超導電路與體聲波諧振器組成的量子iSWAP門方案

張凱旋,黃春暉,2

(1.福州大學 物理與信息工程學院，福建 福州 350116; 2.陽光學院 人工智能學院，福建 福州 350115)

0 引言

量子計算和量子通信已成為現(xiàn)代電子與信息技術的發(fā)展目標之一，實際上量子計算是由高精度的物理系統(tǒng)所實現(xiàn)，該系統(tǒng)的硬件部分一般由量子邏輯門和量子存儲器組成[1]，用于控制高復雜度糾纏量子態(tài)的時間演化?；诔瑢Ъs瑟夫森結(jié)的固體態(tài)量子系統(tǒng)具有較長的相干時間、易于制造和擴展量子比特(qubit)數(shù)目等特性，且可用制造現(xiàn)代集成電路的技術來制造該量子系統(tǒng)[2]，是設計量子邏輯門和量子計算系統(tǒng)的一個強有力候選者。眾多量子門方案已在理論和實驗上得到研究，包括利用2個電容耦合[3]的電荷量子比特(charge qubit)和2個電感耦合[4]的磁通量子比特(flux qubit)。設計量子受控非門(C-NOT)，尤其是高精度的兩位和三位量子門也已被實驗證實[5-6]。

與此同時，利用一維傳輸線諧振器耦合兩個charge qubit構(gòu)造量子相位交換(iSWAP)門[7-8]和通過微納機械諧振器耦合charge qubit與flux qubit構(gòu)造量子iSWAP門[9]同樣被證實。但僅簡單實現(xiàn)量子門功能是遠不能滿足量子計算的需求，實現(xiàn)高保真度量子門尤為重要。在已有報道中，具有高機械品質(zhì)因數(shù)(Q>3 500[10])的薄膜體聲波諧振器(FBAR)耦合單個qubit的宏觀量子系統(tǒng)中，體聲波諧振器一般作為“冷卻器”，使系統(tǒng)的量子態(tài)穩(wěn)定在基態(tài)[11-13]，這為設計高保真度的量子門提供了新思路。因此，利用體聲波諧振器與超導量子電路構(gòu)造的混合系統(tǒng)可實現(xiàn)高保真度的量子門。

此外，Cleland等[14]和Geller等[15]利用體聲波諧振器作為一個高保真度的量子存儲器和數(shù)據(jù)總線，在兩個或多個相位量子比特(phase qubit)間產(chǎn)生糾纏態(tài)和量子門，但因phase qubit的相干時間較短，在相干時間內(nèi)量子門有效操縱次數(shù)較低。因此，本文提出了一個新穎的量子iSWAP門構(gòu)建方案，通過體聲波諧振器耦合2個傳輸量子比特(transmon qubit)，其中體聲波諧振器作為耦合器使transmon qubit間進行虛擬交互[7]。用體聲波諧振器的Butterworth-van Dyke模型[16]來理解與qubit間的耦合機制，簡化了設計體聲波諧振器物理參數(shù)的難度。此外，該諧振器可用制作約瑟夫森結(jié)的材料，如鋁、氮化鋁來制作，這種方案降低了制作量子iSWAP門的難度。同時，得益于trans-mon qubit較長的相干時間，在相干時間內(nèi)本方案提高了有效執(zhí)行iSWAP門操作的次數(shù)。

1 系統(tǒng)模型及其哈密頓量

圖1為本方案的電路模型。圖中，Φei(i=1, 2)為超導環(huán)內(nèi)的磁通量，Φ0=h/(2e)為磁通量子，EJi(i=1, 2)為約瑟夫森能，ECi(i=1, 2)為約瑟夫森結(jié)的充電能，CTi為超導環(huán)的并聯(lián)電容。芯片1、2通過FBAR連接，其中芯片1、2由transmon qubit、外磁場驅(qū)動電路和測量電路組成，transmon qubit由2個相同的約瑟夫森結(jié)和超導環(huán)路并聯(lián)1個電容CTi(i=1,2是用于區(qū)分2個qubit及其相關參數(shù))組成[17]，穿過超導環(huán)內(nèi)的外磁通量Φei用來調(diào)節(jié)qubit的躍遷頻率ωqi，transmon qubit的哈密頓量為

(1)

圖1 超導transmon qubit與FBAR混合量子門電路系統(tǒng)

理想的FBAR是由3個薄膜組成，本文采用Al/AlN/Al結(jié)構(gòu)，即上、下層為Al電極層，中間壓電層選用具有強壓電效應的AlN，其中上電極層有寬度為w的縫隙，其作用是避免2個transmon qubit直接連接，且w取值足夠小時，不影響體聲波諧振器的功能。在1個振蕩周期中，AlN壓電層會隨著垂直方向的表面電荷變化而收縮和伸展，導致壓電層的厚度周期性變化如圖2(a)所示。反之，壓電層厚度的變化也會引起垂直方向的電荷變化。

圖2 FBAR在1個工作周期中膨脹和收縮示意圖及基于Butterworth-van Dyke模型的FBAR的等效集總電路

用基于Butterworth-van Dyke模型的FBAR等效電路來闡述FBAR的工作機理，其等效電路如圖2(b)所示。圖中，R0為介電損耗，Cm為等效機械電容，Lm為等效機械電感，Rm為等效機械損耗，F(xiàn)BAR平行幾何電容C0=εrε0A/d(其中，εr為壓電層相對介電常數(shù)，ε0為真空介電常數(shù)，d為壓電層的厚度，A為電極層(Al)面積)。無量綱的壓電耦合系數(shù)為

