一類耦合分?jǐn)?shù)階反應(yīng)–擴(kuò)散系統(tǒng)的邊界控制

莊 波崔寶同陳 娟

(1.江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇無錫 214122;2.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇無錫 214122;3.塔林理工大學(xué)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)系,愛沙尼亞塔林19086)

1 引言

反常擴(kuò)散是一種具有時(shí)間非線性的擴(kuò)散系統(tǒng)[1],通常用分?jǐn)?shù)階微積分描述,由此產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)階反應(yīng)–擴(kuò)散系統(tǒng)(fractional reaction-diffusion systems,FRDS)[2–3]成為重要的研究對(duì)象.最近幾年,FRDS邊界控制問題引起了研究者的關(guān)注[4–9].受經(jīng)典(整數(shù)階)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)(reaction-diffusion systems,RDS)邊界控制[10–11]的啟發(fā),Ge等[4]基于反步法研究了具有Dirichlet 和Neumann 邊界的FRDS 邊界控制問題.隨后,Chen等[5]研究了Robin和混合邊界條件下FRDS的邊界反饋鎮(zhèn)定問題,后又考慮了帶有空間依賴擴(kuò)散系數(shù)的情形[6].Zhou等[7]利用Riesz基和分?jǐn)?shù)階Lyapunov方法研究了不穩(wěn)定的FRDS的邊界鎮(zhèn)定問題.相關(guān)結(jié)果還被推廣到FRDS帶有觀測(cè)器的輸出反饋控制[8]和事件觸發(fā)控制[9]等.

在包含多個(gè)分量的(F)RDS中,各分量在擴(kuò)散的同時(shí)發(fā)生反應(yīng)并相互轉(zhuǎn)化,形成耦合(F)RDS.近年來,許多學(xué)者對(duì)整數(shù)階耦合RDS的邊界控制問題進(jìn)行了深入研究[12–16].這些研究同樣利用了反步控制方法[10–11].相關(guān)研究對(duì)象從常系數(shù)耦合RDS[12,14]推廣到系數(shù)隨空間變化(空間依賴)的情形[15–16],并進(jìn)一步擴(kuò)展到對(duì)流反應(yīng)擴(kuò)散方程[15]和偏積分微分方程[16].控制方法也從狀態(tài)反饋控制[12,15–16]發(fā)展到帶有觀測(cè)器的輸出反饋控制[13–14].其中,Baccoli等[12]將基于反步法的邊界控制方法[10]應(yīng)用于常系數(shù)耦合RDS,針對(duì)擴(kuò)散系數(shù)相同和相異兩種情況分別設(shè)計(jì)了使系統(tǒng)穩(wěn)定的邊界控制器,并得到了核函數(shù)矩陣的級(jí)數(shù)解.隨后,Vazquez等[15]研究了系數(shù)隨空間變化的耦合RDS邊界控制問題.在此基礎(chǔ)上,最近,Ge等[17]利用反步法研究了具有空間依賴參數(shù)的耦合分?jǐn)?shù)階半線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題,通過基于觀測(cè)器的輸出反饋控制,實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的Mittag-Leffler穩(wěn)定性[18–19].其中通過假設(shè)核函數(shù)矩陣為對(duì)角陣,獲得了核函數(shù)矩陣的解析解,但同時(shí)對(duì)控制器參數(shù)的選擇提出了較高的要求.總的來說,對(duì)耦合分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)邊界控制的研究還很少,很多問題有待深入研究.

鑒于以上考慮,本文針對(duì)具有空間依賴反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)的耦合FRDS,設(shè)計(jì)基于反步法的狀態(tài)反饋控制器(Robin邊界反饋控制器),并借助分?jǐn)?shù)階Lyapunov方法證明閉環(huán)系統(tǒng)的Mittag-Leffler穩(wěn)定性.最后,利用數(shù)值方法直接求解核函數(shù)矩陣方程,得到控制增益,并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證本文的理論結(jié)果.

