多電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的保性能魯棒Funnel控制

王敏林董雪明任雪梅陳 強(qiáng)張 策

(1.北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試研究所,北京 100095;2.北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,北京 100081;3.浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院,浙江杭州 310023)

1 引言

隨著伺服技術(shù)的快速發(fā)展,單電機(jī)驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應(yīng)用在軍事和工業(yè)上.然而對(duì)于某些大慣量大功率負(fù)載而言,例如大型雷達(dá)天線伺服系統(tǒng)[1]和火炮控制系統(tǒng)[2],單電機(jī)伺服系統(tǒng)不能夠滿足其在驅(qū)動(dòng)力和輸出功率上的需求.因此采用多個(gè)電機(jī)聯(lián)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的控制方式是現(xiàn)今伺服系統(tǒng)研究和發(fā)展的方向之一.多電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)負(fù)載位置對(duì)參考指令的跟蹤,但由于系統(tǒng)中存在各種非線性,常規(guī)的控制器(比例–積分–微分(proportion integra differential,PID)控制)不能保證系統(tǒng)有較好的跟蹤性能.這其中齒隙作為一種最主要的非線性會(huì)使得負(fù)載在齒隙內(nèi)部處于短暫的不可控狀態(tài),反映在輸出曲線上所造成的周期性抖動(dòng),造成系統(tǒng)控制精度的降低[3].同時(shí),由于系統(tǒng)元件老化和靈敏度下降等因素而導(dǎo)致的參數(shù)不確定性也會(huì)影響系統(tǒng)的控制性能.

目前對(duì)于多電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制方法的研究仍處于起步階段,尤其是實(shí)現(xiàn)多電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的高精度跟蹤控制仍然是伺服系統(tǒng)領(lǐng)域的一個(gè)研究難點(diǎn).文獻(xiàn)[4]針對(duì)含齒隙非線性的雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反步控制器實(shí)現(xiàn)負(fù)載跟蹤并證明了穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[5]提出了一種基于自適應(yīng)滑模的故障診斷和容錯(cuò)控制策略解決了雙電機(jī)同步驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)中執(zhí)行器的故障問(wèn)題.但在上述控制方法中,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)被認(rèn)為是固定不變的,并未考慮因元件老化或靈敏度下降導(dǎo)致的參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響.為了處理參數(shù)不確定性,文獻(xiàn)[6]針對(duì)帶有滯后性、隨機(jī)干擾以及模型不確定性的多電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),利用模糊-Smith預(yù)估器進(jìn)行補(bǔ)償并在線調(diào)整PID參數(shù).而文獻(xiàn)[7–8]將系統(tǒng)存在的未知非線性,參數(shù)不確定性以及外部干擾作為一個(gè)總和擾動(dòng),設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)此擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)并在控制當(dāng)中進(jìn)行補(bǔ)償.然而,以上方法都是以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能而進(jìn)行的控制器設(shè)計(jì),并不能夠?qū)ο到y(tǒng)的瞬態(tài)性能進(jìn)行預(yù)先分析和保證.

