兩輪自平衡車CMG永磁電機(jī)控制系統(tǒng)

肖 曦 唐藝偉 張 猛

（1.清華大學(xué) 電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備安全控制和仿真國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100084；2.北京控制工程研究所 北京 100080）

引言

兩輪自平衡車是智能車輛的一個(gè)分支，擁有體積小巧、機(jī)動(dòng)性高、駕駛簡(jiǎn)單、適用性廣等特點(diǎn)，已經(jīng)吸引了許多技術(shù)企業(yè)和投資者的關(guān)注。美國(guó)的LitMotors公司在2013年首先提出了兩輪自平衡概念車型C-1，此車型采用陀螺穩(wěn)定器技術(shù)，通過(guò)一組控制力矩陀螺（control moment gyroscope， CMG）使得車身本體保持姿態(tài)平衡[1]。國(guó)內(nèi)的凌云智能公司也從事兩輪自平衡智能電動(dòng)車開發(fā)[2]，其于2015年7月獲得1 000萬(wàn)美元A輪投資，現(xiàn)已推出第三代樣車。日本的雅馬哈公司于2017年推出名為MOTOROiD的概念車型，成為同年?yáng)|京摩托車展上的一個(gè)焦點(diǎn)。

考慮到力矩輸出能力和電氣控制難度，現(xiàn)有的兩輪自平衡車多基于單框架CMG系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。CMG系統(tǒng)由陀螺電機(jī)和框架電機(jī)組成，其中陀螺電機(jī)高速旋轉(zhuǎn)、提供角動(dòng)量量值；框架電機(jī)帶動(dòng)陀螺電機(jī)旋轉(zhuǎn)、提供角動(dòng)量方向變化；二者配合產(chǎn)生內(nèi)部力矩抵消外界的傾覆力矩。兩個(gè)CMG系統(tǒng)前后對(duì)稱安裝，實(shí)現(xiàn)自平衡車偏航和側(cè)傾的解耦，如圖1所示。

取圖1中的坐標(biāo)系約定，記陀螺電機(jī)角動(dòng)量量值為H，兩個(gè)框架電機(jī)旋轉(zhuǎn)角度分別為±φ，列寫車身繞x軸的角動(dòng)量定理方程可得兩個(gè)CMG系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)部力矩L為：

圖1 兩輪自平衡車原理示意圖

電機(jī)選型和電機(jī)控制是CMG系統(tǒng)的重要任務(wù)，永磁同步電機(jī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功率密度高、效率高、控制性能好，被廣泛應(yīng)用于高精度伺服系統(tǒng)、艦船推進(jìn)系統(tǒng)、牽引系統(tǒng)、節(jié)能控速系統(tǒng)等多個(gè)領(lǐng)域中[3]。通過(guò)合理地設(shè)計(jì)永磁體結(jié)構(gòu)并相應(yīng)地布置電樞繞組，可以在每相繞組中獲得正弦波或梯形波的反電動(dòng)勢(shì)。為了區(qū)分此兩種電機(jī)，具有正弦波相反電動(dòng)勢(shì)的永磁同步電機(jī)被稱為永磁交流電機(jī)（permanentACmachine，PMACM），具有梯形波相反電動(dòng)勢(shì)的永磁同步電機(jī)被稱為無(wú)刷直流電機(jī)（brushlessDCmachine，BLDCM）。

為保證角動(dòng)量量值大而穩(wěn)定，CMG系統(tǒng)要求陀螺電機(jī)恒定高速旋轉(zhuǎn)。此外，供電功率確定后，CMG系統(tǒng)還要求陀螺電機(jī)盡可能輕便。由于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大、工作轉(zhuǎn)速較高，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速的負(fù)面影響較小，因而CMG系統(tǒng)能夠容忍陀螺電機(jī)擁有較明顯的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)。無(wú)刷直流電機(jī)結(jié)構(gòu)緊湊、控制簡(jiǎn)單、可靠性強(qiáng)，尤其適用于此種場(chǎng)合?？紤]到應(yīng)用特點(diǎn)并結(jié)合設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，選取外轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的無(wú)刷直流電機(jī)作為陀螺電機(jī)，并在軸系上附加飛輪體以滿足慣量要求。為保證輸出力矩靈活可控，CMG系統(tǒng)要求框架電機(jī)擁有較好的速度伺服性能。此外由于安裝空間限制，框架電機(jī)也應(yīng)該有較高的功率密度。考慮到框架電機(jī)的運(yùn)行速度較低，運(yùn)行負(fù)載較大，適合使用永磁同步電機(jī)直驅(qū)運(yùn)行。

