梳齒結(jié)構(gòu)與振動(dòng)梁復(fù)合的硅微諧振式加速度計(jì)非線性振動(dòng)特性

劉夢(mèng)霞，趙前程，崔 健

(北京大學(xué) 微電子研究所 微米/納米加工技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100871)

1 引 言

諧振式加速度計(jì)是高精度加速度計(jì)的重要方向之一?；谑⒕w材料的諧振式加速度計(jì)以其高穩(wěn)定性和可靠性等優(yōu)點(diǎn)在過去的30年里取得了巨大的商業(yè)成功。隨著越來越多的微型化應(yīng)用需求，石英諧振式傳感器在體積縮小方面面臨著一定的挑戰(zhàn)[1-2]。硅微諧振加速度計(jì)(Silicon Micro-Resonator Accelerometer，SRA)體積小、成本更低且易與專用集成電路(ASIC)進(jìn)行集成，從而成為高精度加速度計(jì)領(lǐng)域的主流方向。SRA通過檢測(cè)由施加在諧振梁軸向方向的慣性負(fù)載力引起諧振梁的頻率變化來檢測(cè)外部加速度， 具有直接數(shù)字輸出，易于集成到數(shù)字系統(tǒng)，信號(hào)傳輸抗干擾性好和成本低等優(yōu)點(diǎn)[3]。

隨著器件體積的不斷縮小，輸出信號(hào)中的噪聲干擾會(huì)變得非常大，通常需要增大振動(dòng)幅度以提高信噪比[4]。然而，隨著振幅變大，諧振梁將進(jìn)入非線性振動(dòng)區(qū)域，在該區(qū)域中振幅和諧振頻率產(chǎn)生耦合，導(dǎo)致幅度噪聲轉(zhuǎn)換為頻率噪聲，降低了信噪比和穩(wěn)定性[4-7]。通過對(duì)諧振梁的非線性振動(dòng)仿真分析，可以快速獲得頻率與振幅的關(guān)系，有利于SRA的優(yōu)化設(shè)計(jì)。振動(dòng)非線性可來源于靜電負(fù)剛度效應(yīng)和機(jī)械效應(yīng)[4-10]。 若諧振器的驅(qū)動(dòng)電容為壓膜結(jié)構(gòu)，則需要同時(shí)考慮靜電負(fù)剛度效應(yīng)和機(jī)械效應(yīng)。若驅(qū)動(dòng)電容為滑膜結(jié)構(gòu)，只需要考慮機(jī)械剛度帶來的非線性效應(yīng)。

本文針對(duì)課題組所設(shè)計(jì)的基于梳齒結(jié)構(gòu)與振動(dòng)梁復(fù)合的SRA進(jìn)行了仿真與實(shí)驗(yàn)分析[11-12]。通過COMSOL仿真軟件對(duì)諧振器進(jìn)行模態(tài)仿真，得到諧振器的理想工作狀態(tài)下的諧振頻率。在模態(tài)仿真的基礎(chǔ)上，改變邊界條件對(duì)諧振梁進(jìn)行進(jìn)一步的非線性仿真分析，從而得出線性系數(shù)和非線性三次系數(shù)keff和k3，eff的理論值。接著進(jìn)行非線性實(shí)驗(yàn)測(cè)試，對(duì)設(shè)計(jì)出來的SRA進(jìn)行了掃頻分析，研究其A-f(振幅與頻率關(guān)系)效應(yīng)，同時(shí)得出k3，eff和keff的比值關(guān)系。仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得較好，印證了仿真方法的有效性和測(cè)試數(shù)據(jù)的可靠性。對(duì)非線性振動(dòng)的研究，有利于對(duì)滑膜結(jié)構(gòu)硅諧振加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)上和電路的優(yōu)化。