為了保證系統(tǒng)的瞬態(tài)性能,文獻(xiàn)[9]提出一種規(guī)定性能函數(shù)能夠保證誤差被限制在一定范圍內(nèi),該方法通過(guò)找到一個(gè)誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)將原始誤差信號(hào)變換為一個(gè)新的誤差系統(tǒng),然后設(shè)計(jì)控制器鎮(zhèn)定此誤差系統(tǒng),則可保證跟蹤誤差被限制在給定的邊界之內(nèi).文獻(xiàn)[10]將規(guī)定性能函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)并應(yīng)用于四電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了跟蹤誤差的規(guī)定性能控制.但由于該方法在誤差轉(zhuǎn)換時(shí)需要求其逆函數(shù),會(huì)導(dǎo)致奇異性問(wèn)題,不但會(huì)超出邊界,甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定.為了解決這個(gè)問(wèn)題,文獻(xiàn)[11]提出了一種Funnel控制方法,其主要思想是根據(jù)高增益的理念,采用可調(diào)節(jié)的時(shí)變比例增益控制一類一階或者二階系統(tǒng),提高系統(tǒng)瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能.文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)一種Funnel預(yù)補(bǔ)償器和控制器實(shí)現(xiàn)了相對(duì)度為二的一類最小相位系統(tǒng)的規(guī)定性能控制.后來(lái),文獻(xiàn)[13]針對(duì)已知相對(duì)階的非線性系統(tǒng)提出了一種無(wú)模型Funnel控制.文獻(xiàn)[14]結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及Funnel控制保證了電機(jī)伺服系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)控制性能.然而Funnel控制主要適用于階數(shù)為一或二的一類系統(tǒng),限制了Funnel控制在實(shí)際中的應(yīng)用.

本文針對(duì)含參數(shù)不確定性的多電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),提出了一種基于最優(yōu)保性能魯棒的Funnel控制方法.該控制器由一個(gè)前饋控制器和一個(gè)反饋控制器組成,前饋控制器是根據(jù)Funnel控制方法設(shè)計(jì)的,能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的規(guī)定跟蹤性能;而反饋控制器則是采用最優(yōu)保性能魯棒控制方法設(shè)計(jì)的,可以抑制參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響.本文的主要貢獻(xiàn)如下:

1)相比于現(xiàn)有Funnel控制[12–14]對(duì)系統(tǒng)階次的限制,本文提出一種改進(jìn)的Funnel控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)含參數(shù)不確定性的高階多電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的全階跟蹤誤差規(guī)定性能收斂,并且解決了傳統(tǒng)規(guī)定性能控制存在的奇異性問(wèn)題.

2)針對(duì)參數(shù)不確定性會(huì)影響系統(tǒng)的Funnel控制性能,本文設(shè)計(jì)了基于最優(yōu)保性能魯棒的反饋控制器,該控制器不僅增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性,并且在參數(shù)不確定性存在的情況下仍能使性能指標(biāo)達(dá)到一確定的上界.

3)本文從前饋–反饋控制思想出發(fā),結(jié)合Funnel控制和最優(yōu)保性能魯棒控制,保證跟蹤誤差限制在給定Funnel邊界之內(nèi),提高了系統(tǒng)瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能.仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性.

2 系統(tǒng)建模

以四電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為例,其示意圖如圖1所示,其中Q0為從動(dòng)子系統(tǒng),Q1,Q2,Q3和Q4為驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng).

一般地,多電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[4]可由下式來(lái)表示:

其中:θi,θm分別為主、從動(dòng)輪軸的轉(zhuǎn)角,分別為主、從動(dòng)輪軸的轉(zhuǎn)速,Ji,bi為主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性摩擦系數(shù),Jm,bm為從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性摩擦系數(shù),ui為系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)矩,Ti為主、從動(dòng)輪接觸時(shí)的傳遞力矩.

圖1 四電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of the four-motor driving system

受齒隙非線性的影響,Ti可表示為

其中:k1,k2>0是飽和系數(shù),vi=θi?θm為主與從動(dòng)輪之間的位置差,α1>0為右半齒隙寬度,α2>0為左半齒隙寬度.

為了便于控制器的設(shè)計(jì),將Ti分解為

注1由式(3)可知,齒隙非線性可被分解為一個(gè)分段線性項(xiàng)以及一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)組合的形式,并且從式(4)可得出這個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)dα(vi(t))是有界的,即|dα(vi(t))|≤max{α1,α2}=α.

