第二個方程可得

    因此

    利用式(11)可得

    將式(10)代入上式可得

    (15)

    系統(tǒng)(15)在其原點附近可表示為

    (16)

    再對系統(tǒng)(16)做變換

    可得

    (17)

    其中

    類似于種群滅絕平衡點O當βb=μ2(μ1+β)時的討論,系統(tǒng)(17)在其過原點的中心流形退化為

    對于模型(1),記

    因此模型(1)在區(qū)域D1內(nèi)無閉軌線.進一步,由于模型(1)的正不變集D1的有界性,根據(jù)前面得到的其平衡點的局部穩(wěn)定性,關(guān)于模型(1)的全局動力學有如下定理:

    為了更直觀地顯示模型(1)的全局動力學性態(tài),下面對幼年種群J(t)與成年種群A(t)進行數(shù)值模擬:

    (1)取參數(shù)為β=0.3,b=0.9,μ1=0.7,μ2=0.4,ε1=0.01,ε2=0.02,α=0.25,δ=0.1, 此時,μ2(μ1+β)>βb, 因此模型(1)的種群滅絕平衡點O是全局漸近穩(wěn)定的(如圖1所示).

    圖1 當μ2(μ1+β)>βb時,種群滅絕平衡點O全局漸近穩(wěn)定

    (2)取參數(shù)為β=0.3,b=0.8,μ1=0.3,μ2=0.3,ε1=0.01,ε2=1.5,α=0.05,δ=0.15, 此時,μ2(μ1+β)<βb,模型(1)有唯一的種群存活平衡點E*(2.027,1.781).該平衡點E*是全局漸近穩(wěn)定的(如圖2所示).

    圖2 當μ2(μ1+β)<βb時,種群唯一存活平衡點E*全局漸近穩(wěn)定

    (3)取參數(shù)為β=0.300 01,b=0.379 99,μ1=0.3,μ2=0.3,ε1=0.01,ε2=0.52,α=0.035 59,δ=0.001 001, 此時有下列條件成立,

    取另一組參數(shù)如下β=0.3,b=0.412,μ1=0.3,μ2=0.3,ε1=0.01,ε2=0.501,α=0.05,δ=0.001此時,

    (a)模型(1)存在兩個存活平衡點時的軌線圖

    (b)模型(1)存在唯一存活平衡點是鞍結(jié)點時的軌線圖圖3 模型(1)的全局動力學性態(tài)圖

    4 結(jié)論

    本文假定成年個體會對幼年個體進行同類捕食,并考慮在幼年個體的自然死亡和成年個體的密度制約項的基礎(chǔ)上,建立了一類具有兩階段結(jié)構(gòu)的同類相食模型.分析了模型平衡點的存在性和穩(wěn)定性.對不具有同類相食行為的,通過構(gòu)造適當?shù)腖yapunov函數(shù)證明了平衡點在一定條件下的全局穩(wěn)定性.

    這些結(jié)果的得到有利于人們合理地控制有關(guān)種群的成長,對保護有關(guān)種群結(jié)構(gòu)有著重大影響.因此同類相食行為在種群模型結(jié)構(gòu)中具有重要作用.

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