基于遺傳算法的火箭彈對面目標的彈著點分配方案

李彩峰，徐 鋒，張玉梅，劉娟娟，范雪峰

（北方自動控制技術研究所，太原 030006）

0 引言

火箭炮射擊的面目標是指正面和縱深超過一發(fā)火箭彈覆蓋范圍的目標。要實現(xiàn)對目標的全覆蓋就需要多發(fā)火箭彈進行射擊，此時就涉及到如何確定彈著點在目標上的相對位置。由于火箭炮的射擊存在誤差，對目標位置的觀測也存在誤差，因而在實際計算過程中需要考慮的問題是：在一定誤差條件下，如何確定若干發(fā)火箭彈的預定打擊位置，使得對目標造成最好的毀傷效果。

在實際應用中，一般將火箭彈的分火點均勻分配到面目標上，這種分配方式雖然考慮到了目標“面”的特性，但是卻忽略了火箭彈射擊誤差和目標觀測誤差，導致在誤差較大的情況下分火點的位置本來應該遠離目標觀測中心，但卻和誤差較小的情況下一致；在參考文獻［4］中指出可以考慮火箭彈的射擊誤差，構建火箭彈對目標的有效毀傷面積模型，從而使用最優(yōu)化的方法將分火點較優(yōu)地分配到目標面上，但是它并沒有考慮目標觀測誤差的影響，同時未提及使用何種最優(yōu)化方法。針對以上缺陷，本文綜合考慮火箭彈的射擊誤差和目標的觀測誤差，使用概率方法構建火箭彈分火點和火箭彈對目標有效毀傷面積的函數(shù)關系。由于構建出的函數(shù)較復雜，在對面目標進行微元計算時計算量巨大，無法使用傳統(tǒng)的精確求解方法，考慮到遺傳算法是一種求解近似最優(yōu)解的良好算法，并且相比于傳統(tǒng)優(yōu)化算法從單個初始值迭代求最優(yōu)解容易誤入局部最優(yōu)解的缺點，遺傳算法從串集開始搜索，覆蓋面大，利于全局擇優(yōu)，故本文采用遺傳算法對該模型進行求解。下面首先提出火箭彈射擊誤差和目標觀測誤差的描述方法。

火箭彈的射擊誤差一般使用射彈散布概率偏差表示。射彈散布概率偏差是指在射彈散布面上，與散布軸對稱，彈著點出現(xiàn)概率為50%的區(qū)間概率的一半，具有高低、方向和距離射彈散布概率偏差之分，使用字母E 表示，單位為m。在二維平面中，以散布中心為原點，以射彈正面為X 軸，縱深為Y軸建立直角坐標系，射彈落點相對于其散布中心的坐標是一個二維隨機變量，且其密度函數(shù)如下：

其中，ρ 是一常數(shù)，ρ=0.477，Ex表示射彈的距離概率偏差，Ey表示射彈的方向概率偏差。進行如下的隨機變量替換：

可知二維隨機變量（T，D）服從如下的二維正態(tài)分布：

即隨機變量T、D 相互獨立且服從標準正態(tài)分布。

目標的觀測誤差也使用散布概率偏差衡量，假設目標正面、縱深與射彈的正面、縱深一致，則以目標中心、射彈正面、射彈縱深建立直角坐標系，也可以得出目標中心與其正面散布偏差和縱深散布偏差關系類似上面的結果。

1 計算目標的有效毀傷面積

在未對目標進行射擊時，需要預先估計火箭彈的毀傷面積，此處提出有效毀傷面積的概念。假設火箭彈在其毀傷區(qū)域內的毀傷均勻，由于目標的觀測存在誤差，設平面中任意一點在目標范圍內的概率為Pm（x，y），同時火箭彈存在散布誤差，設該點被火箭彈覆蓋的概率為P1（x，y），則可知該點同時在目標范圍內和火箭彈覆蓋范圍內為射擊有效，即有效面積為：

由此可知有效面積由上述的兩個概率決定，下面對Pm（x，y）和P1（x，y）進行求解。

1.1 平面中任意一點在目標范圍內的概率

假設目標為一矩形，其正面長度為D，縱深長度為F，以目標觀測中心為原點，目標正面方向為X軸，縱深方向為Y 軸。由式（1）可得目標實際中心偏離觀測中心的概率密度函數(shù)，在該坐標系中任取一點P（x，y），以該點為中心，兩邊分別平行于X 軸、Y軸，長度分別為D、F 的矩形，記該矩形區(qū)域為Ω，則當目標觀測中心實際位置落到區(qū)域Ω 中時，點P 處于目標內。即點P 在目標范圍內的概率為：

