雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂無殘余振動(dòng)位置控制

孟慶鑫,賴旭芝,閆 澤,王亞午,吳 敏

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)自動(dòng)化學(xué)院,湖北武漢 430074;復(fù)雜系統(tǒng)先進(jìn)控制與智能自動(dòng)化湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北武漢 430074)

1 引言

相對(duì)于剛性機(jī)械臂,柔性機(jī)械臂具有結(jié)構(gòu)輕、響應(yīng)快、能耗低等優(yōu)點(diǎn),可以適應(yīng)苛刻的工作環(huán)境[1–4],在空間探索、航天器在軌服務(wù)以及高精度機(jī)械加工等領(lǐng)域有著非常廣闊的應(yīng)用前景.然而,柔性機(jī)械臂是一類分布參數(shù)系統(tǒng),其所表現(xiàn)出的特性是具有無限個(gè)自由度的同時(shí)控制輸入為有限個(gè).根據(jù)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的定義[5–8]可知,這類系統(tǒng)是欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng),其模型中存在欠驅(qū)動(dòng)變量,且狀態(tài)變量間存在復(fù)雜的耦合關(guān)系[9].因此,柔性機(jī)械臂控制方法的研究被視為是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的課題,吸引了越來越多的學(xué)者.

對(duì)于柔性機(jī)械臂系統(tǒng),學(xué)者們普遍研究其位置控制方法,即設(shè)計(jì)控制器將機(jī)械臂的末端執(zhí)行器從任意初始位置穩(wěn)定到目標(biāo)位置[10–12].然而,由于這類系統(tǒng)存在欠驅(qū)動(dòng)的變量,在位置控制中,很難針對(duì)系統(tǒng)欠驅(qū)動(dòng)變量直接設(shè)計(jì)控制器使其收斂,這就導(dǎo)致在末端執(zhí)行器到達(dá)目標(biāo)位置后,系統(tǒng)存在彈性振動(dòng).這一振動(dòng)稱之為殘余振動(dòng).殘余振動(dòng)的產(chǎn)生降低了系統(tǒng)的位置控制精度,且在外太空等空氣阻尼微弱的工作環(huán)境中,殘余振動(dòng)很難自行消失[13–14].因此,如何解決柔性機(jī)械臂殘余振動(dòng)的問題是實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)位置控制的關(guān)鍵.

目前比較常用的方法是主動(dòng)抑制殘余振動(dòng).文獻(xiàn)[15]以壓電陶瓷為傳感器與作動(dòng)器來抑制柔性機(jī)械臂的殘余振動(dòng),取得了理想的抑振效果.文獻(xiàn)[9]針對(duì)單連桿柔性機(jī)械臂提出了基于系統(tǒng)能量的位置控制方法,通過控制系統(tǒng)的總能量收斂到零來抑制系統(tǒng)的殘余振動(dòng).文獻(xiàn)[16]針對(duì)雙連桿柔性機(jī)械臂提出了一種模糊補(bǔ)償滑?？刂品椒?文獻(xiàn)[17]針對(duì)雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂系統(tǒng)提出了一種基于自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法的邊界控制方法.文獻(xiàn)[18]利用PSO算法優(yōu)化軌跡參數(shù)來最小化系統(tǒng)殘余振動(dòng).上述控制方法均有效抑制了系統(tǒng)的殘余振動(dòng)并實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的位置控制,然而,抑制殘余振動(dòng)的過程需要耗費(fèi)一定的時(shí)間,也就是說,當(dāng)機(jī)械臂的末端執(zhí)行器到達(dá)目標(biāo)位置后,不能立即開展后續(xù)工作而需等待其殘余振動(dòng)被抑制,這無疑降低了機(jī)械臂的工作效率.

基于上述研究背景,本文以雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂為研究對(duì)象來研究基于軌跡規(guī)劃的柔性機(jī)械臂無殘余振動(dòng)位置控制方法.所謂無殘余振動(dòng)位置控制,即控制柔性機(jī)械臂的末端執(zhí)行器在到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)沒有彈性振動(dòng).首先,運(yùn)用歐拉–拉格朗日法和假設(shè)模態(tài)法來建立雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型.然后,分析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,得到該系統(tǒng)的狀態(tài)約束方程.基于此狀態(tài)約束方程,提出一種雙向軌跡規(guī)劃方法,構(gòu)造一條從系統(tǒng)初始狀態(tài)到中間狀態(tài)的前向軌跡和一條從系統(tǒng)目標(biāo)狀態(tài)到中間狀態(tài)的反向軌跡.隨后,利用時(shí)間倒轉(zhuǎn)方法及基于遺傳算法的軌跡優(yōu)化方法對(duì)這兩條軌跡進(jìn)行處理,使得兩條軌跡在中間狀態(tài)拼合,從而得到一條從系統(tǒng)初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的期望軌跡.最后,設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器,使系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤這條期望軌跡,實(shí)現(xiàn)雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的無殘余振動(dòng)位置控制.仿真結(jié)果表明,本文所提方法有效實(shí)現(xiàn)了雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的無殘余振動(dòng)位置控制.