2 數(shù)學(xué)模型和問題描述

考慮n個(gè)分量之間存在耦合反應(yīng)項(xiàng)構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階反應(yīng)–擴(kuò)散系統(tǒng)

其中

為系統(tǒng)狀態(tài).這里L(fēng)2(0,1)表示所有的平方可積函數(shù)z(x,t),x ∈[0,1],t∈[0,∞)組成的Hilbert空間,其范數(shù)定義為

[L2(0,1)]n為n個(gè)L2(0,1)空間的直積空間,其范數(shù)定義為

其中階次α ∈(0,1)為給定常數(shù),Γ(·)為Gamma函數(shù),x ∈(0,1),t ∈(0,∞).擴(kuò)散系數(shù)矩陣A=aI ∈Rn×n,a>0為常數(shù),I為適當(dāng)維數(shù)的單位陣.耦合反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)(矩陣)

其中:?ij(x)∈C1[0,1]表示系統(tǒng)狀態(tài)分量zj(x,t)對(duì)zi(x,t)的耦合作用,i,j=1,···,n.Z(x,0)=Z0(x)∈[L2(0,1)]n表示非零的系統(tǒng)初值.系統(tǒng)(1)具有Robin邊界條件

其中:n×n矩陣B=bI,D=dI;b>0,d>0均為常數(shù);U(t)=[u1(t)··· un(t)]T∈Rn表示作用于系統(tǒng)邊界上的控制輸入;開環(huán)條件下(U(t)=0),耦合反應(yīng)項(xiàng)Φ(x)Z(x,t)可導(dǎo)致系統(tǒng)(1)–(2)不穩(wěn)定[4,12].本文利用反步法[11]研究該系統(tǒng)的穩(wěn)定問題.

考慮積分變換

其中K(x,y)=[kij(x,y)]n×n為增益核函數(shù)矩陣.適當(dāng)選取增益核函數(shù)矩陣K(x,y)可將原系統(tǒng)(1)–(2)轉(zhuǎn)換為目標(biāo)系統(tǒng)

及邊界條件

其中:

為目標(biāo)系統(tǒng)狀態(tài),矩陣C ∈Rn×n為設(shè)計(jì)參數(shù),且系統(tǒng)初值

矩陣Bs=bsI,Ds=dsI,其中bs,ds>0均為常數(shù).本文的目標(biāo)是適當(dāng)選取矩陣C以保證系統(tǒng)(4)–(5)是穩(wěn)定的,從而得到閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)(1)–(2).

為進(jìn)一步討論上述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性,首先引入Mittag-Leffler穩(wěn)定性的定義.

定義1(Mittag-Leffler穩(wěn)定性[18–19].)系統(tǒng)

的解被稱為Mittag-Leffler穩(wěn)定的,如果

其中:t0為初始時(shí)刻,α ∈(0,1),ρ>0,b>0,m(0)=0,m(z)≥0,并且m(z)在z ∈Rn上關(guān)于z滿足局部Lipschitz條件,Lipschitz常數(shù)為m0,Eα為Mittag-Leffler函數(shù)

注1由定義1,當(dāng)t→∞時(shí),Eα(?ρ(t ?t0)α)→0.這意味著,因此系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的,從而也是Lyapunov穩(wěn)定的[5,21].Mittag-Leffler函數(shù)Eα(t)在分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性中發(fā)揮了極其重要的作用,因此,Mittag-Leffler穩(wěn)定性也被稱作分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性.

3 邊界控制

根據(jù)變換(3)和邊界條件(5b)可得邊界反饋控制

其中Kx(1,y)=Kx(x,y)|x=1.可見,要得到具體的邊界控制(8),需要求解核函數(shù)矩陣K(x,y).

3.1 核函數(shù)矩陣方程

對(duì)積分變換(3)兩邊取α階Caputo時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),并利用分部積分,可得

利用Leibniz微分法則

由積分變換(3)對(duì)x求導(dǎo)數(shù),得到

將式(10)再次對(duì)x求導(dǎo),并引入記號(hào)

根據(jù)式(9)(11)并利用邊界條件(2a),可得

顯然,系統(tǒng)(4a)要求式(12)對(duì)任意的Z(x,t)恒等于零.于是,再由A=aI,B=bI,Bs=bsI,可導(dǎo)出核函數(shù)矩陣K(x,y),0 ≤y≤x≤1,應(yīng)滿足以下偏微分方程(partial differential equation,PDE):

根據(jù)式(3)(10),結(jié)合邊界條件(2a)和條件(5a),可知系統(tǒng)初值K(0,0)=Bs?B=(bs?b)I.

關(guān)于核函數(shù)矩陣方程(13)的適定性,有以下結(jié)果:

引理1設(shè)Φ(x)∈[C1[0,1]]n×n,則核函數(shù)矩陣PDE(13)具有唯一解,該解有界且在0 ≤y≤x≤1上二次連續(xù)可微.

