“獵狗追免”輕松解

楊弘

學生：“獵狗為什么總是追兔子？”

老師：“大概是為奧數(shù)題作貢獻吧！”

學生：……

行程單位統(tǒng)一

是獵狗追兔的解題關鍵。

獵狗追兔是奧數(shù)中行程問題的一種，同時也是數(shù)學行程問題中的一種，它與一般的行程問題有著某種相通性。

問題敘述：

兔子動作快、步子小;獵狗動作慢、步子大。通常我們遇到的行程問題中所給路程都是通用單位（米或千米）等，但這類題中狗步與兔步是不一樣的單位，所以要先統(tǒng)一單位，然后利用追及問題公式“路程差÷速度差=追及時間”來解出答案。

舉例說明：

①相同路程內(nèi)，獵狗跑4步（狗步）=兔子跑7步（兔步），可以求出狗步與兔步的比;②相同時間內(nèi)，兔子跑3步（兔步）=獵狗跑2步（狗步），可以求出兔子與獵狗的速度比，即單位時間內(nèi)獵狗和兔子分別跑多少兔步（或狗步）。

關鍵：

統(tǒng)一為狗步或兔步。

規(guī)則：

要視路程差的單位而定，若路程差的單位為狗步則速度要統(tǒng)一為狗步，反之統(tǒng)一為兔步。

記住這些，“獵狗追兔”問題自然迎刃而解！

元宵佳節(jié)猜燈謎，果然，元宵佳節(jié)一到，老爸就不懷好意地對著我笑：“嘿嘿嘿……嘿嘿嘿……”我立刻警惕起來，老爸，又憋著什么壞呢？

“今年元宵節(jié)咱們玩?zhèn)€好玩的，猜燈謎！”老爸微微一笑。

猜燈謎，這可是我的強項。不過以我對老爸的了解，事情恐怕沒這么簡單。果然，老爸話鋒一轉，說道：“不過，文字燈謎大家早都玩膩了，咱們不如換一個數(shù)學的玩法?！?/p>

“NO～～～～！”我慘嚎一聲，不過看著老爸晃得叮當響的元宵，只好放手一搏了。

燈謎一：高個子和矮個子兩個小朋友走一段路程，通常誰先到達終點？

我想了想，說道：“身高有差異的兩個小朋友走同一段路程，通常是個子高的走得比較快，因為個高的小朋友步子比較大?！?/p>

爸爸笑著點點頭：“沒錯，所以影響速度的第一個因素是‘步長?！?/p>

燈謎二：如果高個子和矮個子兩個小朋友走同一段路程，個子矮的有沒有可能先到達終點，為什么？

有了第一個問題墊底，第二個問題思考起來就簡單多了。我的答案是：有可能，如果個子矮的小朋友在單位時間內(nèi)走的步數(shù)比較多，也可說單位時間內(nèi)腳落地的次數(shù)多，那么個子矮的小朋友可能會先到達終點。

爸爸豎起了大拇指，說道：“沒錯，這就是影響速度的第二個因素——‘步頻。速度與步長和步頻之間的關系就是：

速度=步長×步頻?！?/p>

燈謎三：兔跑8步的時間狗跑5步，兔跑9步的距離等于狗跑4步的距離，兔和狗的速度比是多少？

看著題，我拿出紙筆寫出計算思路，并列出表格：

相同時間內(nèi)，兔跑8步，狗跑5步……可以理解成相同時間內(nèi)，兔子腳落地次數(shù)為8，獵狗腳落地次數(shù)為5。所以可以得到兔子和狗的步頻之比為8：5;

相同路程內(nèi)，兔跑9步，狗跑4步……可以假設距離為36，那么兔子的一步也就是步長為：36÷9=4，獵狗的步長為：36÷4=9。所以兔子和狗的步長之比為4：9，所以可以得到速度之比為（8×4）：（5×9）=32：45。

“這是獵狗追兔問題，老爸，你的小心思可都讓我猜中了。”我轉頭對老爸說。

老爸也哈哈大笑起來，說：“沒錯，這就是獵狗追兔的解題關鍵——將行程單位統(tǒng)一。看來你早有研究，學得不錯嘛！”

“過情人節(jié)嘍，過情人節(jié)嘍。”8歲的小弟何疏文不知道怎么忽然興奮起來，蹦蹦跳跳地滿屋子瘋跑。

我忍不住調(diào)侃道：“情人節(jié)是大人們過的節(jié)日，你個小屁孩興奮個什么勁？”

小弟一聽，立刻撇起嘴大哭起來，又是打滾又是狼嚎……把老媽給招了來?！昂问栌?！你是不是又欺負弟弟了？”老媽一邊呵斥我，一邊安慰起弟弟來。

“天地良心。”我急忙大呼冤枉。正要辯解，卻聽見老爸在門口喊道：“快點，她三姑等咱們呢?！?/p>

“趕緊把你弟弟哄好，要不然我饒不了你?！崩蠇尷习旨敝ソ觼泶T的姑姑，匆匆丟下句話就出了門。

老爸老媽一出門，弟弟立刻停止了哭聲，跟我談起條件來?！敖憬阋菐臀医獾罃?shù)學題，我就不鬧了。”