1 CMG系統(tǒng)無(wú)刷直流電機(jī)控制

1.1 模型建立

采用三相六狀態(tài)導(dǎo)通制，假設(shè)電機(jī)內(nèi)部物理過(guò)程及驅(qū)動(dòng)電路換向過(guò)程完全理想，可得到無(wú)刷直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型如下：

式中：

u—導(dǎo)通兩相的端電壓；

i—流經(jīng)電流；

Ra—總電阻；

La—有效電感；

Ke—電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)；

ωm—機(jī)械轉(zhuǎn)速；

Tem—電磁轉(zhuǎn)矩；

TL—負(fù)載轉(zhuǎn)矩；

J—軸系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

B—軸系阻尼系數(shù)。

由于CMG系統(tǒng)中陀螺電機(jī)并不帶載，此處負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL僅用于代表阻尼力矩的非線性部分。

1.2 控制器設(shè)計(jì)

用作CMG系統(tǒng)陀螺電機(jī)時(shí)，受控?zé)o刷直流電機(jī)的機(jī)械時(shí)間常數(shù)將遠(yuǎn)大于電磁時(shí)間常數(shù)，因而可使用級(jí)聯(lián)式結(jié)構(gòu)，將控制任務(wù)分解至速度環(huán)和電流環(huán)雙環(huán)，得到如圖2所示的電機(jī)控制框圖。

首先討論電流環(huán)的控制器設(shè)計(jì)。電流環(huán)主要呈現(xiàn)一階特性，因而可使用PI控制器進(jìn)行控制，記控制器傳遞函數(shù)為：

將逆變器建模為一個(gè)小延時(shí)環(huán)節(jié)，即：

其中Tinv取為PWM周期的一半[4]。為將反電動(dòng)勢(shì)納入考慮，通過(guò)結(jié)構(gòu)圖變換得到圖3所示的電流環(huán)控制框圖，同時(shí)得到電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

作近似1+sTm≈sTm，同時(shí)選取

此時(shí)電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)形如典型二階系統(tǒng)，選取

完成電流環(huán)控制器參數(shù)整定后，討論轉(zhuǎn)速環(huán)控制器的設(shè)計(jì)。由于機(jī)械時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)大于電磁時(shí)間常數(shù)，因而可對(duì)電流環(huán)進(jìn)行一階近似，此時(shí)電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：

轉(zhuǎn)速環(huán)的結(jié)構(gòu)如圖4所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為：

相應(yīng)地，其閉環(huán)傳遞函數(shù)形式為：

上式中各參數(shù)分別為a0=(KcurKeKs)/(BTmTs)，a1=(KcurKeKs)/BTm，a2=1，a3=Tcur。整定參數(shù)時(shí)，以閉環(huán)傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)的“平坦程度”作為優(yōu)化目標(biāo)[4]。具體而言，對(duì)|Gspd，c(jω) |在ω=0處作泰勒展開，令ω2項(xiàng)和ω4項(xiàng)的系數(shù)為零，可得，。從中解出Ks和Ts，完成控制器參數(shù)整定。

1.3 控制器離散實(shí)現(xiàn)

PI控制器形式簡(jiǎn)單，在連續(xù)控制器的基礎(chǔ)上使用離散求和代替積分即可得到離散形式的控制器。當(dāng)采樣周期遠(yuǎn)小于閉環(huán)系統(tǒng)最小的時(shí)間尺度時(shí)，離散化引起的誤差可以忽略不計(jì)。仿真或?qū)嶒?yàn)中可進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)以適應(yīng)不同的性能需求。