(2)

式中fs，fp分別為等效電路串、并聯(lián)諧振頻率，且

(3)

(4)

FBAR的哈密頓量為

(5)

在系統(tǒng)中，F(xiàn)BAR作為耦合器連接2個qubit，類似微波光子通道的功能，使2個qubit間實現(xiàn)虛擬交互。在不考慮測量電路的影響時，本系統(tǒng)的哈密頓量為

(6)

2 量子iSWAP門的實現(xiàn)

在式(6)的基礎上，調(diào)節(jié)系統(tǒng)外電源使qubit工作在簡并點處，利用旋波近似消除快速振蕩項，該混合系統(tǒng)的Jaynes-Cummings模型為

(7)

(8)

(9)

(10)

式中最后一項可以理解為qubit的態(tài)位能通過體聲波諧振器并暫時的存儲在諧振器中，之后該量子態(tài)位會通過FBAR以虛擬交互的方式傳送到其他的qubit。在旋轉(zhuǎn)坐標系下，該混合電路的時間演化算子為

(11)

實際上，無論體聲波諧振器工作與否，熱激發(fā)引起體聲波諧振器激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)的數(shù)量(單聲子)可表示為

(12)

式中T為環(huán)境溫度。

(13)

圖3 超導混合量子門系統(tǒng)的相對能級及其本征態(tài)之間的相干和退相干

在此基礎上，量子iSWAP門結(jié)合單qubit量子門能實現(xiàn)量子C-NOT門和高復雜的量子計算[19-20]。

3 系統(tǒng)參數(shù)設計及其數(shù)值仿真

下面介紹本系統(tǒng)的實驗可行性。為了獲得FBAR的fs、fp和機械品質(zhì)因數(shù)Qm，從而獲得FBAR的等效電路參數(shù)，用有限元仿真軟件COMSOL Multiphysics 研究FBAR性質(zhì)。FBAR的仿真模型如圖4(a)所示。

圖4 FBAR仿真模型及其仿真結(jié)果

SiO2襯底的縱向長為150 nm；Al電極層厚為130 nm，頂層的2個Al電極間縫隙為300 nm；AlN壓電層厚度d=330 nm。圖4(b)為仿真得到FBAR在特征頻率為6.26 GHz時的表面形變。由圖4(c)可看出，在特征頻率fmax=6.26 GHz時,FBAR的Qm達最大值為2 345.88。通過仿真結(jié)果結(jié)合式(1)可計算出FBAR等效電路的各個參數(shù)，如表1所示。

表1 FBAR的主要參數(shù)

上述混合量子體系是理想情況下，但在實際實驗中,器件的耗散不可避免，這其中包括qubit的自身的弛豫和退相位、FBAR的耗散、超導環(huán)路的量子隧穿耗散。本系統(tǒng)中，起到主導影響的耗散是qubit自身退相位和FBAR的耗散，為了驗證本系統(tǒng)執(zhí)行一次量子iSWAP門的可靠性，引入系統(tǒng)的主方程來驗證本器件的保真度，其主方程為

(14)

(15)

(16)

D[c]ρ=cρc?-c?cρ/2-ρc?c/2

(17)

(18)

實施一次iSWAP操縱的過程層析(process tomography)如圖5所示(輸入態(tài)為|100〉)，圖5為理想狀態(tài)和考慮系統(tǒng)散耗的過程層析仿真結(jié)果。其中，mn(m={i,x,y,z},n={i,x,y,z})為m和n的張量積。

圖5 量子iSWAP門的過程層析

量子門的保真度是描述量子器件性能的一個重要指標，在仿真結(jié)果基礎上對本系統(tǒng)的保真度進行了分析。理想的量子iSWAP門，當輸入態(tài)為|100〉時，在tiSWAP后系統(tǒng)的輸出態(tài)為|010〉，其輸出態(tài)的密度矩陣ρI為

(19)

但在數(shù)值仿真時存在仿真誤差，數(shù)值仿真的輸出態(tài)密度矩陣為ρS,不考慮系統(tǒng)耗散時保真度為

(20)

由數(shù)值仿真結(jié)果可算出F=0.981 47。在考慮FBAR和qubit的耗散時，γm/(2π)≈4.201 MHz,γ↓i=0.01gi，γφi=0.001gi，數(shù)值仿真系統(tǒng)輸出態(tài)的密度矩陣為ρD，數(shù)值仿真保真度為

(21)

根據(jù)式(21)得到其保真度為0.968 15，表明了本系統(tǒng)在執(zhí)行一次iSWAP邏輯操縱時具有較高的可靠度。

4 結(jié)束語

本文提出了超導量子電路與體聲波諧振器混合系統(tǒng)實現(xiàn)高保真度量子iSWAP門的新方案，引入體聲波諧振器的Butterworth-van Dyke模型，建立系統(tǒng)量子化的哈密頓量，體聲波諧振器起到類似微波光子通道的作用，使得兩個transmon qubit之間進行虛擬交互和量子態(tài)位傳送，并產(chǎn)生量子iSWAP邏輯功能。采用最新已報道的實驗數(shù)據(jù)，估算了體聲波諧振器和qubit的具體參數(shù)，數(shù)值仿真表明執(zhí)行一次iSWAP操縱所需時間約為0.106 33 ms,且考慮系統(tǒng)耗散時其保真度高達0.968 15。該方案降低了制作超導量子門的難度，也為設計和制造高保真量子邏輯門奠定了基礎。