將式（2）、式（3）帶入式（5）可得：

1.2 平面中任意一點被火箭彈覆蓋的概率

假設火箭彈的毀傷區(qū)域為（Lx×Ly）的矩形，多發(fā)火箭彈類型一致且射擊相互獨立，同時目標正面、縱深和射彈正面、縱深一致，因而可以在1.1 節(jié)中構建的坐標系內進行處理。設第i 發(fā)火箭彈計劃的彈著點位置，即散布中心，為Qi（xi，yi），任取點P（x，y），則該點相對于散布中心的坐標為（x-xi，y-yi），根據(jù)式（6）可得點P 被第i 發(fā)火箭彈覆蓋的概率為：

從而可得點P 被火箭彈覆蓋的概率為1，減去其不被任意一發(fā)彈覆蓋的概率，即：

式（8）中，n 表示發(fā)射的火箭彈總數(shù)。

2 使用遺傳算法計算近似最優(yōu)值

根據(jù)引言中所述對火箭彈射擊目標的描述，結合第1 節(jié)的描述，可以抽象出如下問題：如何確定n發(fā)火箭彈的位置（Q1，Q2，…，Qn），使得火箭彈對目標的有效毀傷面積S1最大。即：

在該最優(yōu)化模型中，目標函數(shù)的自變量數(shù)目較多，目標函數(shù)復雜，很難通過解析的方法求得最優(yōu)解，遺傳算法可以較好地解決這類問題。同時，火箭彈的數(shù)量未確定，需要計算同一目標不同數(shù)量火箭彈的毀傷面積，以獲得更優(yōu)的結論。

2.1 確定變量的取值范圍

2.2 對變量進行編碼和解碼

將0 到nx+1 范圍內的整數(shù)一一映射到固定長度的二進制數(shù)中，以其中數(shù)值位數(shù)最長的二進制數(shù)值的長度作為二進制碼的長度，不足位數(shù)的二進制數(shù)值前面補足0，這使得變量從取值范圍的左界到有界每經過一個精度就對應一個二進制數(shù)，如此就構建了一一對應，實現(xiàn)了坐標點X 坐標的編碼gx，Y坐標的編碼gy確定原理同上。這個一一對應關系就確定了編碼和解碼規(guī)則。將具有固定位數(shù)的二進制數(shù)視為基因序列，二進制數(shù)的每一位值即為一個基因。

2.3 基因串的適應度評估

將二進制數(shù)值作為基因串之后，要確定種群的規(guī)模，即表征同一個變量的基因個數(shù)，該過程由隨機函數(shù)生成，本文選定種群規(guī)模為50，每個基因串都具備適應度fi。適應度是一種評估基因串是否適應環(huán)境的一個表征值，在最優(yōu)化問題中，適應度即將基因串解碼成數(shù)值后，帶入最優(yōu)化函數(shù)的數(shù)值，即：

適應度越大，就表示該基因串更有可能遺傳下去。

2.4 基因的突變

基因突變是克服迭代算法過早收斂的一個重要途徑。遺傳算法中的基因突變首先要確定基因突變的概率p，設每個基因串的長度為n，則每次要突變的基因的個數(shù)為50×n×p，將所有的基因串排成一整串，隨機選取上述數(shù)目的位置，將該位置的基因的數(shù)值進行如下變換：

2.5 基因的遺傳

每個基因串都具有其適應度，適應度越大的基因越容易遺傳給下一代，通過歸一化方法求解出每個基因遺傳給下一代的概率：

當確定了基因串被遺傳的概率后，通過隨機方法將基因串復制到下一代，保證遺傳概率高的基因串被復制的概率也高，如此進行若干代之后，適應度低的基因串就會被逐漸淘汰，適應度高的基因串就會在種群中擴散［5-7］。