圖2 無(wú)刷直流電機(jī)控制框圖

圖3 無(wú)刷直流電機(jī)電流環(huán)控制框圖

圖4 無(wú)刷直流電機(jī)轉(zhuǎn)速環(huán)控制框圖

2 CMG系統(tǒng)永磁交流電機(jī)控制

2.1 模型建立

理想永磁交流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為：

式中：

vd，vq—d軸q軸的電壓；

id，iq—d軸q軸的電流；

R—電樞電阻；

Ld—d軸電感；

Lq—q軸電感；

Φd—d軸永磁體磁鏈，

p—電機(jī)極對(duì)數(shù)；

ωe—電機(jī)電角速度；

ωm—機(jī)械角速度；

Tem—電磁轉(zhuǎn)矩；

TL—負(fù)載轉(zhuǎn)矩；

J—軸系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

B—軸系阻尼系數(shù)。

用作CMG系統(tǒng)框架電機(jī)時(shí)，受控永磁交流電機(jī)的工作轉(zhuǎn)速相對(duì)于其額定功率下的轉(zhuǎn)速較低，因而dq軸反電動(dòng)勢(shì)量值較小，對(duì)解耦策略要求不高，通常前饋解耦即可滿足要求。假設(shè)d、q軸完全解耦，d軸電流被控制為0，則有：

（13＇）（14＇）（15）三個(gè)方程形式上與（2）至（4）三個(gè)方程類似。

CMG系統(tǒng)中框架電機(jī)帶動(dòng)陀螺電機(jī)旋轉(zhuǎn)，其機(jī)械方程中除J表征的慣量項(xiàng)及B表征的阻尼項(xiàng)之外，還有額外的負(fù)載力矩即環(huán)架扭矩(gimbal torque)，記作TL1。為分析環(huán)架扭矩的形式，考慮固定于車身的非慣性系。在此系中，陀螺電機(jī)受離心力、歐拉力和科里奧利力三種慣性力。假設(shè)陀螺電機(jī)完全對(duì)稱，其安裝在框架電機(jī)軸系上時(shí)無(wú)偏心、無(wú)傾斜，則離心力和歐拉力不產(chǎn)生凈力矩，環(huán)架扭矩完全由科里奧利力產(chǎn)生，簡(jiǎn)單矢量計(jì)算可得：

上式中u為車身側(cè)傾角速度，H為陀螺電機(jī)角動(dòng)量，φ為框架電機(jī)旋轉(zhuǎn)角度。對(duì)框架電機(jī)施以控制時(shí)，車身側(cè)傾角速度大小未知，因而TL1應(yīng)視為外界負(fù)載擾動(dòng)。

負(fù)載力矩中未被TL1建模的部分統(tǒng)一記作TL2，這包括阻尼力矩的非線性項(xiàng)、機(jī)械安裝非理想性導(dǎo)致的耦合力矩等，這部分同樣也是未知的。由定義TL=TL1+TL2。

2.2 控制器設(shè)計(jì)

由于受控永磁交流電機(jī)的機(jī)械時(shí)間常數(shù)同樣遠(yuǎn)大于電磁時(shí)間常數(shù)，因而可使用級(jí)聯(lián)式結(jié)構(gòu)，將控制任務(wù)分解至速度環(huán)和電流環(huán)雙環(huán)。

就電流環(huán)而言，由于運(yùn)行速度較低，dq軸耦合不嚴(yán)重，作前饋解耦后永磁交流電機(jī)的電流環(huán)控制任務(wù)類似于無(wú)刷直流電機(jī)時(shí)的情形，可采用相同的控制器設(shè)計(jì)方案和參數(shù)整定方法。電流環(huán)控制器設(shè)計(jì)完成后，取閉環(huán)電流環(huán)的一階近似，即：

