葛新廣 李創(chuàng)第 鄒萬杰 張夢丹 姜焱

摘要：針對當(dāng)前計(jì)算Kanai-Tajimi譜下結(jié)構(gòu)響應(yīng)表達(dá)式復(fù)雜的問題，提出了計(jì)算單自由度結(jié)構(gòu)相對位移、相對速度和絕對加速度的解析法，首先，利用三角函數(shù)關(guān)系，獲得單自由度結(jié)構(gòu)相對位移、相對速度和絕對加速度響應(yīng)的統(tǒng)一杜哈梅積分表達(dá)式;其次，基于Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵(lì)的協(xié)方差特點(diǎn)，給出了Kanai-Taiimi隨機(jī)激勵(lì)的協(xié)方差簡明表達(dá)式，利用隨機(jī)振動(dòng)理論，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系獲得單自由線性結(jié)構(gòu)相對位移、相對速度和絕對加速度的統(tǒng)一簡明的實(shí)模態(tài)解析表達(dá)式，通過算例，驗(yàn)證了該方法的正確性及計(jì)算高效性，并為多自由線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析提供了新途徑，

關(guān)鍵詞：Kanai-Tajimi譜;實(shí)模態(tài)解;統(tǒng)一解析解;隨機(jī)地震響應(yīng)

中圖分類號：TU318DOI：10.16375/j.cnki，cn45-1395/t，2020.02.002

0引言

地震一直是人類面臨的最主要的自然災(zāi)害之一，每年均有數(shù)次引起人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失的地震發(fā)生，因此，地震己成為各類工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮的因素，但其在發(fā)生時(shí)間、地點(diǎn)及強(qiáng)度上具有明顯的隨機(jī)性，故而地震對工程結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析極其復(fù)雜，基于地震激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)安全設(shè)計(jì)依然是土木工程界的難點(diǎn)和研究熱點(diǎn)，Housner于1947年首次用白噪聲激勵(lì)過程描述地震動(dòng)過程，開創(chuàng)了隨機(jī)地震動(dòng)研究的先河，隨著地震動(dòng)記錄研究的不斷深入，地震過程具有平穩(wěn)特性和非平穩(wěn)特性，平穩(wěn)特性一般發(fā)生在地震的初時(shí)和終時(shí)前一段時(shí)間內(nèi)，而中間階段具有非平穩(wěn)性，因此，地震動(dòng)隨機(jī)模型的研究分為平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)和非平穩(wěn)激勵(lì)模型兩大類，日本學(xué)者Kanai和Taiimi于20世紀(jì)60年代分別提出了一種平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)模型，該模型認(rèn)為地震動(dòng)是由巖石震動(dòng)引起，經(jīng)過土層傳遞到地面的結(jié)構(gòu)上，其中把巖石震動(dòng)看做白噪聲，非巖石土看做一個(gè)單自由度二階微分振子表示的濾波器，稱之為Kanai-Taiimi模型，Kanai-Taiimi模型能考慮場地土的特性對于地震動(dòng)影響，是被工程界公認(rèn)的地震動(dòng)模型;同時(shí)，其他改進(jìn)的隨機(jī)地震動(dòng)模型如Clough-Penzien模型、歐進(jìn)萍模型等都是在Kanai-Taiimi模型的基礎(chǔ)上提出的，此外，各種演變均勻非平穩(wěn)激勵(lì)模型均與Kanai-Taiimi模型有關(guān)，為此，研究基于Kanai-Taiimj激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)響應(yīng)的統(tǒng)一分析方法非常必要。

當(dāng)前研究結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的方法，主要有時(shí)域法和頻域法，時(shí)域法是利用實(shí)模態(tài)或者復(fù)模態(tài)方法獲得結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，進(jìn)而獲得結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的杜哈梅積分表達(dá)式，利用隨機(jī)激勵(lì)的協(xié)方差獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差，因此該方法的前提是己知隨機(jī)激勵(lì)的協(xié)方差，F(xiàn)ang等利用復(fù)模態(tài)方法研究了基于Kanai-Tajimi激勵(lì)下多自由度結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng);李創(chuàng)第等利用復(fù)模態(tài)方法研究了TMD耗能減震結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi激勵(lì)下的耗能體系的位移響應(yīng)，以上研究僅獲得結(jié)構(gòu)的位移協(xié)方差，且結(jié)構(gòu)分析時(shí)的振動(dòng)特征值及響應(yīng)的表達(dá)式均為復(fù)數(shù)域，工程應(yīng)用時(shí)物理意義不夠明確，此外，結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析時(shí)還需要獲得結(jié)構(gòu)的速度協(xié)方差，結(jié)構(gòu)靈敏度分析時(shí)，需要計(jì)算結(jié)構(gòu)絕對地震加速度，為此研究基于實(shí)模態(tài)標(biāo)準(zhǔn)振子的結(jié)構(gòu)地震動(dòng)位移，速度及加速度響應(yīng)的解析方法，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