在進行若干代迭代后，種群中基因串的適應度趨向于穩(wěn)定，通過設定遺傳的最大代數(shù)和最優(yōu)值浮動的幅度大小可以控制算法的結束。

3 模型的仿真與實驗結果分析

在實際情況下，彈著點的位置受目標大小和誤差大小影響，而同一種火箭彈的誤差一般為定值，同時在精確制導的條件下，其誤差相對較小。在本文的仿真實驗中，假設火箭彈的毀傷區(qū)域為（200 m×200 m），其距離概率偏差Ex和方向概率偏差Ey分別為15 m 和15 m，在此條件下，彈著點分配就隨著目標觀測誤差的變化而變化，因而本文著重考慮以下情況下彈著點的分配問題：

1）目標1：面目標，其區(qū)域范圍為（400 m×400 m），其正面散布偏差和縱深散布偏差較小，分別為10 m和10 m。

2）目標2：點目標，其區(qū)域范圍為（50 m×50 m），其正面散布偏差和縱深散布偏差較大，分別為100 m和100 m。

3）目標3：線目標，其區(qū)域范圍為（500 m×50 m），其正面散布偏差較小，縱深散布偏差較大，分別為10 m 和100 m。

上述3 種目標的選取基于如下依據(jù)：觀測誤差相對于目標而言較大時，目標中心散布區(qū)域較大，使得目標有概率出現(xiàn)在遠大于目標觀測區(qū)域的位置。而對點目標而言，如果觀測誤差較小，僅需要考慮彈著點位置在目標中心即可；對線目標而言，如果其觀測誤差較小，則彈著點位置在目標中軸線上呈均勻分布。而當這兩種目標的觀測誤差較大時，它們就具備了面目標的特性，可以使用本文構建的模型求解彈著點位置。

考慮散布誤差的情況下，一發(fā)火箭彈在平面上的毀傷概率圖如下頁圖1 所示，該圖使用等高線的形式表示毀傷概率圖，其中每條等高線上的數(shù)值表示該線上的點被該發(fā)火箭彈覆蓋的概率?？梢钥闯?，點被火箭彈覆蓋的概率隨著其距離散布中心的距離增大而逐漸降低，且在正面或縱深方向超出散布中心130 m之后的區(qū)域上的點被火箭彈覆蓋的概率不足0.1。

圖1 一發(fā)火箭彈的毀傷概率圖

下面的幾個表格列出了本文仿真結果，給出了若干發(fā)火箭彈在目標上的彈著點分配坐標，坐標原點為目標觀測中心，X 軸方向與目標正面平行，Y 軸方向與目標縱深方向平行，同時給出了有效毀傷面積以及有效毀傷面積占目標總面積的比值，本文將該比值稱為有效毀傷效率。

除了上述3 個目標的仿真結果，本文還對觀測誤差較小的點目標和線目標進行了仿真，均能計算出彈著點位置，并且對點目標而言，彈著點位置總是位于目標觀測中心；對線目標而言，彈著點總是在目標中軸線上均勻分布，這種分法與實際情況相符，故而本文不將其列出。

由對目標1 的仿真結果可知，在彈數(shù)為1、2、4發(fā)時，本文所用模型計算出的彈著點位置符合均勻分布的特點，當彈數(shù)為3 發(fā)時，均勻分布和仿真結果所生成的彈著點位置如圖2 所示。

圖2 均勻分布（左）和仿真結果（右）的彈著點位置圖示

表1 目標1 的仿真結果

表2 目標2 的部分仿真結果

表3 目標3 的部分仿真結果

同時，比較兩者的有效毀傷面積可知仿真結果所得的彈著點造成的有效毀傷面積更大。

分析目標2 和目標3 的仿真結果可以看出，當目標觀測誤差較大時，彈著點位置會分布到目標觀測范圍之外，符合實際情況。

4 結論

本文在假設火箭彈的毀傷幅員是矩形區(qū)域，火箭彈在該區(qū)域內的毀傷程度均勻，目標在其區(qū)域內分布均勻的情況下，通過分析火箭彈射擊存在散布誤差和目標存在觀測誤差，利用概率方法建立了火箭彈對目標射擊有效毀傷面積和火箭彈彈著點之間關系的模型，并通過遺傳算法在給定單數(shù)的情況下求解出最優(yōu)的彈著點位置。經過仿真實驗驗證，本文構建的模型對點目標和線目標同樣適用，在目標觀測誤差較大的情況下，也可以得出符合實際情況的結果。