“嘿！臭小子敢威脅我?！蔽覄傄焓郑涂吹艿芰⒖萄蹨I汪汪，馬上就要流下來。

“好了，好了，我輸了?！蔽覠o奈地說，“什么數(shù)學題，說吧！”

獵狗前面26步遠有一只野兔，獵狗追之。野兔跑8步的時間狗跑5步，野兔跑9步的距離等于狗跑4步的距離。問：野兔跑多少步后被獵狗抓獲？此時獵狗跑了多少步？

獵狗追兔？這題對8歲的弟弟來說確實有些難。就算是我也要細細思索一番呢。我細細分析起來：

“獵狗前面26步……”顯然指的是獵狗的26步。

“兔跑8步的時間……”和“兔跑9步的距離……”，那么第一件事就是要做統(tǒng)一單位，8與9的最小公倍數(shù)是72，所以可以統(tǒng)一在“兔跑72步”這個情況下考慮。

野兔跑72步的時間狗跑45步，野兔跑72步的距離等于獵狗跑32步距離，所以在野兔跑72步的時間里，獵狗比野兔多跑了45-32=13（步）的路程，這個13步是獵狗的13步。

由此代入公式，問題的答案就是：

要追上獵狗跑的26步，野兔需要跑：

72×（26÷13）=144（步）;

此時獵狗跑了5×（144÷8）=90（步）。

“我懂嘍，謝謝姐姐！”我話音剛落，鬼小弟已經(jīng)跑得沒了影子。唉，這個讓人頭痛不已的小弟呀！

早上起來，我不經(jīng)意間看了眼日歷，咦？為什么2月份只有29天呢？其他月份不是30天，唯獨二月天數(shù)最少，不是28天，就是29天？

我?guī)е蓡栒业浇憬恪＝憬阊壑楣锹德档剞D了半天，說：“這個問題嘛，我原是知道的。”“那還不快快告訴我?！蔽医辜钡貑柕?。

“但我偏要賣個關子?！苯憬阏f，“明天就要開學了，我有道數(shù)學題怎么也解不出來，你要是能幫我解出來，我就告訴你。”

我這個姐姐呀，真是叫人又恨又愛。形勢所迫，我只好無奈地說：“什么題，讓我先看看。”

姐姐立刻興奮起來，就是這一道：

貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同;貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同;而貓跑3步的時間與狗跑5步的時間相同;貓跑5步的時間與兔跑7步的時間相同，貓、狗、兔沿著周長為300米的圓形跑道，同時同向同地出發(fā)。問當它們出發(fā)后第一次相遇時各跑了多少路程？

“這不就是‘獵狗追兔問題嘛！”我心里暗想，“只不過又加入了貓……要先捋清題中已知條件！”我嘴上念叨著，找來紙筆，寫道：

相同路程內(nèi)，貓跑5步等于狗跑3步……假設距離為15的話，貓的步長為：15÷5=3，狗的步長為：15÷3=5。所以，貓和狗的步長比為3：5。

相同時間內(nèi)，貓跑3步，狗跑5步……也就是貓腳落地次數(shù)為3，獵狗腳落地次數(shù)為5。所以可以得到貓和狗的步頻之比為3：5。

所以，貓和狗的速度比為（3×3）：（5×5）=9：25。

同理，貓與兔的速度之比為：25：49。

設單位時間內(nèi)貓跑1米，則狗跑? ? ? ?米，兔跑? ? ? ? 米。

狗追上貓一圈需? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?單位時間;

兔追上貓一圈需? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 單位時間;

貓、狗、兔再次相遇的時間，應既是? ? ? ? 的整數(shù)倍，又是? ? ? ? ? 的整數(shù)倍;

與? ? ? ? ? 的最小公倍數(shù)等于兩個分數(shù)中分子的最小公倍數(shù)除以分母的最大公約數(shù)，即

[? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ?]=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=? ? ? ? ? ? ? =8437.5。

也就是經(jīng)過8437.5個單位時間，貓、狗、兔第一次相遇。

所以，貓跑了8437.5米;狗跑了8437.5×

=23437.5米;兔跑了8437.5×? ? ? ? ? =

16537.5米。

姐姐看了我的解題方法頻頻點頭，說：“不愧是數(shù)學小天才呢！看你這么聰明的份上，就給你講講2月份少一兩天的原因吧！”

為什么2月份只有29天？

我們現(xiàn)在使用的公歷，是古羅馬帝國時期完善成形的。地球繞太陽運行1周的時間是365.2422天，為1年，1年分12個月。

羅馬大帝愷撒規(guī)定：每年12個月，一、三、五、七、十、十二為大月，每月31天;其他月份定為小月，每月30天，這樣，大小各六個月，很容易讓人記住。但照這樣規(guī)定，一年就不是365天，而是366天了，因此得找出一個月扣去一天。那個時候被判處死刑的犯人都在2月份處死，人們都希望2月能快點過去。于是，就把2月扣去了一天，這樣，2月就只剩下29天了。

再后來，一個叫奧古斯特的人做了羅馬皇帝。奧古斯特是八月份生的，八月卻是小月，他就荒唐地把八月也定為大月，改為31天。而八月多出的這一天仍然從二月份扣除，這樣，二月只剩下28天了，只是每過4年，也就是閏年，二月才是29天，這就是二月份天數(shù)少的來歷。