轉(zhuǎn)速環(huán)的情形有所不同，一方面，用作CMG系統(tǒng)框架電機(jī)的永磁交流電機(jī)需要有良好的速度伺服性能；另一方面負(fù)載力矩組分復(fù)雜、難以測(cè)量，對(duì)速度性能影響較大。傳統(tǒng)的級(jí)聯(lián)PI控制器難以同時(shí)兼顧動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度和抗擾能力，一種解決思路是設(shè)計(jì)二自由度控制器，如文獻(xiàn)[5][6]；另一種思路是利用轉(zhuǎn)速信息對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩進(jìn)行觀測(cè)，并使用觀測(cè)值進(jìn)行前饋補(bǔ)償。實(shí)際系統(tǒng)中，為獲取電機(jī)轉(zhuǎn)速，通常需要對(duì)機(jī)械傳感器采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行差分，為了減小測(cè)量噪聲的影響，又需要加入濾波環(huán)節(jié)，這會(huì)向轉(zhuǎn)速測(cè)量引入延時(shí)，不利于轉(zhuǎn)速環(huán)帶寬的提高，極端情形下甚至可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)速環(huán)失穩(wěn)。若使用位置信息作為反饋值，通過(guò)觀測(cè)器可以同時(shí)觀測(cè)出轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)矩，在提高抗擾能力的同時(shí)也能獲得低延時(shí)高精度的轉(zhuǎn)速測(cè)量值，因而尤其適用于CMG應(yīng)用場(chǎng)合。

擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器（extended state observer， ESO）由韓京清等人提出[7]，Guo給出了一般情況下的收斂性證明[8]。此方法的主要思想在于將負(fù)載轉(zhuǎn)矩作為系統(tǒng)的“擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)”、和轉(zhuǎn)子位置以及轉(zhuǎn)速一起構(gòu)成“擴(kuò)展系統(tǒng)”的狀態(tài)變量，對(duì)此擴(kuò)展系統(tǒng)設(shè)計(jì)觀測(cè)器得到轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)矩的觀測(cè)值。使用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的永磁交流電機(jī)控制框圖如圖5所示。

對(duì)于永磁交流電機(jī)，列寫擴(kuò)展系統(tǒng)狀態(tài)方程有

式中：

θm—電機(jī)機(jī)械角位置；

ωm—機(jī)械轉(zhuǎn)速；

βm—負(fù)載力矩產(chǎn)生的機(jī)械角加速度；

u—電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的機(jī)械角加速度；

Tm=J/B—電機(jī)時(shí)間常數(shù)。

（18）式可簡(jiǎn)記為：

考慮參數(shù)誤差，選取ESO的系統(tǒng)方程為：

其中帶角標(biāo)的符號(hào)表示對(duì)真實(shí)物理量的觀測(cè)或估計(jì)。（19）式可簡(jiǎn)記為

選取K以使得sI-(A-KC)在s=-ω0處擁有三重根。此時(shí)