2 系統(tǒng)建模及問題描述

本節(jié)將建立雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型,并基于該動(dòng)力學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)的無殘余振動(dòng)位置控制目標(biāo)進(jìn)行討論.

2.1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的結(jié)構(gòu)如圖1所示,其中:(xt,yt)是系統(tǒng)的末端執(zhí)行器坐標(biāo),XOY是系統(tǒng)的慣性坐標(biāo)系,X1OY1和X2O2Y2分別是剛性連桿和柔性連桿的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,qi,Li分別是系統(tǒng)第i根連桿的轉(zhuǎn)角和長度,τi是作用在第i個(gè)關(guān)節(jié)上的輸入力矩,i=1,2,m1是剛性連桿的質(zhì)量,l1是剛性連桿質(zhì)心到第1關(guān)節(jié)的長度,J1是剛性連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,ρ,A,EI,Ih分別是柔性連桿的密度、截面面積、抗彎剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.Mh是第2個(gè)關(guān)節(jié)電機(jī)的質(zhì)量,Mt則是末端執(zhí)行器的質(zhì)量.ω(x,t)表示柔性連桿上位置x的一點(diǎn)在時(shí)刻t時(shí)相對(duì)坐標(biāo)系X2O2Y2的彈性形變.

圖1 雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the two-link rigid-flexible manipulator

基于假設(shè)模態(tài)法,ω(x,t)可以表示為

其中:?i(x)為柔性連桿第i階模態(tài)函數(shù),pi(t)為柔性連桿第i階模態(tài)坐標(biāo),n表示假設(shè)模態(tài)法所選取的模態(tài)階數(shù).模態(tài)函數(shù)?i(x)的具體表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[9,19].另外,根據(jù)文獻(xiàn)[9]所得結(jié)論,當(dāng)n取值為2時(shí),所建立的模型就足夠描述柔性連桿的振動(dòng)行為,因此,在本文的研究中,選取n=2.

令R為柔性連桿上任意點(diǎn)相對(duì)于慣性坐標(biāo)系XOY的位置向量,則其可以表示為

其中x為R相對(duì)X2O2Y2坐標(biāo)系的x-軸坐標(biāo).因此,柔性機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位置向量可以表示為

系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示為

系統(tǒng)的彈性勢能可以表示為

選取L=T ?D為拉格朗日方程,應(yīng)用歐拉–拉格朗日公式可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為

令θ=[q1q2p1p2]T,式(5)可以改寫為

其中τ=[τ1τ20 0]T為系統(tǒng)的輸入力矩矩陣.

M(θ)是一個(gè)正定對(duì)稱矩陣,其具體形式可以表示為

其中:

M(θ)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為

其中i=1,2.

H(θ,)為系統(tǒng)的科里奧利力與離心力的結(jié)合矩陣,可以表示為

K為系統(tǒng)的彈性力矩陣,可以表示為

其中k1,k2為系統(tǒng)的彈性系數(shù),可以表示為

根據(jù)建立的雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型(6),接下來將討論系統(tǒng)的無殘余振動(dòng)位置控制問題.

2.2 問題描述

在討論柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的位置控制之前,首先根據(jù)機(jī)械臂末端執(zhí)行器的初始位置和目標(biāo)位置來求解機(jī)械臂兩根連桿的初始角度及目標(biāo)角度.

圖2 靜止?fàn)顟B(tài)下雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of the two-link rigid-flexible manipulator under static state

如圖2所示,當(dāng)機(jī)械臂處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí),柔性連桿沒有彈性振動(dòng),此時(shí),系統(tǒng)的末端執(zhí)行器坐標(biāo)(xt,yt)與兩桿角度q1,q2存在以下關(guān)系:

根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法,可以求得

其中:

?1,?2為整數(shù),且atan2(b,a)表示向量(a,b)和X軸正方向的夾角.