引理1的證明可參考文獻(xiàn)[5,12]的證明方法(詳見附錄).

注2本文受文獻(xiàn)[12]的啟發(fā),將文獻(xiàn)[5]中的核函數(shù)PDE及其適定性推廣到耦合FRDS,核函數(shù)從標(biāo)量推廣到矩陣形式.對(duì)比文獻(xiàn)[12],本文中核函數(shù)PDE(13)是由分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和Robin邊界控制導(dǎo)出的,并且耦合反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)Φ(x)是空間依賴的,同時(shí)包含K(0,0)≠0的情形.當(dāng)Φ(x)=Φ為常數(shù)矩陣且K(0,0)=0,Bs=B=0,Ds=D=0時(shí),核函數(shù)PDE(13)退化到文獻(xiàn)[12]中Neumann邊界控制的形式,其級(jí)數(shù)解為[12]

其中0 ≤y≤x≤1.若同時(shí)滿足ΦC=CΦ,則有

其中0 ≤y≤x≤1.

3.2 Mittag-Leffler穩(wěn)定性

首先給出Caputo分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的定義.

定義2(平衡點(diǎn)[19])常數(shù)z0是Caputo分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的平衡點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)f(t,z0)=0.

由定義2可知,Z(x,·)=0是系統(tǒng)(1a)的平衡點(diǎn).

為討論系統(tǒng)(4)–(5)的穩(wěn)定性,先給出兩個(gè)引理.

引理2[22]若z(t)∈R是連續(xù)且可微函數(shù),對(duì)任意時(shí)刻t≥0,有

引理3對(duì)任意的x ∈(0,1),函數(shù)W(x,t)在t∈[0,∞)上是連續(xù)可微的.

證采用文獻(xiàn)[5]類似的方法證明.因?yàn)閆(x,t)滿足方程(1)和Caputo時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),可知Z(x,t)在t ∈[0,∞)上連續(xù)且可微.由此經(jīng)過積分變換(3)可得W(x,t)在t ∈[0,∞)上連續(xù)可微.又因?yàn)閃(x,t)滿足方程(9),根據(jù)Caputo時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義[20]可知W(x,t)在t∈[0,∞)上也是連續(xù)可微的.證畢.

下面用H1(0,1)表示所有標(biāo)量函數(shù)z(x,t)組成的Sobolev空間,x ∈[0,1],t≥0,其范數(shù)定義為

[H1(0,1)]n是n個(gè)H1(0,1)空間的直積,其范數(shù)定義為

對(duì)任意方陣A,記S為其對(duì)稱部分.

關(guān)于目標(biāo)系統(tǒng)(4)–(5)的穩(wěn)定性,有以下結(jié)果:

定理1若S[C]為正定矩陣,則系統(tǒng)(4)–(5)滿足

i)在空間[L2(0,1)]n上是Mittag-Leffler穩(wěn)定的;

ii)在空間[H1(0,1)]n上是Mittag-Leffler穩(wěn)定的.

證i)考慮如下Lyapunov函數(shù):

應(yīng)用引理2和系統(tǒng)(4)–(5),可得

其中λmin(S[C])為S[C]的最小特征值.再由a>0,bs>0,ds>0和式(14),最后得到

根據(jù)引理3可知W(x,t)在t ∈[0,∞)上是連續(xù)可微的,因此V(t,W(x,t))也是連續(xù)可微的.基于文獻(xiàn)[18]的證明,針對(duì)不等式(15)取非負(fù)函數(shù)R(t),有

因?yàn)閃T(·,t)W(·,t)的Laplace變換存在,所以V1(t,W(x,t))和R(t)關(guān)于t的Laplace變換也存在.于是,對(duì)式(16)進(jìn)行Laplace變換,得到

V1(s)=L{V1(t,W(x,t))}和R(s)=L{R(t)}分別是V1(x,W(x,t))和R(t)的Laplace變換.由等式(17)可得

由式(14),顯然V1(t,W(x,t))關(guān)于W(x,t)滿足局部Lipschitz條件.其滿足分?jǐn)?shù)階微分方程的解存在唯一性定理[23].進(jìn)而V1(s)的Laplace逆變換,也是方程(16)的唯一解,可表示為

