含未知參數(shù)的一維人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的自適應(yīng)邊界控制

秦 偉,CONTRERAS Sergio,崔寶同

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)與工程學(xué)院,江蘇無(wú)錫 214122;2.內(nèi)華達(dá)大學(xué)拉斯維加斯分校電氣與計(jì)算機(jī)工程系,美國(guó)拉斯維加斯89154)

1 引言

隨著城市規(guī)模的不斷擴(kuò)大,越來(lái)越多的人口涌入城市.城市中一些主要的生活場(chǎng)所如地鐵站,大型商場(chǎng),學(xué)校等會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)人群的聚集.如何對(duì)這樣大規(guī)模的人群進(jìn)行管理,防止擁擠踩踏事件的發(fā)生,以保證人們的人身安全,獲得良好的舒適度體驗(yàn)是個(gè)值得研究的課題.1993年在倫敦舉行的人群安全工程會(huì)議[1]就指出了人群管理的重要性,引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.

目前,對(duì)人群動(dòng)態(tài)管理的研究主要集中在兩個(gè)層面.一種是將行人作為離散的個(gè)體來(lái)研究,把每個(gè)人作為研究對(duì)象,建立離散數(shù)學(xué)模型[2–3],通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)模擬行人行進(jìn)路線的選擇.這種研究方式能真實(shí)的模擬現(xiàn)實(shí)中的人群動(dòng)態(tài),但是當(dāng)行人數(shù)量龐大時(shí),再用這種方法去建模仿真將變得非常困難.另一種方式是借助流體動(dòng)力學(xué)的知識(shí),將大規(guī)模的行人看作一個(gè)整體來(lái)研究.用局部平均人群密度、平均人群移動(dòng)速度來(lái)建立連續(xù)體模型描述人群動(dòng)態(tài).

基于3個(gè)假設(shè),Hughes[4]建立了一階行人交通連續(xù)體模型.Jiang等[5]構(gòu)建了一個(gè)包含二維歐拉方程的高階人群動(dòng)態(tài)大尺度模型.Xiong等[6]將基于多智能體的微觀人群動(dòng)態(tài)模型與基于連續(xù)體的大尺度人群動(dòng)態(tài)模型相結(jié)合,提出了一種用于人群仿真的混合建模方法.Jiang等[7]構(gòu)建了描述雙向行人交通的高階人群動(dòng)態(tài)連續(xù)體模型.以上研究主要針對(duì)各類(lèi)人群動(dòng)態(tài)進(jìn)行仿真建模,而對(duì)人群動(dòng)態(tài)控制策略的研究相對(duì)較少,Wadoo等[8]為一類(lèi)一維人群動(dòng)態(tài)模型設(shè)計(jì)了擴(kuò)散、對(duì)流、對(duì)流–擴(kuò)散3種狀態(tài)反饋控制律.Shende等[9]對(duì)擁堵?tīng)顟B(tài)下的走廊人群動(dòng)態(tài)進(jìn)行優(yōu)化控制.Qin等[10]為一類(lèi)由擴(kuò)散模型描述行人移動(dòng)速度與密度關(guān)系的人群動(dòng)態(tài)模型設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制律,并解決了控制飽和問(wèn)題.秦等[11]為擾動(dòng)狀態(tài)下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了Robin,Neumann,Dirichlet 3種邊界控制律來(lái)保證人群向特定的方向平穩(wěn)移動(dòng).

文獻(xiàn)[11]對(duì)人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的研究是在假設(shè)系統(tǒng)擴(kuò)散系數(shù)及邊界條件中的相關(guān)參數(shù)已知的情況下完成的,但由于人群動(dòng)態(tài)的復(fù)雜性,試驗(yàn)所得的人群動(dòng)態(tài)的擴(kuò)散系數(shù)及邊界條件系數(shù)難免存在誤差,必然會(huì)影響控制器的作用效果.自適應(yīng)控制方法通過(guò)尋找未知參數(shù)的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)律來(lái)補(bǔ)償未知性，是解決具有不確定性或未知性系統(tǒng)控制問(wèn)題的主要方法.因此,本文借助自適應(yīng)控制工具[12–13],在假設(shè)擴(kuò)散系數(shù)及邊界條件系數(shù)未知的情況下,設(shè)計(jì)自適應(yīng)邊界控制律來(lái)對(duì)人群動(dòng)態(tài)進(jìn)行管理,進(jìn)一步完善了文獻(xiàn)[11]的研究成果.