定義(xti,yti)為機(jī)械臂末端執(zhí)行器的初始位置,(xtd,ytd)為目標(biāo)位置.根據(jù)式(15)可以求解得到兩桿初始角度q1i,q2i及目標(biāo)角度q1d,q2d.

記Θ=[θT]T表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量,對(duì)于雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂系統(tǒng)而言,它的靜止?fàn)顟B(tài)可以表示為Θ?=[q1?q2?0 0 0 0 0 0]T,其中q1?,q2?是常數(shù).因此,系統(tǒng)的初始狀態(tài)Θi和目標(biāo)狀態(tài)Θd可以分別表示為

系統(tǒng)的位置控制目標(biāo)是將雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的末端執(zhí)行器從(xti,yti)穩(wěn)定到(xtd,ytd).即,將系統(tǒng)的狀態(tài)從Θi控制到Θd.然而,由于p1,p2,為系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)變量,無法對(duì)其進(jìn)行直接的控制.它們與系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)變量存在以下狀態(tài)約束:

由式(18)可知,系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)變量可以通過控制驅(qū)動(dòng)變量來間接控制.因此,傳統(tǒng)的位置控制方法通常通過以下控制策略實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo):

1)對(duì)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)變量進(jìn)行調(diào)節(jié)控制,使它們收斂到各自的目標(biāo)值,即為q1→q1d,q2→q2d,→0;

2)通過控制系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)變量,間接控制系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)變量收斂到目標(biāo)值,即p1→0,p2→0,

然而,上述控制策略無法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量同時(shí)收斂到目標(biāo)值,這就導(dǎo)致了系統(tǒng)殘余振動(dòng)的產(chǎn)生.

為了實(shí)現(xiàn)雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的無殘余振動(dòng)位置控制目標(biāo),需要設(shè)計(jì)一種控制策略,可以控制系統(tǒng)的所有狀態(tài)同時(shí)收斂到目標(biāo)值.在本文中,這一控制問題將被轉(zhuǎn)化為軌跡規(guī)劃與跟蹤控制問題來討論.

3 軌跡規(guī)劃

本節(jié)討論雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂從初始狀態(tài)Θi到目標(biāo)狀態(tài)Θd的軌跡規(guī)劃問題.根據(jù)系統(tǒng)的無殘余振動(dòng)位置控制目標(biāo),待規(guī)劃的期望軌跡應(yīng)該具有以下邊界條件:

當(dāng)t →0時(shí),

當(dāng)t →tf時(shí),

其中,tf為機(jī)械臂兩根連桿到達(dá)目標(biāo)角度的時(shí)間.

下面,本文提出雙向軌跡規(guī)劃方法及軌跡拼合方法來規(guī)劃符合上述邊界條件的期望軌跡.

3.1 雙向軌跡規(guī)劃

因?yàn)榍夫?qū)動(dòng)變量的存在,直接規(guī)劃系統(tǒng)從Θi到Θd的軌跡是困難的.因此,本文提出一種雙向軌跡規(guī)劃的方法,分別規(guī)劃一條前向軌跡和一條反向軌跡.

其中前向軌跡是一條從Θi到系統(tǒng)中間狀態(tài)的軌跡,反向軌跡軌跡是一條從Θd到系統(tǒng)中間狀態(tài)的軌跡.鑒于雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的欠驅(qū)動(dòng)變量無法直接控制,下面針對(duì)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)變量進(jìn)行軌跡規(guī)劃.為保證機(jī)械臂可以平滑地跟蹤規(guī)劃的軌跡,系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)變量的軌跡應(yīng)該滿足均有界,其中j=1,2.

基于上述思想,在系統(tǒng)前向軌跡中,規(guī)劃驅(qū)動(dòng)變量的軌跡為

在系統(tǒng)反向軌跡中,規(guī)劃驅(qū)動(dòng)變量的軌跡為

其中:qji,qjm,qjd分別表示機(jī)械臂第j根連桿的初始角度、中間角度及目標(biāo)角度.式(21)中,式(22)中.ka>0,kb>0分別是系統(tǒng)前向軌跡和反向軌跡的時(shí)間因子.顯然,及均有界.因此,所規(guī)劃的前向軌跡及反向軌跡滿足本文對(duì)軌跡平滑性的要求.