應(yīng)施加的前饋電流iq，com由觀測(cè)量直接得到：

2.3 ESO性能與閉環(huán)機(jī)電特性分析

容易推得自iq和TL至iq，com的傳遞函數(shù)分別為：

現(xiàn)對(duì)（23）（24）兩式做一定物理解釋。首先注意到兩個(gè)傳遞函數(shù)中均含有來(lái)自于ESO的三階極點(diǎn)s=-ω0。此三階極點(diǎn)構(gòu)成一低通環(huán)節(jié)，頻率遠(yuǎn)小于ω0的輸入成分幾乎不受此低通環(huán)節(jié)影響，因此可以認(rèn)為ω0代表ESO的帶寬。此外，兩個(gè)傳遞函數(shù)中也含有與電機(jī)機(jī)械常數(shù)有關(guān)的一階極點(diǎn)，可以認(rèn)為ESO使用機(jī)械角位置信息得到角加速度信息，從中去除電磁轉(zhuǎn)矩的影響后觀測(cè)出負(fù)載轉(zhuǎn)矩的量值。由于軸系阻尼的存在，iq產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩和TL表示的負(fù)載力矩到轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)必有一由電機(jī)機(jī)械參數(shù)決定的低通環(huán)節(jié)，此低通環(huán)節(jié)的影響最終反映在前饋電流中，對(duì)應(yīng)（23）（24）兩式分母中的1+sTm項(xiàng)。ESO使用的電機(jī)參數(shù)的準(zhǔn)確性影響兩式的零點(diǎn)，假設(shè)各電機(jī)參數(shù)完全準(zhǔn)確，則(iq，com(s)/TL(s)發(fā)生零極點(diǎn)對(duì)消，而(iq，com(s)/iq(s)為零，即iq，com(s)完整反映了負(fù)載力矩TL(s)，而不含有iq(s)的影響。若使用的參數(shù)不準(zhǔn)確，則ESO既無(wú)法準(zhǔn)確去除電磁轉(zhuǎn)矩的影響，因而(iq，com(s)/iq(s)為零；也無(wú)法由轉(zhuǎn)速信息準(zhǔn)確得到負(fù)載轉(zhuǎn)矩，因而(iq，com(s)/TL(s)存在幅值和相位的扭曲。

容易推得自ωm和TL至的傳遞函數(shù)分別為：

其中o(s/ω0)表示s/ω0的高階項(xiàng)?？梢钥闯霎?dāng)參數(shù)準(zhǔn)確時(shí)，中s/ω0的一階項(xiàng)系數(shù)c1為零（進(jìn)一步計(jì)算可知此時(shí)高階項(xiàng)也為零），而并無(wú)此結(jié)果。這意味著即使參數(shù)準(zhǔn)確，使用估計(jì)ωm仍然有誤差，此誤差源于負(fù)載轉(zhuǎn)矩的影響。不過(guò)由于無(wú)常數(shù)項(xiàng)，可知在階躍形式的負(fù)載擾動(dòng)下，ESO仍能實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)速無(wú)差估計(jì)。此外，提高帶寬有助于提高觀測(cè)精度，在轉(zhuǎn)速環(huán)關(guān)注的頻率范圍內(nèi)，可以認(rèn)為|s/ω0|≤ 1，此時(shí)≈ωm。

ESO的性能對(duì)閉環(huán)機(jī)電特性有直接影響。記G1(s)=(iq，com(s)/iq(s)及 G2(s)=(iq，com(s)/TL(s)，在轉(zhuǎn)速環(huán)頻段內(nèi)，忽略電流環(huán)的sTc項(xiàng)，忽略ESO極點(diǎn)的影響，容易得到自至電流環(huán)輸出iq以及自TL至iq的傳遞函數(shù)：

（30）式表明閉環(huán)機(jī)電特性正如同設(shè)計(jì)ESO時(shí)對(duì)系統(tǒng)模型的估計(jì)?？梢宰鲞@樣的理解：對(duì)這種估計(jì)的偏離不管來(lái)源于負(fù)載力矩還是參數(shù)偏差，都會(huì)被ESO判定為負(fù)載力矩的影響并且加以校正，最終使得閉環(huán)機(jī)電特性接近最初的估計(jì)，即參數(shù)偏差對(duì)閉環(huán)機(jī)電特性性能沒(méi)有負(fù)面影響。

為討論ESO的帶寬以及參數(shù)偏差對(duì)閉環(huán)機(jī)電特性穩(wěn)定性的影響，考慮閉環(huán)系統(tǒng)穿越頻率ωc。假設(shè)對(duì)電機(jī)機(jī)械時(shí)間常數(shù)的估計(jì)準(zhǔn)確，即。由于機(jī)械時(shí)間常數(shù)較易測(cè)量，工程實(shí)踐中滿足此假設(shè)并不困難。令1+jωcTc+G1(jωc)=0，容易得到：