本文組織結(jié)構(gòu)如下:首先,介紹描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的連續(xù)體模型.然后設(shè)計(jì)自適應(yīng)邊界控制律,借助Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)給出詳細(xì)的指數(shù)穩(wěn)定證明.最后用一實(shí)例來(lái)驗(yàn)證自適應(yīng)邊界控制律的有效性.

為了書(shū)寫(xiě)方便,本文采用如下記號(hào):

2 系統(tǒng)模型

基于數(shù)量守恒定律,建立描述存在擾動(dòng)的一維人群動(dòng)態(tài)模型如下(詳細(xì)建模過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[11]):

其中:x ∈[0,L]表示空間位置,區(qū)間長(zhǎng)度L為正常數(shù);t ∈[0,∞)表示時(shí)間;ρ(x,t)∈H2表示人群密度,H2(0,L)為Sobolev空間;v(x,t)表示人群移動(dòng)速度;q(x,t)表示人群流量,且人群流量、速度與密度之間有如下關(guān)系:

vf表示自由移動(dòng)速度,也就是當(dāng)人群密度為0時(shí),行人可以達(dá)到的最大移動(dòng)速度,取值已知(1.4 m/s);ρm表示人群的最大密度,取值已知(5人/m2);D >0 表示擴(kuò)散系數(shù),一般由試驗(yàn)所得,但存在較大誤差.μ為常數(shù),表示擾動(dòng)系數(shù),取值可正可負(fù).初始條件為

邊界條件為

其中:u0(t)與uL(t)分別為0邊界與L邊界的控制輸入;a,b,c,d均為常數(shù),但由于邊界處人群動(dòng)態(tài)的復(fù)雜性，取值往往難以確定.接下來(lái),在假設(shè)擴(kuò)散系數(shù)D及邊界條件中a,b,c,d取值未知的情況下,借助自適應(yīng)邊界控制工具,來(lái)控制人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

3 自適應(yīng)邊界控制

為了證明主要結(jié)論,先引入以下幾個(gè)引理.

引理1(Poincar′e不等式)[14]對(duì)任意的ρ(x,t)∈C1[0,L],以下不等式成立:

引理2[15]令α<0.如果ρ(0,t)∈L2(0,∞),則

借助引理2,推得以下3個(gè)引理:

引理3令α<0.如果ρ(L,t)∈L2(0,∞),則

引理4令α<0.如果ρ(0,t)∈L3(0,∞),則

引理5令α<0.如果ρ(L,t)∈L3(0,∞),則

定理1假設(shè)人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(1)–(3)的擴(kuò)散系數(shù)D與邊界條件中的系數(shù)a,b,c,d是未知的.當(dāng)<0時(shí),人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(1)–(3)在以下控制律的作用下是指數(shù)穩(wěn)定的,

其中ηi(t)(i=1,2,3,4)對(duì)任意的t≥0都是有界的,且滿足

γi(i=1,2,3,4)為正常數(shù).

證構(gòu)造Lyapunov泛函

并對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

由分部積分法得

將邊界條件

代入式(6)得

由引理1得

將控制律(4)代入上式得

接下來(lái),引入一非負(fù)的能量函數(shù)E(t):

對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

將式(5)與式(8)代入式(9)得

由Gronwall不等式得

借助引理2–5可以得到

因此,人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(1)–(3)在控制律(4)的作用下指數(shù)穩(wěn)定. 證畢.