將式(21)及初始值(19)代入式(18)中,通過對(duì)式(18)進(jìn)行數(shù)值求解,可以得到相應(yīng)欠驅(qū)動(dòng)變量的軌跡.且當(dāng)時(shí),

由此,系統(tǒng)從Θi到Θd的軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)前向軌跡與反向軌跡在中間狀態(tài)的拼合問題.下面利用時(shí)間倒轉(zhuǎn)方法及基于遺傳算法的軌跡優(yōu)化方法來拼合兩條軌跡.

3.2 軌跡拼合

由于反向軌跡與系統(tǒng)真正的運(yùn)動(dòng)方向相反,本小節(jié)利用時(shí)間倒轉(zhuǎn)的方法[8]使其軌跡方向與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方向一致.具體的,設(shè)計(jì)一條倒轉(zhuǎn)軌跡,使其驅(qū)動(dòng)變量滿足

則其所對(duì)應(yīng)的欠驅(qū)動(dòng)變量軌跡為

遺傳算法的評(píng)價(jià)函數(shù)定義如下:

基于遺傳算法的優(yōu)化過程如下:

步驟1隨機(jī)初始化N條染色體組成遺傳算法的初始群體.每條染色體代表一組軌跡參數(shù)q1m,q2m,ka,kb.初始化代數(shù)計(jì)數(shù)器gen=1.

步驟2將所有的染色體所對(duì)應(yīng)的參數(shù)q1m,q2m,ka,kb分別代入式(21)(26)中.通過方程(18)計(jì)算得到每條染色體分別對(duì)應(yīng)的,的值.

步驟3將得到的值代入評(píng)價(jià)函數(shù)(29),從而得到每一條染色體所對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)值ft的值.

步驟4如果種群中最小的ft值小于或等于一個(gè)非常小的正數(shù)?,程序跳轉(zhuǎn)到步驟6,否則,程序跳轉(zhuǎn)到步驟5.

步驟5如果gen等于最大優(yōu)化代數(shù)Max,退出程序.否則,對(duì)種群中的染色體以代溝Pg進(jìn)行選擇重組操作,以概率Pc進(jìn)行交叉操作,以概率Pm進(jìn)行變異操作.更新所有染色體且gen=gen+1.程序跳轉(zhuǎn)到步驟2.

步驟6將種群中最小ft值所對(duì)應(yīng)的染色體作為優(yōu)化后的結(jié)果,讀取其所對(duì)應(yīng)的軌跡參數(shù)q1m,q2m,ka,kb.將這些參數(shù)代入式(21)及式(26)中,從而將這兩條軌跡拼合成一條系統(tǒng)的期望軌跡(30).退出程序.

拼合后的系統(tǒng)期望軌跡的驅(qū)動(dòng)變量軌跡可以表示為

欠驅(qū)動(dòng)變量的軌跡可以表示為

對(duì)于從初始狀態(tài)Θi出發(fā)的雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂,倘若能夠設(shè)計(jì)一個(gè)軌跡跟蹤控制器使系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)變量在上跟蹤軌跡(30),由于系統(tǒng)狀態(tài)約束的存在,其欠驅(qū)動(dòng)變量也將被動(dòng)跟蹤軌跡(31).那么,在s時(shí)刻,系統(tǒng)的所有變量同時(shí)收斂于Θd.此時(shí)系統(tǒng)沒有殘余振動(dòng)產(chǎn)生.這樣的話,雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的無殘余振動(dòng)位置控制問題就轉(zhuǎn)化為了跟蹤期望軌跡的控制問題.

注1當(dāng)時(shí),為使系統(tǒng)維持在目標(biāo)狀態(tài),系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)變量的軌跡為,其對(duì)應(yīng)的欠驅(qū)動(dòng)變量的軌跡為≡0.

4 軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

在得到期望軌跡之后,本節(jié)討論軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)問題.針對(duì)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)變量設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器,使其跟蹤軌跡(30).

令x=[x1x2x3x4x5x6x7x8]T=Θ,然后,將系統(tǒng)的模型(6)改寫為狀態(tài)空間的形式:

其中:

f1,f2,f3和f4滿足

g1是一個(gè)4×4的零矩陣,g2滿足

為方便描述跟蹤控制器設(shè)計(jì),定義如下符號(hào):

設(shè)計(jì)兩個(gè)滑模函數(shù)如下所示:

其中:ι1,ι2是正的常數(shù),ε1=x1?x1d(t),ε2=x2?x2d(t),表示系統(tǒng)的跟蹤誤差.對(duì)S1,S2求導(dǎo)得

設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器為

δ1,δ2,ψ1,ψ2,?1以及?2均為正的常數(shù),sat(·)是飽和函數(shù),可以表示為

其中i=1,2.