根據(jù)不等式(19)可知

其 中:V1(0)=V1(0,W(x,0))>0 當(dāng)W(x,0)≠0,而V1(0)=0當(dāng)且僅當(dāng)W(x,0)=0;并且V1(t,W(x,t))關(guān)于W(x,t)滿足了局部Lipschitz條件,故V1(0)關(guān)于W(x,0)也滿足局部Lipschitz條件,當(dāng)W(x,0)=0時(shí)V1(0)=0.根據(jù)定義1,系統(tǒng)(4)–(5)是Mittag-Leffler穩(wěn)定的,結(jié)論i)得證.

ii)下面證明目標(biāo)系統(tǒng)(4)–(5)在[H1(0,1)]n空間上Mittag-Leffler穩(wěn)定.定義Lyapunov函數(shù)如下:

應(yīng)用引理2,可得

用Wxx(x,t)乘以式(4a)并利用分部積分從0到1積分,然后代入邊界條件(5a)和(5b),可以得到

將式(23)改寫為

因?yàn)閃(x,t)∈[H1(0,1)]n滿足狀態(tài)方程(4a),應(yīng)用分部積分并代入邊界條件(5a)和條件(5b),可得

將式(24)–(25)應(yīng)用于不等式(22),可得

應(yīng)用與結(jié)論i)類似的證明方法,由不等式(26)可得

其中:V2(t)=V2(t,W(x,t)),V2(0)=V2(0,W(x,0)).再由V2(t,W(x,t))關(guān)于W(x,t)滿足局部Lipschitz條件以及定義1,可知目標(biāo)系統(tǒng)(4)–(5)在[H1(0,1)]n空間上是Mittag-Leffler穩(wěn)定的,結(jié)論ii)得證. 證畢.

下面說明變換(3)是可逆的.假設(shè)其逆變換為采用導(dǎo)出核函數(shù)矩陣PDE(13)類似的方法,可以得到以下PDE:

根據(jù)初始條件(2a)(5a)及逆變換(28)可知初始條件為L(0,0)=B ?Bs.對(duì)比方程(13)和方程(29),若將Φ和C分別替換為?C和?Φ,且令bs=b,則可以得到L(x,y)=?K(x,y).若將兩個(gè)方程的解分別記為

容易驗(yàn)證,代換

將式(29)轉(zhuǎn)換為式(13).由此可知,變換(3)是可逆的.于是,根據(jù)文獻(xiàn)[24],存在正常數(shù)β,γ使得

于是,關(guān)于系統(tǒng)(1)–(2)的穩(wěn)定性有以下結(jié)果:

定理2若存在矩陣C使S[C]正定,那么,在邊界控制(8)作用下,系統(tǒng)(1)–(2)有唯一解且其平衡點(diǎn)(Z(x,·)=0)在空間[L2(0,1)]n和[H1(0,1)]n上都是Mittag-Leffler穩(wěn)定的,其中K(x,y)由方程(13)的解給出.

證首先利用反步法證明系統(tǒng)(1)–(2)解的存在唯一性.根據(jù)積分變換(3)以及其逆變換(28)可知系統(tǒng)(4)–(5)與系統(tǒng)(1)–(2)是等價(jià)的.故只需要證明目標(biāo)系統(tǒng)(4)–(5)的解存在唯一.考慮積分變換

其中:系統(tǒng)狀態(tài)Q(x,t)=[q1(x,t)··· qn(x,t)]T;核函數(shù)P(x,y)=[pij(x,y)]n×n,0 ≤y≤x≤1,滿足方程

其中n階方陣S=sI,s>0為常數(shù).于是,根據(jù)文獻(xiàn)[12],上述核函數(shù)方程是適定的,且變換(32)是可逆的.利用該變換,可將目標(biāo)系統(tǒng)(4)–(5)變換為

即n個(gè)系統(tǒng)

其中i=1,···,n.根據(jù)文獻(xiàn)[7],若qi0(x)∈L2(0,1),i=1,···,n,每個(gè)系統(tǒng)(33a)–(33c)都具有唯一解.因此,目標(biāo)系統(tǒng)(4)–(5)以及與之等價(jià)的系統(tǒng)(1)–(2)的解存在且唯一.

根據(jù)定理1可知系統(tǒng)(4)–(5)在[L2(0,1)]n空間上是穩(wěn)定的,且滿足式(20),即

結(jié)合不等式(30),可得

其中:x∈[0,1],t ∈[0,∞).根據(jù)定義1,可知系統(tǒng)(1)–(2)在[L2(0,1)]n上是Mittag-Leffler穩(wěn)定的.

