何 偉,謝 巍,吳偉林,張浪文
(華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院,廣東廣州 510640)
近年來,線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)方法成了解決控制問題的有力工具.基于LMI的方法,一般可以構(gòu)造出全階的控制器.當(dāng)被控對(duì)象的階數(shù)較高時(shí),全階控制器由于實(shí)現(xiàn)成本高難以在工程中使用.階數(shù)小于被控對(duì)象階的降階控制器設(shè)計(jì)問題是控制領(lǐng)域研究的基本問題.文獻(xiàn)[1]研究了廣義對(duì)象存在無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)和單位圓上零點(diǎn)時(shí)的降階控制器存在判據(jù)和設(shè)計(jì)準(zhǔn)則.統(tǒng)一給出了混合H2/H∞控制問題的降階控制器的設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[2]考慮了線性時(shí)不變對(duì)象控制問題的降階控制器的設(shè)計(jì)問題.同時(shí)給出了閉環(huán)控制系統(tǒng)性能的上界,該上界適用于標(biāo)準(zhǔn)和奇異控制兩種情形.但是現(xiàn)有的降階控制方法大多是關(guān)于連續(xù)系統(tǒng)的,而關(guān)于離散系統(tǒng)中的降階方法并不多見.
研究者對(duì)離散時(shí)間切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器的設(shè)計(jì)越來越關(guān)注[3–5].由于其強(qiáng)大的工程背景,這類系統(tǒng)可在實(shí)踐中得到更為廣泛的應(yīng)用[6–7].盡管目前有許多強(qiáng)大的線性分析工具,然而離散時(shí)間切換線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題仍然是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題,因?yàn)榧词乖谒袧u近穩(wěn)定的子系統(tǒng)中,特定的切換信號(hào)下離散時(shí)間切換線性系統(tǒng)也可能變得不穩(wěn)[8].對(duì)于自主切換,鎮(zhèn)定問題可以看作是一個(gè)魯棒控制問題,文獻(xiàn)[9]提出了公共Lyapunov函數(shù)的存在是保證魯棒穩(wěn)定性的充分條件,然而,這種基于公共Lyapunov函數(shù)條件在特定的切換律下就會(huì)過于保守.因此,在具有受控切換的離散時(shí)間切換線性系統(tǒng)中,設(shè)計(jì)合理的切換律,達(dá)到閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定和滿足一定性能是很重要的.當(dāng)考慮具有平均駐留時(shí)間(average dwell time,ADT)切換的離散線性切換系統(tǒng)的輸出反饋控制時(shí),切換系統(tǒng)的控制器的設(shè)計(jì)問題就會(huì)變得有些復(fù)雜.因?yàn)榧s束兩個(gè)相鄰Lyapunov函數(shù)跳躍的邊界條件往往導(dǎo)致以雙線性矩陣不等式(bilinear matrix inequalities,BMIs)的形式出現(xiàn)的非凸合成條件難以求解[10].文獻(xiàn)[11]將邊界條件納入控制器的綜合中,并使用控制器狀態(tài)重置技術(shù)繞過了相關(guān)的BMIs的問題.
本文提出了一種具有ADT切換的離散線性切換系統(tǒng)輸出反饋的降階控制方法.該方法由一個(gè)切換動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器,一個(gè)監(jiān)控切換信號(hào)的監(jiān)控器和在每個(gè)切換時(shí)刻執(zhí)行切換控制器狀態(tài)的復(fù)位規(guī)則組成(如圖1所示).主要體現(xiàn)在其將邊界條件的綜合問題表述為凸優(yōu)化的問題,從而可以得到關(guān)于ADT的全局最優(yōu)解.此外,本文的方法不需要控制器狀態(tài)重置的全部對(duì)象狀態(tài)信息,這在很大程度上實(shí)現(xiàn)了降階控制.最后通過一個(gè)算例結(jié)果來驗(yàn)證本方法的可行性.