定理1系統(tǒng)(33)的跟蹤誤差,ε1,ε2,在所設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器(39)作用下可以收斂到零.

證構(gòu)造以下Lyapunov函數(shù):

將V對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo),結(jié)合式(38)–(39)可得

證畢.

因此,本節(jié)設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制目標(biāo).

5 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)利用MATLAB聯(lián)合Simulink來進(jìn)行仿真研究.其中MATLAB提供的ODE45求解器被用來解決仿真中的數(shù)值求解問題.

雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的模型參數(shù)選取為

同時(shí),選取末端執(zhí)行器的初始位置為(xti,yti)=(?1,2)m,目標(biāo)位置為(xtd,ytd)=(1.5,0.5)m.則根據(jù)式(15),可以求得一組連桿的初始角度和目標(biāo)角度為

在軌跡規(guī)劃中,選取遺傳算法的參數(shù)為

同時(shí),選取軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)為

下面驗(yàn)證所提控制方法的有效性和優(yōu)越性.

5.1 實(shí)例1

本小節(jié)使系統(tǒng)分別跟蹤一條未經(jīng)優(yōu)化的擺線軌跡[20]和本文規(guī)劃得到的期望軌跡(30).通過對(duì)比二者的仿真結(jié)果,來說明本文所提軌跡規(guī)劃方法在實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)無殘余振動(dòng)位置控制上的有效性.其中,從初始角度qji到目標(biāo)角度qjd的擺線軌跡表達(dá)式給出如下:

其中j=1,2,tr=8 s為擺線軌跡的到達(dá)時(shí)間.

利用軌跡跟蹤控制器(39)來使系統(tǒng)跟蹤擺線軌跡(48),仿真結(jié)果如圖3所示.

圖3 跟蹤軌跡(48)的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of tracking the trajectory(48)

從圖3所示的仿真結(jié)果中可以看出,當(dāng)系統(tǒng)跟蹤擺線軌跡(48)時(shí),機(jī)械臂的兩根連桿可以到達(dá)各自的目標(biāo)角度.但之后,機(jī)械臂的柔性連桿呈現(xiàn)出等幅振動(dòng)的狀態(tài),這一振動(dòng)便是殘余振動(dòng).這一仿真結(jié)果說明,擺線軌跡(48)無法消除柔性機(jī)械臂的殘余振動(dòng).因此,當(dāng)系統(tǒng)跟蹤這一未經(jīng)規(guī)劃的軌跡時(shí),其末端執(zhí)行器無法實(shí)現(xiàn)高精度的定位.

根據(jù)本文所提出的軌跡規(guī)劃方法,通過遺傳算法優(yōu)化,得到了一組軌跡規(guī)劃的優(yōu)化結(jié)果

將優(yōu)化結(jié)果代入式(21)及式(26)中,進(jìn)而利用軌跡跟蹤控制器(39)使系統(tǒng)跟蹤期望軌跡(30),仿真結(jié)果如圖4所示.

圖4 跟蹤軌跡(30)的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of tracking the trajectory(30)

圖4顯示,當(dāng)系統(tǒng)跟蹤期望軌跡(30)時(shí),機(jī)械臂的兩根連桿同樣可以到達(dá)各自的目標(biāo)角度.與圖3所示仿真結(jié)果不同的是,機(jī)械臂的末端執(zhí)行器由初始位置(?1,2)m到達(dá)目標(biāo)位置(1.5,0.5)m的同時(shí),柔性連桿的彈性振動(dòng)也被抑制收斂到零,這表明柔性連桿機(jī)械臂的末端執(zhí)行器在到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)沒有產(chǎn)生殘余振動(dòng).于是,通過對(duì)比圖3–4所示的仿真結(jié)果,可以驗(yàn)證,本文所提出的軌跡規(guī)劃方法可以有效實(shí)現(xiàn)雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的無殘余振動(dòng)位置控制目標(biāo).