2 原理及分析

2.1 工作原理

該SRA采用滑膜梳齒結(jié)構(gòu)作為雙端固支音叉(Double-end Fixed-duty Tuning Fork，DETF)的驅(qū)動(dòng)電容。圖1為DETF結(jié)構(gòu)的示意圖，其尺寸參數(shù)如表1所示。相比于傳統(tǒng)的機(jī)翼型梳齒，這種結(jié)構(gòu)有著更小的質(zhì)量塊，故而有著更大的標(biāo)度因子和更高的諧振頻率[11-12]。這種無附加質(zhì)量塊、梳齒為滑膜結(jié)構(gòu)的DETF的驅(qū)動(dòng)電容與振幅的二階求導(dǎo)為0，即靜電剛度為0，因此本文中僅需考慮機(jī)械效應(yīng)帶來的非線性影響，無需考慮靜電負(fù)剛度。該MEMS器件采用北京大學(xué)微米/納米加工技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)的硅-玻璃(SOG)工藝，利用陽極鍵合使得硅與玻璃結(jié)合在一起，通過深反應(yīng)離子刻蝕(DRIE)對(duì)結(jié)構(gòu)層進(jìn)行釋放。如圖2所示，SRA主要由質(zhì)量塊、DETF、微杠桿和支撐結(jié)構(gòu)構(gòu)成。當(dāng)器件工作時(shí)，兩邊的DETF通過電容驅(qū)動(dòng)使得諧振梁諧振在本征頻率下。此時(shí)，若在檢測(cè)方向上有加速度，質(zhì)量塊會(huì)使得左右兩邊的DETF分別受到軸向的壓力和拉力，使工作頻率發(fā)生改變。檢測(cè)梳齒檢測(cè)到兩邊DETF的頻率差從而得出加速度的大小。當(dāng)DETF工作在線性區(qū)時(shí)，振幅與驅(qū)動(dòng)力成正比。然而，隨著振幅增大，諧振梁更容易受到兩端錨點(diǎn)所引起的軸向拉力影響，非線性三次項(xiàng)系數(shù)k3，eff不能被忽略，使得工作頻率受振幅影響產(chǎn)生偏移。

圖1 雙端固支音叉結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-end fixed-duty tuning fork

表1 雙端固支音叉尺寸參數(shù)
Tab.1 Dimensional parameters of double-end fixed-duty tuning fork

參 數(shù)數(shù) 值諧振梁長度L/μm600諧振梁寬度w/μm5.5結(jié)構(gòu)厚度h/μm60梳齒寬度wc/μm5梳齒長度lc/μm50質(zhì)量塊面積S/mm249.1

圖2 諧振加速度計(jì)示意圖Fig.2 Schematic diagram of resonant accelerometer

2.2 模態(tài)分析

DETF工作在非線性時(shí)頻率的變化與本征頻率和非線性系數(shù)有關(guān)。首先用仿真軟件對(duì)DETF進(jìn)行模態(tài)分析，求得工作模態(tài)下的理想本征頻率。根據(jù)版圖尺寸在COMSOL軟件進(jìn)行DETF模擬，研究SRA的模態(tài)與特征頻率，其仿真結(jié)果如圖3(a)～3(f)所示。表2為各個(gè)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的特征頻率。其中，第一和第二階分別為平面內(nèi)同向和反向的橫向振動(dòng)。第三和第四階分別為平面內(nèi)同向和反向的扭動(dòng)振動(dòng)。第五和第六階分別為同向和反向的離面扭動(dòng)振動(dòng)。本文選取第二階振動(dòng)模態(tài)作為工作模態(tài)，其特征頻率為92 791 Hz。

(a)第一階模態(tài)，頻率為92 629 Hz(a)First mode with characteristic frequency of 92 629 Hz

(b)第二階模態(tài)，頻率為92 791 Hz(b)Second mode with characteristic frequency of 92 791 Hz

(c)第三階模態(tài)，頻率為259.58 kHz(c)Third mode with characteristic frequency of 259.58 kHz

(d)第四階模態(tài)，頻率為262.39 kHz(d)Forth mode with characteristic frequency of 262.39 kHz

(e)第五階模態(tài)，頻率為500.09 kHz(e)Fifth mode with characteristic frequency of 262.39 kHz

(f)第六階模態(tài)，頻率為500.74 kHz(f)Sixth mode with characteristic frequency of 500.74 kHz圖3 雙端固支音叉的第一到第六階模態(tài)Fig.3 First mode to sixth mode of double-end fixed-duty tuning fork

表2 各模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征頻率Tab.2 Characteristic frequency corresponding to each mode

2.3 非線性分析

在獲得理想的本振頻率后，本文進(jìn)一步仿真以獲得理想的線性系數(shù)keff和非線性三次項(xiàng)k3，eff的值。在非線性區(qū)，當(dāng)考慮非線性三次項(xiàng)k3，eff，驅(qū)動(dòng)力P與位移x的關(guān)系如下：

P=keffx+k3，effx3.