選取狀態(tài)變量如下:

定義k′=min{k1,k2}.根據(jù)式(1)和式(3),則多電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可表示為

假設(shè)所有電機(jī)的參數(shù)一致,即J=J1=J2=···=Jn與b=b1=b2=···=bn.定義電機(jī)端狀態(tài)變量的和為并且定義控制量的和為,考慮系統(tǒng)參數(shù)不確定性,則系統(tǒng)(5)可轉(zhuǎn)化為

假設(shè)1所有參數(shù)不確定性?aj(j=0,1,2,3,4)均有界,即|?aj|≤?ajM其中?ajM為正常數(shù).

注2由于k ?k′≤|k1?k2|為有界非負(fù)函數(shù),所以本文將分別折算在參數(shù)不確定性?a2和?a4中.

本文的控制目標(biāo)為設(shè)計(jì)控制器u使得系統(tǒng)輸出y跟蹤參考指令yd并且跟蹤誤差e1=y ?yd被保證在一定范圍內(nèi).

3 控制器設(shè)計(jì)

本章所設(shè)計(jì)的控制器包含一個(gè)前饋控制器Ua和一個(gè)反饋控制器U?,前饋控制器采用Funnel控制方法,而反饋控制器是由基于最優(yōu)保性能魯棒的控制器所設(shè)計(jì)的,即最終控制器為U=Ua+U?.

3.1 Funnel控制

Funnel控制是由Ilchmann等[15]提出的一種控制方法,通過(guò)選取Funnel函數(shù)可以保證跟蹤誤差被限制在給定范圍內(nèi).首先采用d(t)表示Funnel邊界和誤差的歐式距離如下:

其中:Fφ(t)為Funnel函數(shù),e(t)為跟蹤誤差.

Funnel 邊界是由任意選擇的、連續(xù)的,正向函數(shù)φ(t)的倒數(shù)決定,即.因此,Funnel變量定義為

從上式可以看出,當(dāng)誤差初始值e(t0)被包含在Funnel邊界內(nèi)時(shí),則當(dāng)t≥0時(shí),e(t)同樣包含在Funnel邊界內(nèi).因此,在Funnel控制中的控制增益τ(t)可設(shè)計(jì)為

因此,當(dāng)跟蹤誤差e(t)靠近邊界時(shí),要增加控制增益τ(t);相反,當(dāng)跟蹤誤差e(t)超出邊界,要相應(yīng)減少控制增益τ(t).

設(shè)計(jì)Funnel邊界函數(shù)如下:

其中:φ0,φ∞和β是大于零的常數(shù),并滿足φ0≥φ∞>0及|e(0)|

本文采用如下改進(jìn)的Funnel函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)控制器:

此函數(shù)滿足初始條件的限制,并且新的變量z(t)不受系統(tǒng)次數(shù)的限制,因此改進(jìn)的Funnel函數(shù)在實(shí)際中有著更廣泛的應(yīng)用.

3.2 前饋控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)采用反步控制方法來(lái)設(shè)計(jì)前饋控制器.為了便于控制器的設(shè)計(jì),引入如下的誤差變量:

其中:i=1,2,3,4,η0=yd,ηi?1為虛擬控制輸入可表示為為虛擬前饋控制輸入,為虛擬反饋控制輸入,Fφi=φ0i·exp(?βit)+φ∞i是性能函數(shù),其參數(shù)φ0i應(yīng)該滿足初始條件.

步驟1根據(jù)式(6)(12)可得變換后的跟蹤誤差z1的導(dǎo)數(shù)

將控制式(15)代入式(14)可得

步驟2對(duì)變換后的跟蹤誤差z2求導(dǎo)

選取第2個(gè)李雅普諾夫函數(shù)

其中:l2為正常數(shù),,為θ2的估計(jì)值.對(duì)V2求導(dǎo)可得

其自適應(yīng)律可設(shè)計(jì)為

將控制式(19)和自適應(yīng)律(20)代入到式(18)中可得

步驟3對(duì)變換后的跟蹤誤差z3求導(dǎo)

將式(24)代入到式(23)中,可得

步驟4對(duì)變換后的跟蹤誤差z4求導(dǎo)

選取最終李雅普諾夫函數(shù)

其中:l0為正常數(shù),,為θ0的估計(jì)值.對(duì)V4求導(dǎo)可得

其中

其自適應(yīng)律可設(shè)計(jì)為

將控制式(28)以及自適應(yīng)律(29)代入到式(27)中,可得

其中?f2=?a0u ??a3x4??a4(x3?nx1).