頻域法也是一種研究隨機(jī)振動(dòng)重要方法，其利用結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜與地震激勵(lì)功率譜之間有直接代數(shù)關(guān)系，而隨機(jī)地震激勵(lì)模型主要是以功率譜形式給出，因此，頻域法應(yīng)用較為廣泛，虛擬激勵(lì)法是頻域法的典型代表，李春祥等利用虛擬激勵(lì)法研究了MTMD基于Kanai-Tajimi激勵(lì)下的動(dòng)力特性，研究了場地土卓越頻率對MTMD最優(yōu)參數(shù)及有效性的影響，賈超等利用地震最大加速度和功率譜強(qiáng)度的代數(shù)關(guān)系，計(jì)算了基于Kanai-Tajimi模型的功率譜密度函數(shù)，并獲得結(jié)構(gòu)關(guān)鍵位置的內(nèi)力或者變形等響應(yīng)值，以上研究僅能獲得結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的功率譜的表達(dá)式，需要對功率譜進(jìn)行廣義積分才能獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差，目前僅能采用數(shù)值積分獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差，故頻域法存在計(jì)算效率和計(jì)算精度受數(shù)值積分方法影響較大的問題，

利用三角函數(shù)變換理論，對Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵(lì)協(xié)方差的表達(dá)式進(jìn)行簡化，并應(yīng)用于結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的位移、速度和加速度實(shí)模態(tài)杜哈梅積分表達(dá)式，進(jìn)而獲得單自由度結(jié)構(gòu)的相對位移、相對速度和絕對加速度時(shí)域響應(yīng)的統(tǒng)一杜哈梅積分表達(dá)式，最后，基于隨機(jī)振動(dòng)理論，得到了單自由線性結(jié)構(gòu)上述響應(yīng)方差實(shí)模態(tài)的統(tǒng)一簡明解析解。

1單自由結(jié)構(gòu)響應(yīng)的杜哈梅積分表達(dá)式

4算例

建立在7度區(qū)二類場地上的單層結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量、剛度分別為9.8x10⁶kg，5.1x10⁷N/m，自振圓頻率為2.281rad/s，阻尼比為0.05.地震動(dòng)采用Kanai-Tajimi譜，根據(jù)文獻(xiàn)[5]，中等堅(jiān)硬土場地地震動(dòng)的阻尼比0.8.卓越頻率為16.5rad/s，基巖上的白噪聲譜強(qiáng)度因子為0.00694m²/s³，利用Matlab獲得其復(fù)特性及其對應(yīng)的實(shí)特征如表1所示，相對位移、相對速度和絕對加速度方差如表1所示，其中相對位移方差與文獻(xiàn)[14]所提方法計(jì)算一致。

5結(jié)論

本文運(yùn)用三角函數(shù)關(guān)系，在實(shí)模態(tài)域就單自由度結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵(lì)下的相對位移、相對速度和絕對加速度響應(yīng)的統(tǒng)一解析表達(dá)式進(jìn)行研究，獲得如下結(jié)論：

1）利用三角函數(shù)，可將結(jié)構(gòu)響應(yīng)的三要素即相對位移、相對速度和絕對加速度統(tǒng)一表達(dá)式，并簡化了其表示形式，本文無需進(jìn)行復(fù)模態(tài)分析所獲的是實(shí)模態(tài)域中結(jié)構(gòu)各類響應(yīng)的值。

2）利用matlab軟件研究了三角正切反函數(shù)取值規(guī)則，有利于簡化三角正弦與余弦函數(shù)線性組合表達(dá)式。

3）本文方法為經(jīng)典阻尼基于Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)三要素的解析解，對于多自由結(jié)構(gòu)可以化成多個(gè)單自由結(jié)構(gòu)，利用SRSS組合，進(jìn)而獲得多自由結(jié)構(gòu)的3種響應(yīng)的解析解。