4 數(shù)值仿真

本節(jié)通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)驗(yàn)證自適應(yīng)邊界控制律(4)的有效性,仿真方法為有限體積法[16].假設(shè)人群疏散系統(tǒng)(1)–(3)初始密度滿足高斯分布

其中:G為最大密度值;δ為高斯分布的中心.數(shù)值仿真主要參數(shù)取值為:G=5,δ=2,L=4,ρm=5,vf=1.4,a=1,b=1,c=1,d=1,γ1=1,γ2=1,γ3=2,γ4=2.

下面,將對(duì)未加控制的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng),自適應(yīng)邊界控制下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng),以及文[11]中設(shè)計(jì)的Robin邊界控制下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分別在擴(kuò)散系數(shù)D=1,D=0.1兩種狀態(tài)下的人群密度演化情況進(jìn)行對(duì)比.

圖1為擴(kuò)散系數(shù)D=1時(shí),未加控制的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)三維密度演化圖.在未對(duì)人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)施加任何控制的情況下,由于擴(kuò)散項(xiàng)ρxx與平流項(xiàng)ρx的作用,人群密度仍緩慢的擴(kuò)散并向出口x=4移動(dòng),經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間,逐漸變?yōu)?.為了更明顯的演示密度變化,選取中點(diǎn)x=2與出口x=4兩點(diǎn)做密度演化圖,如圖2所示.

圖1 當(dāng)D=1時(shí),未加控制的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)三維密度演化圖Fig.1 3D density response of uncontrolled crowd dynamic systems when D=1

圖2 當(dāng)D=1時(shí),未加控制的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在x=2,4兩點(diǎn)密度演化圖Fig.2 The density response of uncontrolled crowd dynamic systems at point x=2,4 when D=1

由圖2可以看出,中點(diǎn)x=2的密度大約在9 s處變?yōu)?,出口x=4的密度在10 s處仍未變?yōu)?,說(shuō)明疏散過(guò)程仍未結(jié)束.圖3與圖4分別為擴(kuò)散系數(shù)D=1時(shí),自適應(yīng)邊界控制下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)三維密度演化圖與x=2,4兩點(diǎn)處的密度演化圖.由圖4可知,中點(diǎn)x=2的密度大約在3.8 s處變?yōu)?,出口x=4的密度大約在5.2 s處變?yōu)?,完成疏散過(guò)程.對(duì)比圖1與圖2可以清楚的看到自適應(yīng)邊界控制律提高了疏散效率.

圖3 當(dāng)D=1時(shí),自適應(yīng)邊界控制下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)三維密度演化圖Fig.3 3D density response of crowd dynamic systems with adaptive boundary control when D=1

圖4 當(dāng)D=1時(shí),自適應(yīng)邊界控制下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在x=2,4兩點(diǎn)密度演化圖Fig.4 The density response of crowd dynamic systems with adaptive boundary control at point x=2,4 when D=1

圖5 為擴(kuò)散系數(shù)D=1 時(shí),文獻(xiàn)[11]中Robin邊界控制律作用下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在x=2,4兩點(diǎn)處的密度演化圖.由圖5可知,中點(diǎn)x=2的密度大約在5.8 s處變?yōu)?,出口x=4 的密度大約在7.2 s處變?yōu)?.對(duì)比圖4與圖5可知,本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)邊界控制律要優(yōu)于文獻(xiàn)[11]中設(shè)計(jì)的Robin邊界控制律.