定義誤差系統(tǒng)

則式(30)可改寫為

其中:

注3從上式可以看出,僅使用前面所設(shè)計(jì)的前饋控制器不能使保證式(31)負(fù)定,這是由于式(29)中存在一個(gè)不確定項(xiàng)zTρ(Ae+BU?+?f),因此必須再設(shè)計(jì)一個(gè)反饋控制器處理此不確定項(xiàng).由于選取的Funnel邊界函數(shù)滿足Fφi(t)>|ei|,則ρi >0且zi與ei的符號(hào)相同,因此設(shè)計(jì)的反饋控制器只要能夠鎮(zhèn)定不確定性子系統(tǒng)=(Ae+BU?+?f)即可,而下面所設(shè)計(jì)的保性能魯棒控制器U?不但使此子系統(tǒng)能夠穩(wěn)定,并且使性能指標(biāo)達(dá)到一個(gè)確定的上界.

3.3 反饋控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)式(31),考慮如下帶有參數(shù)不確定性的子系統(tǒng):

其中:x=[x1x2x3x4]T,?f為與狀態(tài)x和控制U?相關(guān)的函數(shù),即?f(x,U?).

引理1如果本文設(shè)計(jì)反饋控制器U?使得系統(tǒng)狀態(tài)x跟蹤給定參考信號(hào)η=[η0η1η2η3],則子系統(tǒng)(32)是穩(wěn)定的且所有信號(hào)均有界.根據(jù)假設(shè)1,由于系統(tǒng)參數(shù)不確定性有界,則不確定性?f可用下式來(lái)描述

其中:G為正定矩陣,d(x,U?)為函數(shù)向量且滿足

其中L1,L2為正定矩陣.

定理1對(duì)于參數(shù)不確定性?f(x,U?),可以找到一個(gè)函數(shù)Γ(x,U?):

使得下式成立:

其中λ為拉格朗日乘子向量.

證根據(jù)式(33)–(36)可得

證畢.

對(duì)于帶有不確定性的系統(tǒng)(32)而言,本章的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)保性能魯棒控制器

使得如下性能指標(biāo)最小:

其中:K為反饋增益,M為與參考信號(hào)有關(guān)的矢量,Q和R為正定對(duì)稱陣.為此,首先給出保性能魯棒控制器的定義如下.

定義1對(duì)于含參數(shù)不確定性的系統(tǒng)(32),如果存在控制器(38)和一個(gè)正數(shù)J?,使得對(duì)滿足式(33)–(34)的不確定性,閉環(huán)系統(tǒng)(32)都正則,無(wú)脈沖,穩(wěn)定的且性能指標(biāo)滿足J≤J?,則稱帶參數(shù)不確定性的系統(tǒng)(32)是可保性能控制的,J?為系統(tǒng)(32)的一個(gè)可保性能,而控制器(38)稱為帶參數(shù)不確定性的系統(tǒng)(32)的一個(gè)保性能魯棒控制器.

因此對(duì)于不確定性系統(tǒng)(32)的標(biāo)稱系統(tǒng)

可設(shè)計(jì)哈密爾頓函數(shù)

則原系統(tǒng)性能指標(biāo)滿足

其中

為標(biāo)稱系統(tǒng)(40)的性能指標(biāo).

根據(jù)定義1,對(duì)于含參數(shù)不確定性系統(tǒng)(32),在給定性能指標(biāo)(39)下所設(shè)計(jì)的保性能魯棒控制器(38)即為對(duì)標(biāo)稱系統(tǒng)(40)在給定性能指標(biāo)(43)下設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制器.