類似地,因?yàn)閃(x,t)∈[H1(0,1)]n,結(jié)合式(27)和不等式(31)可得

根據(jù)定義1可知系統(tǒng)(1)–(2)在[H1(0,1)]n上是Mittag-Leffler穩(wěn)定的.定理2結(jié)論得證. 證畢.

注3定理2將文獻(xiàn)[5]的結(jié)果推廣到耦合的FRDS.對(duì)比文獻(xiàn)[12],本文針對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)且具有空間依賴的耦合系數(shù).另外,Robin邊界控制也使結(jié)果更具一般性,因?yàn)楫?dāng)Bs=B=0,Ds=D=0時(shí),結(jié)論即退化為Neumann邊界控制.另外,在文獻(xiàn)[17]中,假設(shè)核函數(shù)矩陣K(x,y)為對(duì)角陣,在一定條件下得到核函數(shù)的解析解[10–11].本文無此約束,針對(duì)多數(shù)無法求得解析解的情況均可采用數(shù)值解,這也使得控制參數(shù)矩陣C的選取更加靈活(見仿真2).

最后,針對(duì)可化為單一核函數(shù)的耦合FRDS邊界控制問題給出一個(gè)算例.

例1若耦合FRDS(1)–(2)滿足Φ(x)=?(x)I+P,其中P為常數(shù)矩陣.那么選取C=cI?P,其中設(shè)計(jì)參數(shù)c>λmax(S[P])可使S[C]正定,其中λmax(S[P])為S[P]的最大特征值.令核函數(shù)矩陣K(x,y)=I×k(x,y),記μ(·):=(?(·)+c),可將方程(13)化為n個(gè)相同的PDE

根據(jù)定理2可知,Robin邊界控制

可使系統(tǒng)(1)–(2)Mittag-Leffler穩(wěn)定,其中核函數(shù)k(1,y)和kx(1,y)可根據(jù)文獻(xiàn)[10]給出的數(shù)值方法求解方程(34)得到.特別地,當(dāng)?(x)=0,bs=b時(shí),取

根據(jù)文獻(xiàn)[10],可解得核函數(shù)

其中In(·)表示修正的n階Bessel函數(shù),并且

4 數(shù)值仿真

本文采用有限差分法求解Caputo時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程[25].將時(shí)間域[0,T]和空間域[0,L]分別均勻劃分為N和M個(gè)區(qū)間.以下仿真中,取

系統(tǒng)參數(shù)取

4.1 仿真1:可化為單一核函數(shù)的情形

考慮包含兩個(gè)(n=2)FRDS的耦合系統(tǒng)(1)–(2),耦合反應(yīng)項(xiàng)系數(shù)矩陣

為常數(shù)矩陣.系統(tǒng)初值為

當(dāng)沒有控制輸入(u1(t)=u2(t)=0)時(shí),開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.具體情形如圖1–3所示.

圖1 開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)L2范數(shù)Fig.1 State L2 norm of open-loop and close-loop systems

圖3 Robin邊界控制作用下的系統(tǒng)狀態(tài)Fig.3 System states with Robin boundary control

從圖1(a)中可以看出,開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)L2范數(shù)是發(fā)散的.采用邊界控制器(35)(37)–(38),取控制參數(shù)c=3,可以得到

滿足定理2條件.根據(jù)例1可知核函數(shù)矩陣為K(x,y)=k(x,y)I,其中k(x,y)由式(36)給出.圖2給出了核函數(shù)和邊界控制輸入.圖1(b)顯示閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)L2范數(shù)逐漸收斂到0,圖3進(jìn)一步展示了兩個(gè)耦合系統(tǒng)的時(shí)空狀態(tài)演化.從中可以看出,本文提出的Robin邊界控制可使被控系統(tǒng)Mittag-Leffler穩(wěn)定.

注4用式(37)–(38)計(jì)算k(1,1)和kx(1,1)時(shí),為避免除數(shù)為零導(dǎo)致錯(cuò)誤,可分別用k(1,1?10?15)和kx(1,1?10?15)代替.從圖2(a)可以看出兩者在y=1處均是連續(xù)的.

4.2 仿真2:非常系數(shù)耦合的情形

非常系數(shù)耦合的情形如圖4–6所示.