圖5 當(dāng)D=1時(shí),文獻(xiàn)[11]中Robin邊界控制律作用下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在x=2,4兩點(diǎn)處的密度演化圖Fig.5 The density response of crowd dynamic systems at point x=2,4 with Robin boundary control in the paper [11]when D=1

接下來(lái),對(duì)擴(kuò)散系數(shù)D=0.1時(shí)的情況進(jìn)行對(duì)比.當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)D=0.1時(shí),未加控制的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)三維密度演化過(guò)程如圖6所示.減少了擴(kuò)散項(xiàng)的影響,平流項(xiàng)的作用更加明顯,人群更快的向出口移動(dòng).同樣選取中點(diǎn)x=2與出口x=4兩點(diǎn)做密度演化圖,如圖7所示.中點(diǎn)x=2 的密度大約在5 s 左右變?yōu)?,出口x=4的密度大約在8.2 s左右變?yōu)?,達(dá)到的最大密度為2左右.對(duì)比圖2 可知,由于擴(kuò)散作用影響的減少,人群更快速的向出口方向移動(dòng),所以當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)減小時(shí),未加控制的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在更短的時(shí)間內(nèi)完成了疏散過(guò)程.

圖6 當(dāng)D=0.1時(shí),未加控制的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)三維密度演化圖Fig.6 3D density response of uncontrolled crowd dynamic systems when D=0.1

圖7 當(dāng)D=0.1時(shí),未加控制的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在x=2,4兩點(diǎn)密度演化圖Fig.7 The density response of uncontrolled crowd dynamic systems at point x=2,4 when D=0.1

圖8與圖9分別為擴(kuò)散系數(shù)D=0.1時(shí),自適應(yīng)邊界控制下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)三維密度演化圖與x=2,4兩點(diǎn)的密度演化圖.

圖8 當(dāng)D=0.1時(shí),自適應(yīng)邊界控制下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)三維密度演化圖Fig.8 3D density response of crowd dynamic systems with adaptive boundary control when D=0.1

圖9 當(dāng)D=0.1時(shí),自適應(yīng)邊界控制下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在x=2,4兩點(diǎn)密度演化圖Fig.9 The density response of crowd dynamic systems with adaptive boundary control at point x=2,4 when D=0.1

由圖8可以看到,中點(diǎn)x=2的密度在2.0 s左右變?yōu)?,出口x=4的密度在3.9 s左右變?yōu)?,且達(dá)到的最大密度為0.9左右.對(duì)比圖7可知,在自適應(yīng)邊界控制律的作用下,人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅在更短的時(shí)間內(nèi)完成了疏散,并且出口處的最大密度有很大幅度的減小.最大密度的減小減少了出現(xiàn)擁堵、踩踏等事故的幾率,使行人得到更加良好的舒適度體驗(yàn).

圖10為擴(kuò)散系數(shù)D=0.1時(shí),在文獻(xiàn)[11]中Robin邊界控制律作用下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在x=2,4兩點(diǎn)密度演化圖.中點(diǎn)x=2的密度在4.6 s左右變?yōu)?,出口x=4的密度在7.9 s左右變?yōu)?.對(duì)比圖7未加控制的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)密度演化,文獻(xiàn)[11]中Robin邊界控制律在擴(kuò)散系數(shù)D=0.1時(shí),作用效果不明顯,而本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)邊界控制律在擴(kuò)散系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，依然能夠起到很好的控制疏散效果.綜合以上對(duì)比,可以看到自適應(yīng)邊界控制律的有效性.

圖10 當(dāng)D=0.1時(shí),文獻(xiàn)[11]中Robin邊界控制律作用下的人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在x=2,4兩點(diǎn)密度演化圖Fig.10 The density response of crowd dynamic systems at point x=2,4 with Robin boundary control in the paper [11]when D=0.1

5 結(jié)論

本文借助自適應(yīng)邊界控制工具,針對(duì)一類(lèi)存在擾動(dòng)的一維人群動(dòng)態(tài)系統(tǒng),在擴(kuò)散系數(shù)及邊界條件某些系數(shù)不確定的情況下,完成了系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制,以保證人群能按照設(shè)定的方向平穩(wěn)疏散.發(fā)揮了自適應(yīng)控制的優(yōu)點(diǎn),減少了實(shí)際應(yīng)用中擴(kuò)散系數(shù)等不確定性因素的影響,更便于實(shí)際應(yīng)用.研究成果可以應(yīng)用到生活中單入口–單出口場(chǎng)所的人群動(dòng)態(tài)管理.