圖1 混合控制框架Fig.1 The hybrid control scheme
考慮一個(gè)離散時(shí)間線性切換系統(tǒng):
其中x(k)∈Rn,u(k)∈Ru和y(k)∈Rq分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸入、測(cè)量輸出.
假定:A1)(Ap,i,Bu,i,Cy,i)對(duì)于i ∈I[1,Np]是可穩(wěn)定的和可檢測(cè)的;
A2)Dyu,i=0對(duì)于所有的i ∈I[1,Np]都成立.本文的設(shè)計(jì)目標(biāo):設(shè)計(jì)一個(gè)降階控制律,使得切換系統(tǒng)(1)滿足加權(quán)的l2增益性能的漸進(jìn)穩(wěn)定.
定義1對(duì)于切換信號(hào)δ和任何時(shí)間的間隔t2>t1>t0,假設(shè)Nδ(t1,t2)為切換信號(hào)δ在時(shí)間間隔[t1,t2]內(nèi)的切換次數(shù).如果對(duì)于條件N0≥1,τa>0,有Nδ(t1,t2)≤N0+(t2?t1)/τa始終成立,則稱τa為平均駐留時(shí)間,N0稱為顫動(dòng)界.
引理1考慮一個(gè)切換線性系統(tǒng)(1).設(shè)0<λ0<1,γ >0和μ>1是給定常數(shù),如果存在對(duì)稱正定矩陣Pi,使得
成立,那么切換線性系統(tǒng)(1)在平均駐留時(shí)間τa的切換信號(hào)下是全局一致漸近穩(wěn)定(global uniformly asymptotically stable,GUAS)的,其中τa滿足:對(duì)于任何正整數(shù)j >0,有
且在零初始條件下滿足加權(quán)l(xiāng)2增益性能γ,即
證 以上的結(jié)果很容易從定理2 的證明推導(dǎo)得到[12]. 證畢.
注1利用Schur補(bǔ)引理,根據(jù)文獻(xiàn)[17–18],矩陣不等式(2)等價(jià)于以下條件:
i)存在對(duì)稱正矩陣Pi,使得
ii)存在對(duì)稱正矩陣Qi,使得
考慮切換系統(tǒng)(1),其中部分狀態(tài)測(cè)量是可用的.
注意,測(cè)量的輸出y:被劃分為y1∈Rny1,y2∈Rn2和ny1+n2=ny.輸出矩陣的特殊形式意味著最后的n2狀態(tài)是可直接測(cè)量的,即讓和xp1∈Rn1,xp2∈Rn2;然后,本文有y2=xp2和n1+n2=n作為結(jié)果,這樣就可以構(gòu)造n1–階輸出反饋律.
其中控制器狀態(tài)xk ∈Rn1,?1,ij ∈Rn1×n2和?2,ij ∈Rn1×n1是重置矩陣.將式(9)的降階控制器應(yīng)用到式(8)的切換系統(tǒng)后,得到閉環(huán)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣如下:
定理1考慮切換線性系統(tǒng)(1).給出兩個(gè)可調(diào)標(biāo)量λ0∈R+和μ>1,若存在正定矩陣和矩形矩陣.S2,i ∈Rn1×n2,Rn1×n2,對(duì)于所有的i,j ∈I[1,Np],i≠j.式(11)和(12)所求解的正標(biāo)量γ ∈R+.然而,對(duì)于每個(gè)切換信號(hào)σ,在平均駐留時(shí)間τa≥ln(μ)/λ0內(nèi),具有GUAS的閉環(huán)系統(tǒng)(10),實(shí)現(xiàn)了加權(quán)l(xiāng)2增益性能γ.
因此,通過以下算法可以得到降階控制器系數(shù)矩陣:
1)分塊矩陣
在R1,i,,對(duì)于所有的i ∈I[1,Np],本文有.注意,矩陣由引理2.1可得[16].