(1)

基于式(1)，用施加靜載荷的方法對(duì)諧振梁進(jìn)行仿真分析。 此方法通過施加靜載荷于諧振梁的振動(dòng)方向，可以快速有效地得出位移與靜力的關(guān)系，從而得出keff和k3，eff的值。如上節(jié)所述對(duì)模態(tài)仿真分析后，改變DETF的邊界條件，勾選軟件中的非線性條件，計(jì)算位移與驅(qū)動(dòng)力之間的關(guān)系。仿真分析的總體步驟如圖4所示。

圖4 COMSOL仿真流程Fig.4 Flow chart for COMSOL simulation

圖5為非線性仿真結(jié)果，從中可以得出驅(qū)動(dòng)力與位移的關(guān)系。keff和k3，eff的仿真值分別是231.60 N/m 和4.94×1012N/m3，計(jì)算得出k3，eff和keff的比值為2.13×1010m-2。

圖5 仿真結(jié)果中驅(qū)動(dòng)力與位移的關(guān)系

Fig.5 Relationship between driving force and displacement in simulation

在工作模式處于線性振動(dòng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)電容驅(qū)動(dòng)梳齒，使諧振梁在諧振狀態(tài)下工作。在忽略阻尼時(shí)，可以得到：

(2)

當(dāng)考慮非線性三次項(xiàng)k3，eff時(shí)， 振動(dòng)方程可用杜芬方程描述[13]：

(3)

假設(shè)方程的解為：

x(t)=x0+x1cosωt+x2cos 2ωt+x3cos 3ωt+x4cos 4ωt+….

(4)

結(jié)合式(2)～式(4)可以得到：

(5)

因?yàn)槭?5)中第二項(xiàng)為小量，故而可以近似為[13-15]：

(6)

如式(6)所示， 頻率與位移呈非線性關(guān)系，頻率受振幅影響發(fā)生偏移。

3 實(shí) 驗(yàn)

圖6為SRA結(jié)構(gòu)的電鏡圖像，測(cè)試電路如圖7所示，其中測(cè)試圖的上方為幅值變化圖，下方為相位變化圖。CH1，CH2，CH3，CH4分別為左右兩端的信號(hào)輸入和信號(hào)輸出接口，PCB板的尺寸為50 mm×55 mm。諧振加速度計(jì)為器件級(jí)真空封裝。先后對(duì)硅諧振加速度計(jì)左右兩邊的諧振梁進(jìn)行頻率掃描，頻率分別為93 070～93 110 Hz和92 810～92 850 Hz，掃描結(jié)果如圖8所示。圖8(a)是硅諧振加速度計(jì)左側(cè)的諧振梁掃頻結(jié)果，圖8(b)是硅諧振加速度計(jì)右側(cè)的諧振梁掃頻結(jié)果。圖中驅(qū)動(dòng)電壓分別為0.6，1.8，3.0，4.0，5.0 mV。從掃描結(jié)果可以看出，對(duì)于左側(cè)諧振梁，工作頻率約為93 087 Hz；對(duì)于右側(cè)諧振梁，工作頻率約為92 830 Hz。當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓為0.6 mV時(shí)，兩邊的諧振梁都工作在線性區(qū)；而當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓分別為1.8，3.0，4.0，5 mV時(shí)，兩邊的諧振梁都已經(jīng)工作在非線性區(qū)域，諧振頻率發(fā)生偏移。并且可以看出，驅(qū)動(dòng)電壓增大，頻率偏移量也隨著增大。

圖6 SRA結(jié)構(gòu)電鏡圖像Fig.6 SEM image of SRA structure

圖7 真空封裝SRA測(cè)試電路Fig.7 Test circuit for vacuum sealed SRA

(a)左邊諧振梁在不同驅(qū)動(dòng)電壓下的掃頻曲線

(a)Frequency sweep curve of left resonant beam at different driving voltages

(b)右邊諧振梁在不同驅(qū)動(dòng)電壓下的掃頻曲線

(b)Frequency sweep curve of right resonant beam at different driving voltages

圖8 掃頻測(cè)試結(jié)果 Fig.8 Result of frequency sweeping 表3 左邊諧振梁實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)Tab.3 Experimental test data of left resonant beam

表4 右邊諧振梁實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)Tab.4 Experimental test data of right resonant beam