對(duì)于哈密爾頓函數(shù)(41),根據(jù)控制方程與協(xié)態(tài)方程可得如下規(guī)范方程組:

根據(jù)最優(yōu)化原理,上式的解為

其中P和L為正定對(duì)稱矩陣可由如下黎卡提方程求得:

3.4 穩(wěn)定性分析

定理2對(duì)于不確定性系統(tǒng)(32),若設(shè)計(jì)保性能魯棒控制器為(45),則系統(tǒng)狀態(tài)x能夠跟蹤參考信號(hào)yd并且跟蹤誤差e被限制在Funnel邊界函數(shù)內(nèi).

證選擇式(43)中的性能指標(biāo)J?(x)為L(zhǎng)yapunov函數(shù),對(duì)其求導(dǎo)可得

根據(jù)哈密爾頓函數(shù)(41)和引理2,式(47)滿足

由于J?(x)為正定函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為負(fù)定的,則保性能魯棒控制器(45)可以鎮(zhèn)定子系統(tǒng)(32).

因此,所設(shè)計(jì)的最優(yōu)反饋控制器U?可以保證(31)中的子系統(tǒng)滿足

則式(31)滿足

對(duì)上式兩邊進(jìn)行積分可得

因此閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)均為半全局一致有界的,并且跟蹤誤差e能夠被包含在所設(shè)計(jì)的Funnel邊界函數(shù)內(nèi).

證畢.

注4為了實(shí)施本文中的控制算法,應(yīng)當(dāng)對(duì)所有參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié).需要參數(shù)可以分成兩部分,一部分是Funnel函數(shù)的參數(shù)φ0i,φ∞i和βi的選擇應(yīng)該滿足初始條件;另一部分是控制器參數(shù)ci和Q,R根據(jù)跟蹤誤差的大小,反復(fù)試驗(yàn)進(jìn)行選擇.參數(shù)的具體調(diào)節(jié)規(guī)律如下:

1)根據(jù)式(10)選擇Funnel參數(shù)φ0i,φ∞i和βi使其滿足初始條件|zi(0)|＜Fφi(0),φ0i≥φ∞i >0.

2)采用反復(fù)試驗(yàn)法選擇合適的控制器增益ci.通常情況下,較大的控制增益ci能夠使跟蹤誤差快速收斂,但是控制系統(tǒng)容易發(fā)生振動(dòng).

3)Q為系統(tǒng)狀態(tài)的權(quán)重矩陣,可以選取較大值提高控制性能;R為控制輸入的權(quán)重矩陣,一般設(shè)置為單位矩陣.L1和L2為參數(shù)不確定性的邊界矩陣,其選取應(yīng)使引理1成立.

4 仿真結(jié)果

應(yīng)用MATLAB仿真軟件對(duì)所設(shè)計(jì)的控制算法進(jìn)行驗(yàn)證,采用四電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[16]作為研究對(duì)象,其參數(shù)選取如下:

參數(shù)不確定性選擇為

在原參數(shù)大小5%內(nèi)變化.

為了驗(yàn)證所提出算法的有效性,本文采用了以下3種控制方法進(jìn)行比較和分析.

1)基于保性能魯棒的Funnel控制(robust guaranteed-funnel control,RG–FC):Funnel 邊界函數(shù)設(shè)計(jì)如式(10),其參數(shù)為

反步前饋控制器設(shè)計(jì)如式(15)(19)(24)和式(28),其參數(shù)選擇為c1=3,c2=10,c3=20,c4=15;自適應(yīng)律設(shè)計(jì)如式(20)(29),參數(shù)選擇為l0=3,l2=1;最優(yōu)保性能魯棒控制器設(shè)計(jì)為式(45),其參數(shù)為

2)Funnel控制(funnel control,FC):Funnel邊界函數(shù)的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)和參數(shù)大小與方法(1)相同,反步控制器的參數(shù)也與方法(1)保持一致,只是去掉最優(yōu)保性能魯棒控制器.