其中θ=Tc/Tm為閉環(huán)電流環(huán)時(shí)間常數(shù)與電機(jī)機(jī)械時(shí)間常數(shù)之比，λ= 1/ω0Tm可表征帶寬寬度。隨帶寬增大，λ減小，增大，即閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)參數(shù)偏差的魯棒性提高?？紤]到電流環(huán)一階假設(shè)和對(duì)離散化的需求，不應(yīng)把帶寬取得過(guò)大。令λ=θ，此時(shí)，ωc=ω0。其物理意義為：當(dāng)帶寬ω0滿足ω0Tc=1時(shí)，若對(duì)受控永磁交流電機(jī)參數(shù)J/Φd的估計(jì)值若大于真實(shí)值的5倍，則引入前饋電流iq，com將使得閉環(huán)系統(tǒng)失穩(wěn)。

2.4 ESO與卡爾曼濾波器的聯(lián)系

上述討論假定電機(jī)角位置的測(cè)量值完全精確，為說(shuō)明測(cè)量噪聲的影響，可以對(duì)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器和卡爾曼濾波器作一比較?？柭鼮V波器同樣可被用于觀測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速[9]以及負(fù)載力矩[3]，使用時(shí)需假定系統(tǒng)模型完全準(zhǔn)確、將負(fù)載力矩處理為系統(tǒng)噪聲并假定系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲均為協(xié)方差矩陣已知的白噪聲，此時(shí)卡爾曼濾波器是最小方差意義下的線性最優(yōu)濾波器。但明顯可見，此種方法對(duì)負(fù)載力矩的假設(shè)偏離實(shí)際情況，此外設(shè)置協(xié)方差矩陣時(shí)需要試湊或需要從已有數(shù)據(jù)中估計(jì)，增大了工作量且不利于物理解釋。卡爾曼濾波器迭代式地計(jì)算最優(yōu)增益并作狀態(tài)變量反饋，后者形式上和ESO有相似之處。為了簡(jiǎn)潔起見，此處討論連續(xù)形式的卡爾曼濾波器，即Kalman-Bucy濾波器。

列寫系統(tǒng)方程有：

觀測(cè)器結(jié)構(gòu)及增益計(jì)算方式為：

其中r為v的方差，Q為w的協(xié)方差矩陣。若只考慮角加速度受系統(tǒng)噪聲，則w僅一個(gè)非零元素，相應(yīng)地Q僅在主對(duì)角線上有一非零元素。由于反饋增益僅與測(cè)量噪聲與系統(tǒng)噪聲方差之比有關(guān)，不失一般性，可取

據(jù)文獻(xiàn)[10]的結(jié)論，可以驗(yàn)證得知（36）式有一與初值無(wú)關(guān)的極限解P*，由P*得到的反饋增益K*即為觀測(cè)器穩(wěn)態(tài)反饋增益。定義觀測(cè)器穩(wěn)態(tài)下的帶寬為矩陣特征值模的最小值，可與ESO的帶寬相對(duì)應(yīng)。借用對(duì)ESO的分析可以知道觀測(cè)器的性能主要受此帶寬影響，作與r的關(guān)系如圖6所示。由于在百赫茲至千赫茲級(jí)別時(shí)，與r的關(guān)系幾乎不受在合理范圍內(nèi)（百毫秒量級(jí)以上）變化的影響，此處不再具體說(shuō)明。

從圖6中可以看出：測(cè)量噪聲方差越小，設(shè)計(jì)出的卡爾曼濾波器閉環(huán)帶寬越高。反映在ESO設(shè)計(jì)過(guò)程中可知為了適應(yīng)測(cè)量噪聲的影響，可以降低帶寬ω0，此時(shí)ESO低通環(huán)節(jié)的濾波作用更為明顯。

2.5 控制器離散實(shí)現(xiàn)

使用前向歐拉法對(duì)（18）式所示的系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行離散，得到：

其中

表1 無(wú)刷直流電機(jī)控制器設(shè)計(jì)算例參數(shù)

考慮如下形式的離散形式觀測(cè)器系統(tǒng)方程：

當(dāng)采樣周期Ts和觀測(cè)器帶寬ω0滿足Tsω0≤1時(shí)，調(diào)整Ke以使得Φ-ΦKeC的特征根為1-Tsω0，此時(shí)離散化引起的誤差很小，可被觀測(cè)器的閉環(huán)結(jié)構(gòu)自行校正。