注2在擺線軌跡(48)中,不同的tr會(huì)帶來不同的控制效果.當(dāng)tr較小時(shí),機(jī)械臂的兩根連桿可以較快速地到達(dá)各自目標(biāo)角度,但柔性連桿的振動(dòng)幅度較大,導(dǎo)致機(jī)械臂的末端執(zhí)行器在目標(biāo)位置附近劇烈振動(dòng).而當(dāng)tr較大時(shí),柔性連桿的振幅較小,但系統(tǒng)兩根連桿到達(dá)目標(biāo)角度所需的時(shí)間較長.在本文中,綜合考慮連桿到達(dá)目標(biāo)角度所需的時(shí)間以及柔性連桿的振動(dòng)幅度,選擇tr=8 s.

5.2 實(shí)例2

為了說明本文提出的無殘余振動(dòng)位置控制方法相對(duì)傳統(tǒng)柔性機(jī)械臂位置控制方法的優(yōu)越性,本小節(jié)分別對(duì)PD控制方法[21]和本文提出的控制方法進(jìn)行仿真.PD控制器設(shè)計(jì)如下:

其中Kp,Kd為控制器增益.在仿真中,設(shè)置為Kp=4,Kd=3.仿真結(jié)果如圖5所示.

圖5 PD控制方法的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of the PD control method

從圖5可以看出,機(jī)械臂的兩根連桿在5 s左右時(shí)便已到達(dá)目標(biāo)角度,隨后在目標(biāo)角度附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng),以此來抑制柔性連桿的殘余振動(dòng),直至30 s左右時(shí),柔性機(jī)械臂的末端執(zhí)行器才逐漸被穩(wěn)定在目標(biāo)位置(1.5,0.5)m.殘余振動(dòng)的抑制過程耗費(fèi)近25 s,嚴(yán)重影響了機(jī)械臂的工作效率.此外,在控制的過程中,系統(tǒng)存在一定的超調(diào)且控制力矩存在初始跳變,降低了系統(tǒng)的安全性.

本文提出的控制方法中,基于機(jī)械臂兩根連桿的初始角度和目標(biāo)角度進(jìn)行軌跡規(guī)劃,在軌跡拼合中,可以優(yōu)化得到一組結(jié)果為

值得注意的是,優(yōu)化結(jié)果(51)與優(yōu)化結(jié)果(49)是不同的.這表明了,在系統(tǒng)的軌跡拼合中,優(yōu)化的可行解是具有多樣性的.將優(yōu)化的結(jié)果(51)代入式(21)及式(26)中,使系統(tǒng)跟蹤拼合后的期望軌跡(30).仿真結(jié)果如圖6所示.

圖6 本文提出控制方法的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of the proposed control method

從圖6中可以看出,系統(tǒng)兩根連桿均到達(dá)了其目標(biāo)角度,沒有出現(xiàn)超調(diào).機(jī)械臂的末端執(zhí)行器由初始位置(?1,2)m平滑運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位置(1.5,0.5)m,且柔性連桿沒有產(chǎn)生殘余振動(dòng),系統(tǒng)整個(gè)位置控制過程耗費(fèi)5.8 s左右.因此,相比較于PD控制方法,本文提出的控制方法可以大幅提高機(jī)械臂的工作效率.此外,本文提出控制方法的控制輸入力矩在±2.5 N·m范圍內(nèi)變化,且初始輸入力矩為0 N·m,這表明本文提出的控制方法實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂的“軟啟動(dòng)”[22–23].因此,本文提出的控制方法在系統(tǒng)的安全性能上也優(yōu)于PD控制方法.

6 結(jié)論

本文提出了一種基于軌跡規(guī)劃的柔性機(jī)械臂無殘余振動(dòng)位置控制方法.以平面雙連桿剛?cè)釞C(jī)械臂為研究對(duì)象,通過對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行建模與分析,得到了系統(tǒng)存在的狀態(tài)約束關(guān)系.進(jìn)而利用這一約束關(guān)系,通過雙向軌跡規(guī)劃及遺傳算法軌跡拼合方法,規(guī)劃出一條從系統(tǒng)初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的期望軌跡.設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器,使系統(tǒng)的狀態(tài)變量沿著規(guī)劃的期望軌跡到達(dá)目標(biāo)狀態(tài).這種控制方法可以保證系統(tǒng)的所有變量同時(shí)收斂到目標(biāo)值.這也就意味著,機(jī)械臂的末端執(zhí)行器在到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)沒有殘余振動(dòng)產(chǎn)生.仿真結(jié)果驗(yàn)證了本方法的有效性和優(yōu)越性.值得一提的是,對(duì)于更為復(fù)雜的多柔性連桿多柔性模態(tài)的柔性機(jī)械臂,該方法依舊有效.