3)反步控制方法(backstepping control,BC):其控制參數(shù)選取和方法(2)一樣,但沒(méi)有設(shè)計(jì)Funnel邊界函數(shù)和誤差轉(zhuǎn)換.

為了定量分析這幾種控制方法的控制性能,采用以下性能指標(biāo)進(jìn)行比較[17].

2)eM=max|e1(t)|表示跟蹤誤差的最大絕對(duì)值,用來(lái)計(jì)算瞬態(tài)跟蹤性能.

仿真時(shí)間間隔為0.01 s,初始狀態(tài)均設(shè)為0,選取正弦波形yd=3 sint作為參考信號(hào).基于保性能魯棒的Funnel控制方法的控制性能的仿真結(jié)果如圖2–3所示.

圖2 基于保性能魯棒Funnel控制下的輸出跟蹤性能Fig.2 Output tracking performance of RG–FC

圖3 基于保性能魯棒Funnel控制下的狀態(tài)跟蹤性能Fig.3 State tracking performance of RG–FC

其中圖2顯示了輸出跟蹤曲線和輸出跟蹤誤差,圖3顯示了狀態(tài)跟蹤曲線和狀態(tài)跟蹤誤差.可以看出在所提出控制方法的作用下,系統(tǒng)輸出能夠跟蹤給定參考信號(hào),并且跟蹤誤差可以被限制在Funnel邊界函數(shù)內(nèi),因此系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能得到了保證.選擇混合三角函數(shù)yd=sint ?cos(0.5t)+1作為參考信號(hào),對(duì)所有控制方法的控制性能進(jìn)行了仿真比較,其結(jié)果如圖4所示.

從圖4(a)中可看出,相比于FC 和BC,所提出的RG–FC具有更好的跟蹤性能:從圖4(b)中可以發(fā)現(xiàn),RG–FC和FC的跟蹤誤差都被包含在Funnel邊界函數(shù)內(nèi),而BC的跟蹤誤差則超出了Funnel邊界,這是因?yàn)锽C沒(méi)有采用Funnel函數(shù)進(jìn)行誤差轉(zhuǎn)換.同時(shí),與FC相比,所提出的RG–FC具有更好的瞬態(tài)性能,例如:更短的調(diào)節(jié)時(shí)間和更小的超調(diào)量,這是因?yàn)楸Ｐ阅荇敯艨刂葡藚?shù)不確定對(duì)系統(tǒng)的影響.為了定量分析這幾種控制方法的控制性能,表1列出了幾種性能指標(biāo)進(jìn)行比較.從表1中可以看出所提出控制方法的所有指標(biāo)都是最小的,因此所提出的控制方法具有最好的控制性能.

圖4 不同控制方法跟蹤性能的比較Fig.4 Comparative tracking performance of different control schemes

表1 不同控制方法的性能指標(biāo)Table 1 Performance index for different control schemes

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的最優(yōu)保性能魯棒控制在抑制參數(shù)不確定性方面的有效性,本文分別進(jìn)行了參數(shù)不確定性在原系統(tǒng)參數(shù)5%,25%,50%,80%大小內(nèi)變化的仿真實(shí)驗(yàn),其對(duì)比結(jié)果如圖5所示.由圖5可知隨著系統(tǒng)參數(shù)不確定性的變化范圍逐漸增大,系統(tǒng)的瞬態(tài)性能逐漸變差(超調(diào)量越來(lái)越大),而穩(wěn)態(tài)性能并無(wú)明顯變化,但跟蹤誤差都被包含在Funnel邊界內(nèi),這說(shuō)明了所提出的保性能魯棒控制的有效性.