3 仿真驗(yàn)證

對(duì)于無(wú)刷直流電機(jī)，選取算例參數(shù)如表1。取轉(zhuǎn)速參考值為100 rpm，母線電壓為72 V，電流極限值為2.5 A。電機(jī)空載啟動(dòng)80 s后突加0.1 Nm的恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載，在SimulinkR2018b里使用變步長(zhǎng)混合階數(shù)的龍格庫(kù)塔方法對(duì)系統(tǒng)仿真，得到輸出如圖7和圖8。

由圖7和圖8可以看出，升速過(guò)程中導(dǎo)通電流保持在極限值2.5 A，當(dāng)轉(zhuǎn)速接近參考值100 rpm時(shí)，導(dǎo)通電流快速下降至0.5 A，對(duì)應(yīng)的電磁轉(zhuǎn)矩用于抵消阻尼力矩。施加階躍負(fù)載時(shí)，導(dǎo)通電流快速上升，以產(chǎn)生相應(yīng)的電磁轉(zhuǎn)矩抵消負(fù)載力矩，維持轉(zhuǎn)速不變。

算例中機(jī)械子系統(tǒng)和電氣子系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)相差多個(gè)量級(jí)，滿足于設(shè)計(jì)控制器時(shí)的假設(shè)。前述整定方法選取的參數(shù)較為激進(jìn)，使得控制器本身響應(yīng)非常迅速，影響系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間的主要因素為母線電流的極限值限制?？紤]到離散后的魯棒性問(wèn)題，可以減小控制器增益而基本不影響整體系統(tǒng)的性能。

圖6 卡爾曼濾波器閉環(huán)帶寬與測(cè)量噪聲方差關(guān)系

對(duì)于永磁交流電機(jī)，選取算例參數(shù)如表2。令轉(zhuǎn)速指令為幅值50 rad/s頻率5 Hz的正弦信號(hào)，取無(wú)負(fù)載擾動(dòng)、幅值1 Nm的各頻率正弦負(fù)載擾動(dòng)、cos t cos φ形式的復(fù)雜負(fù)載擾動(dòng)三種情形，比較使用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器前后的系統(tǒng)速度伺服性能，得到圖9至圖12。

圖7 空載升速及加載過(guò)程轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化

圖8 空載升速及加載過(guò)程導(dǎo)通電流變化

表2 永磁交流電機(jī)控制器設(shè)計(jì)算例參數(shù)

圖9 無(wú)負(fù)載擾動(dòng)時(shí)使用ESO前后性能對(duì)比

圖10 各頻率正弦擾動(dòng)時(shí)不使用ESO時(shí)的性能

圖11 各頻率正弦擾動(dòng)時(shí)使用ESO后的性能

從結(jié)果對(duì)比中可以看出，使用ESO在不損害系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的情況下大大提高了系統(tǒng)對(duì)于負(fù)載力矩?cái)_動(dòng)的抑制能力，且擾動(dòng)頻率越低，抑制能力越強(qiáng)，和理論分析相吻合。

圖12 復(fù)雜負(fù)載擾動(dòng)時(shí)使用ESO前后性能對(duì)比

4 結(jié)論

本文介紹了基于單框架CMG的兩輪自平衡車實(shí)現(xiàn)，結(jié)合應(yīng)用特點(diǎn)說(shuō)明了CMG的電機(jī)控制任務(wù)。對(duì)于用作CMG陀螺的無(wú)刷直流電機(jī)設(shè)計(jì)了級(jí)聯(lián)PI控制器并討論了其參數(shù)整定，對(duì)于用作CMG框架的永磁交流電機(jī)設(shè)計(jì)了級(jí)聯(lián)PI和擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器聯(lián)合控制器，討論了ESO的觀測(cè)性能、參數(shù)魯棒性、穩(wěn)定性以及測(cè)量誤差的處理。仿真結(jié)果表明兩種永磁電機(jī)各自取得了較好的控制性能。