表3和表4分別為左右兩邊諧振梁閉環(huán)測(cè)試數(shù)據(jù)。改變諧振器不同的輸入電壓得到不同的工作頻率和輸出電壓，利用輸出電壓可算得諧振梁的振幅。將諧振梁的工作頻率和振幅關(guān)系繪制成二維圖，如圖9所示。其中，圖中實(shí)點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，曲線為擬合結(jié)果。如圖所示，當(dāng)增加驅(qū)動(dòng)電壓，也就意味著增大振幅Xm，工作頻率也會(huì)增大，這是由于Xm增大時(shí)k3，eff不能夠再被忽略。圖9(a)和圖9(b)分別為左右兩邊諧振器工作頻率與振幅的關(guān)系曲線。通過使用多項(xiàng)式最小二乘擬合法擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到兩邊k3，eff和keff的比值分別為 2.24×1010m-2和2.19×1010m-2。

(a)左邊諧振梁 (a)Left resonant beam

(b)右邊諧振梁 (b)Right resonant beam圖9 諧振梁工作頻率隨振幅的變化Fig.9 Characteristic frequency of resonant beams varies with amplitude

4 對(duì)比分析

(a)左邊諧振梁 (a)Left resonant beam

(b)右邊諧振梁 (b)Right resonant beam圖10 實(shí)驗(yàn)與仿真數(shù)據(jù)曲線Fig.10 Experimental and simulation curves

通過上述實(shí)驗(yàn)及仿真，可以得出諧振器的線性工作范圍在35.4 nm以下。為了提高器件的性噪比，需要增大DETF的線性振動(dòng)區(qū)。為探討DETF幾何尺寸對(duì)結(jié)構(gòu)非線性的影響，使用上文所描述的施加靜力載荷的方法，改變DETF的長度L和寬度w，對(duì)DETF進(jìn)行非線性仿真分析，結(jié)果如圖11所示。在圖11(a)中，當(dāng)諧振梁的梁長L由600 μm增大到800 μm，工作頻率下降，非線性三次項(xiàng)系數(shù)k3，eff與線性系數(shù)keff的比值由2.13×1010m-2降低到1.87×1010m-2，非線性得到一定的改善。如圖11(b)所示，當(dāng)增大諧振梁的寬度w時(shí)，其工作頻率會(huì)增大，k3，eff與keff的比值呈下降趨勢(shì)，由2.13×1010m-2下降到1.23×1010m-2，非線性得到一定的改善。圖11(c)則是同時(shí)改變長度L和寬度w時(shí)的A-f關(guān)系曲線?？梢钥闯觯?dāng)L為600 μm，w為5.5 μm時(shí)，非線性效應(yīng)最為明顯；而當(dāng)L為800 μm，w為7.5 μm時(shí)，非線性效應(yīng)最不明顯，此時(shí)兩系數(shù)的比值為1.10×1010m-2。上述仿真工作有助于優(yōu)化諧振梁結(jié)構(gòu)，以減弱非線性效應(yīng)。

(a)增大長度L時(shí)的A-f關(guān)系曲線 (a)A-f curves with length L values increasing

(b)增大寬度w時(shí)的A-f關(guān)系曲線 (b)A-f curves with width w values increasing

(c)不同L和w下的A-f關(guān)系曲線 (c)A-f curves with different lengths and widths圖11 不同尺寸諧振梁振幅與位移的仿真結(jié)果Fig.11 Simulation results of vibration amplitude and displacement of resonant beams in different sizes

5 結(jié) 論

由于硅諧振加速度計(jì)驅(qū)動(dòng)電容采用的是滑膜結(jié)構(gòu)，電容對(duì)位移的一次求導(dǎo)為常數(shù)，靜電剛度為0，因此對(duì)于此種結(jié)構(gòu)的諧振加速度計(jì)并不需要考慮靜電效應(yīng)對(duì)非線性的影響。首先，使用有限元軟件對(duì)諧振梁進(jìn)行建模仿真分析，得出非線性三次項(xiàng)k3，eff與線性項(xiàng)keff的理論值。進(jìn)一步基于杜克方程對(duì)諧振器進(jìn)行了數(shù)值分析，從公式推導(dǎo)上得出頻率與振幅的非線性關(guān)系。同時(shí)對(duì)制備出來的硅諧振加速度計(jì)進(jìn)行了掃頻實(shí)驗(yàn)測(cè)試，實(shí)驗(yàn)和仿真的誤差分別是5.2%和 2.8%。實(shí)驗(yàn)曲線與仿真結(jié)果吻合得較好，這印證了仿真方法的有效性和測(cè)試數(shù)據(jù)的可靠性。改變諧振梁的結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)，用本文中的施加靜載荷仿真方法，可以快速地看出尺寸對(duì)非線性效應(yīng)的影響。上述對(duì)非線性特性的分析有助于優(yōu)化器件的結(jié)構(gòu)和電路。