圖5 不同參數(shù)不確定性變化下所提出方法的控制性能Fig.5 The control performance of the proposed scheme with different parameter uncertainties

進(jìn)一步仿真結(jié)果表明,當(dāng)參數(shù)不確定性增大到原系統(tǒng)參數(shù)85%時(shí),當(dāng)前控制參數(shù)的最優(yōu)保性能魯棒控制器無(wú)法再保證系統(tǒng)的Funnel控制性能,系統(tǒng)輸出將處于發(fā)散狀態(tài).

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證所提出的復(fù)合控制方法,以四電機(jī)伺服系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖6所示.由4個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī),脈沖寬度調(diào)制(pulse width modulation,PWM)放大器,內(nèi)置電機(jī)驅(qū)動(dòng)卡(松下mcddt 3520),一個(gè)工業(yè)控制計(jì)算器(Pentium 2.8 GHz),一個(gè)負(fù)載電機(jī)(180STM 35105)組成.該跟蹤控制算法通過(guò)開發(fā)環(huán)境CCS5.0的C++編程實(shí)現(xiàn).

圖6 四電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.6 Diagram of the four-motor driving system

在下面的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中,本文繼續(xù)對(duì)上述3種控制方法進(jìn)行比較.經(jīng)查詢說(shuō)明手冊(cè)可知實(shí)驗(yàn)平臺(tái)機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)為

參數(shù)不確定性在原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)大小的30%內(nèi)變化.實(shí)驗(yàn)中的控制參數(shù)調(diào)節(jié)為

反步控制器的參數(shù)選擇為c1=35,c2=2,c3=60,c4=1,自適應(yīng)參數(shù)選擇為l0=0.5,l2=0.3.最優(yōu)保性能魯棒控制器的參數(shù)為

分別選用不同幅值和不同頻率的正弦信號(hào)作為參考信號(hào).3種控制方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7–8所示,其中圖7比較了在參考信號(hào)下不同控制的輸出和跟蹤誤差.

圖7 參考信號(hào)下的跟蹤控制性能比較Fig.7 Comparable tracking performance for reference yd=

從圖7(a)中可以看出,所提出的RG–FC比其他的控制方法具有更好的跟蹤性能,并且其跟蹤誤差嚴(yán)格限定在Funnel邊界函數(shù)內(nèi)如圖7(b)所示.從圖7(b)還可以看出FC控制方法的跟蹤誤差也處于Funnel函數(shù)邊界內(nèi),但由于沒(méi)有對(duì)參數(shù)不確定性進(jìn)行處理,跟蹤性能劣于RG–FC控制方法.而常規(guī)的BC控制方法則不能保證跟蹤誤差的規(guī)定性能,并且它的跟蹤性能在3種控制方法當(dāng)中是最差的.當(dāng)參考信號(hào)變?yōu)閥d=時(shí),圖8也表明出相同的結(jié)論.

圖8 參考信號(hào)下的跟蹤控制性能比較Fig.8 Comparable tracking performance for referenceyd=

以上的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出的基于保性能魯棒Funnel控制方法的有效性,它不僅能夠?qū)⑾到y(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)限制在給定的Funnel邊界內(nèi),還可以有效抑制參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響,增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性.

6 結(jié)論

針對(duì)含參數(shù)不確定性的多電機(jī)伺服系統(tǒng),本文提出一種基于最優(yōu)保性能魯棒的Funnel控制方法.該方法利用Funnel函數(shù)對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行變換,并設(shè)計(jì)了基于自適應(yīng)反步的前饋控制器鎮(zhèn)定變換后的誤差系統(tǒng)則可保證原始跟蹤誤差的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能.在前饋控制基礎(chǔ)上,又設(shè)計(jì)了基于最優(yōu)保性能魯棒的反饋控制器來(lái)抑制參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響,并使得系統(tǒng)的性能指標(biāo)有一確定的上界.通過(guò)李亞普諾夫理論方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.基于四電機(jī)平臺(tái)的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出的方法不僅能夠保證系統(tǒng)跟蹤誤差的規(guī)定性能而且增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性.