圖4 開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)L2范數(shù)Fig.4 State L2 norm of open-loop and close-loop systems

圖5 核函數(shù)Fig.5 Kernel functions

圖6 Robin邊界控制作用下的系統(tǒng)狀態(tài)Fig.6 System states with Robin boundary control

考慮由兩個(gè)(n=2)分?jǐn)?shù)階反應(yīng)–擴(kuò)散過程組成的耦合系統(tǒng)(1)–(2),其中

系統(tǒng)初值為

該系統(tǒng)在開環(huán)條件下(u1(t)=u2(t)=0)是不穩(wěn)定的,如圖4(a)所示,系統(tǒng)狀態(tài)范數(shù)∥z1(·,t)∥2,∥z2(·,t)∥2都是發(fā)散的.選取矩陣C=I(滿足定理2條件).利用文獻(xiàn)[10]給出的方法,求得核函數(shù)矩陣PDE(13)的數(shù)值解

如圖5所示.圖4(b)和圖6給出了閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)L2范數(shù)和系統(tǒng)狀態(tài).可見閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)L2范數(shù)收斂到0,這說明基于反步法的Robin邊界控制(8)使系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點(diǎn).

5 結(jié)論

本文針對(duì)具有空間依賴耦合反應(yīng)項(xiàng)的耦合分?jǐn)?shù)階反應(yīng)–擴(kuò)散系統(tǒng),利用反步法設(shè)計(jì)了Robin邊界狀態(tài)反饋控制器,使得在該控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)Mittag-Leffler穩(wěn)定,解決了系統(tǒng)的邊界反饋鎮(zhèn)定問題.同時(shí),借助分?jǐn)?shù)階Lyapunov方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.最后,通過數(shù)值求解核函數(shù)矩陣PDE,解決了具有非常系數(shù)反應(yīng)項(xiàng)的FRDS數(shù)值仿真問題.對(duì)于耦合FRDS仍有很多問題有待研究,今后可考慮耦合FRDS的輸出反饋控制和輸出調(diào)節(jié)問題.

附錄:

為證明引理1,首先引入以下引理:

引理A[26]對(duì)于n ∈N,n≥0,滿足

1)當(dāng)0 ≤η≤ξ,有

2)當(dāng)η≥0,有

3)當(dāng)η≥0,有

證證明分3步:

第1步利用變量替換將核函數(shù)矩陣PDE轉(zhuǎn)換為積分方程并求解.引入變量替換ξ=x+y,η=x ?y,并定義

核函數(shù)矩陣PDE(13)可轉(zhuǎn)換為G(ξ,η)的積分方程

注意到G(0,0)=K(0,0)=(bs?b)In×n,由式(A1)對(duì)變量η從0到ξ積分可得

根據(jù)式(A2),有

利用式(A4),將式(A5)改寫為

對(duì)式(A6)積分并利用式(A3)可得

同理可得G(η,η)如下:

對(duì)式(A1)中變量η從0到η積分并代入式(A3),有

再對(duì)式(A8)中的變量ξ從η到ξ積分并代入式(A7),可得

顯然,滿足方程(A1)–(A3)的解G(ξ,η)同時(shí)滿足式(A9).

第2步利用逐次逼近和數(shù)學(xué)歸納法證明解(A9)的有界性.令

若級(jí)數(shù)Gn(ξ,η)收斂,則有

定義級(jí)數(shù)中相鄰兩項(xiàng)之差為

于是式(A12)–(A13)可改寫為

根據(jù)式(A13),有

考慮到對(duì)任意的τ≤η,b>0都有e?b(η?τ)≤1,應(yīng)用引理A得到估計(jì)

于是,利用歸納法可知式(A18)得證.由估計(jì)式(A17)–(A19)可知,級(jí)數(shù)(A14)在0 ≤η≤ξ≤2上一致收斂,而且G(ξ,η)是式(A9)二次連續(xù)可微的解.

根據(jù)式(A14)(A18),可將G(ξ,η)的界改寫為

第3步證明解的唯一性.假設(shè)式(A9)有兩個(gè)解,分別記作G1(ξ,η)和G2(ξ,η),則有

記?G′(ξ,η)=∥G1(ξ,η)?G2(ξ,η)∥.利用不等式(A22)替換式(A18)中的式(A13),然后采用證明?G(ξ,η)有界性同樣的步驟,可以得到以下估計(jì):

于是,G1(ξ,η)?G2(ξ,η)≡0,故可知方程(A9)具有唯一解.

綜上可知,方程(A9)或方程(A1)–(A3)的解是唯一且有界的,這意味著核函數(shù)矩陣方程(13)的解也是唯一且有界的.

證畢.