2)求解Ni ∈Rn×n1對(duì)于所有的i ∈I[1Np]通過因式分解,其中Qi ∈Rn1×n1,定義Mi=?RiNiQi,所以Mi,Ni滿足獨(dú)立的SiRi+.此外,本文還劃分了Mi,Ni:Mi=,所以M1,i,N1,i ∈Rn1×n1是可逆的.并且M2,i,N2,i ∈Rn2×n1.
3)計(jì)算控制器系數(shù)矩陣Ak,i,Bk1,i,Bk2,i,Ck,i,Dk1,i,Dk2,i和?1,ij,?2,ij.對(duì)于所有的j ∈I[1Np]和i≠j,
其中
證為了保證GUAS穩(wěn)定性和滿足閉環(huán)系統(tǒng)(10)的加權(quán)l(xiāng)2增益性能,本文將相關(guān)的Lyapunov函數(shù)定義為在i ∈I[1,Np].
關(guān)于閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)中的xp1,xp2和xk的維數(shù)
本文分解Lyapunov矩陣Pi:
并指定
使PiZ1,i=Z2,i和.有
本文首先在條件(8)上進(jìn)行同等變換,矩陣diag{Z1,i,Inw,Inz},并得到以下結(jié)果:
其中:
由于Z1,i是非奇異的,所以Lyapunov矩陣Pi >0可以由式(13)確定.另外,在同等變換后,式(11)還可以得到上述結(jié)果的條件.因此,通過執(zhí)行矩陣diag{Z1,i,Z1,j}的同等變換得到了
其中
因此,式(12)可以通過LMI計(jì)算出來,式(14)所示控制器的系數(shù)矩陣也可以通過式(15)和式(16)反推導(dǎo)出來.
證畢.
根據(jù)定理1的結(jié)果,通過求解下列給定的LMI優(yōu)化問題,可以確定降階控制情況下最小加權(quán)l(xiāng)2的增益.(λ0,μ):
本文給出的算例是文獻(xiàn)[18]中的例子,通過采樣周期T=0.5 s而得到的離散系統(tǒng).考慮圖2中的雙罐系統(tǒng).其中流體通過兩個(gè)水槽,狀態(tài)向量值選為兩個(gè)水庫水位值.假定流量的控制和水平面的測(cè)量能在兩個(gè)水箱中任意切換.在沒有控制的情形下,流入與流出的流體為常數(shù)且等于標(biāo)稱值.當(dāng)輸入與輸出矩陣切換時(shí),該系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣仍然沒有明顯的改變.本文選擇如下的系統(tǒng)模型:
其中A中的矩陣是通過采樣周期離散化得到;而輸入和輸出矩陣分別是
本文討論了外部干擾抑制問題,其中選擇加權(quán)函數(shù)為
通過求解式(17)的優(yōu)化問題,本文得到了一個(gè)具有最優(yōu)值γ=0.7625的降階輸出反饋控制器(9).
如圖3所示,降階控制反饋的受控輸出響應(yīng)具有很快的暫態(tài)過程和很好的靜態(tài)特性.同時(shí),在圖4中,降階控制輸出反饋的控制力很小.
圖3 系統(tǒng)的輸出Fig.3 The controlled output
圖4 控制器的輸出Fig.4 The controller output
針對(duì)具有平均駐留時(shí)間的切換離散時(shí)間線性控制系統(tǒng),提出了一種降階輸出反饋控制方法.該方法將邊界條件加入到綜合控制問題中.利用多重二次Lyapunov函數(shù),在統(tǒng)一的框架下,建立了具有保證穩(wěn)定性和最優(yōu)加權(quán)l(xiāng)2增益性能的降階控制器.并將綜合條件表述為一組具有給定的駐留時(shí)間參數(shù)的LMIs.為具有ADT切換的離散時(shí)間線性控制系統(tǒng)的綜合提供了一種有效的、系統(tǒng)的方法.