與多個數(shù)論函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)方程解的存在性

張明麗，高 麗*，張炳存，郭夢媛

(1.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安716000； 2.定邊縣第四中學(xué),陜西 定邊 718600； 3.陜西師范大學(xué)出版總社，西安 710000)

1 相關(guān)引理

引理1[2-4]由簡數(shù)定理知:

引理3[5]對任意素數(shù)p≥3,Z(p)=p-1.

引理4[5]對任意素數(shù)p≥3及k∈N+,Z(pk)=pk-1.當(dāng)p=2時,則有Z(2k)=2k+1-1.

2 主要結(jié)論及其證明

證明對于混合函數(shù)方程:

(1)

的解主要分以下兩種情形進(jìn)行討論：

①對于α=7，p=3的情況,n=2s13s25s37s411s513s617s719s8(其中0≤s1≤10,s2=7,0≤s3≤4,0≤s4≤2,0≤s5，s6，s7，s8≤1),帶入式(1)驗證均符合,故此時式(1)有2 640個解為n=2s13s25s37s411s513s617s719s8(其中0≤s1≤10,s2=7,0≤s3≤4,0≤s4≤2,0≤s5，s6，s7，s8≤1).

②對于α=3，p=7的情況,n=2s13s25s37s411s513s617s719s8(其中0≤s1≤10,2≤s2≤6,0≤s3≤4,s4=3,0≤s5，s6，s7，s8≤1),帶入式(1)驗證均符合,故此時式(1)有4 400個解為n=2s13s25s37s411s513s617s719s8(其中0≤s1≤10,2≤s2≤6,0≤s3≤4,s4=3,0≤s5，s6，s7，s8≤1).

(i)對于α=3，p=2的情況,n=2s13s25s3(其中s1=3,0≤s2，s3≤1),共有4種組合,帶入式(1)驗證,此時符合式(1)的解共有2個,為n=24，120.

(ii)對于α=2，p=3的情況,n=2s13s25s3(其中0≤s1≤2,s2=2,0≤s3≤1),歸于情形一,不再贅述.

(i)對于α=5，p=2的情況,n=2s13s25s37s4(其中s1=5,0≤s2，s3，s4≤1),共有8種組合,帶入式(1)驗證,此時符合式(1)的解僅有n=1 120.

(ii)對于α=2，p=5的情況,n=2s13s25s37s4,(其中0≤s1≤4,0≤s2≤1，s3=2,0≤s4≤1)共有20種組合,帶入式(1)驗證,此時符合式(1)的解共有2個,為n=175，400.

①對于α=5，p=3的情況,對應(yīng)有n=2s13s25s37s411s513s6(其中0≤s1≤7,s2=5,0≤s3，s4≤2,0≤s5，s6≤1),歸于情形一,不再贅述.

②對于α=3，p=5的情況,對應(yīng)有n=2s13s25s37s411s513s6(其中 0≤s1≤7,s3=3,0≤s4≤2,0≤s2，s5，s6≤1),共有192種組合,帶入式(1)驗證,此時符合式(1)的解共有16個,為n=1 625，6 125，2 750，500，250 250，45 500，77 000，700 700，14 000，1 274 000，572 000，2 156 000，104 000，392 000，176 000，16 016 000.

①對于α=2，p=2的情況,n=4，12,帶入式(1)驗證均不符合,故此時式(1)無解.

②對于α=7，p=2的情況,n=2s13s25s37s411s513s6(其中s1=7,0≤s3≤2,0≤s2，s4，s5，s6≤1),共有48種組合,帶入式(1)驗證,此時符合式(1)的解共有3個,為n=18 304，4 480，246 400.

③對于α=2，p=7的情況,n=2s13s25s37s411s513s6(其中0≤s1≤6,s4=2,0≤s3≤2,0≤s2，s5，s6≤1),共有168種組合,帶入式(1)驗證,此時符合式(1)的解共有14個,為n=637，35 035，1 078，6 370，350 350，196，10 780，63 700，1 960，107 800,19 600，224 224，40 768，2 242 240.

④對于α=14，p=2的情況,對應(yīng)有n=2s13s25s37s411s513s617s719s823s9(其中s1=14,0≤s3≤5,0≤s4≤3,0≤s5，s6≤2,0≤s2，s7，s8，s9≤1),共有3 456種組合,數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選,符合式(1)的解共有288個(此處省略，對于具體數(shù)值不加贅述),即使得n的值同時滿足如下兩個條件:

(i)n=2s13s25s37s411s513s617s719s823s9(其中s1=14,0≤s3≤5,0≤s4≤3,0≤s5，s6≤2,0≤s2，s7，s8，s9≤1);

(ii)sim(n)=7.

⑤對于α=4，p=7的情況,n=2s13s25s37s411s513s617s719s823s9(其中0≤s1≤13,0≤s3≤5,s4=4,0≤s5，s6≤2,0≤s2，s7，s8，s9≤1),共有12 096種組合,對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選,符合式(1)的解共有1 008個(此處省略，對于具體數(shù)值不加贅述),即使得n的值同時滿足如下兩個條件:

(i)n=2s13s25s37s411s513s617s719s823s9(其中0≤s1≤13,0≤s3≤5,s4=4,0≤s5，s6≤2,0≤s2，s7，s8，s9≤1);

(ii)sim(n)=7.

綜上，滿足定理1中給定混合數(shù)論函數(shù)方程的解有有限多個.

3 相關(guān)推論及其性質(zhì)證明

推論對于任意的正整數(shù)n,若設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為n=p1α1p2α2…prαr(其中p1，p2，…，pr均為素數(shù)),則對于簡數(shù)根函數(shù)sim(n)有：

sim(n)=sim(p1α1p2α2…prαr)=sim(sim(p1α1)p2α2…prαr)=…=

sim(sim(p1α1)sim(p2α2)…sim(prαr))=sim(sim(p1)α1sim(p2)α2…sim(pr)αr).

證明結(jié)合引理1,運用數(shù)學(xué)歸納法易證.

性質(zhì)1sim(1i)=1(i∈N+).

性質(zhì)2 對于2i，4i，8i及5i，7i(i∈N+),有:sim(2)=2;sim(22)=4;sim(23)=8;sim(24)=7;sim(25)=5;sim(26)=1;…;sim(26i+1)=sim(26i×2)=sim((sim(26))i×sim(2))=sim(2)=2;sim(26i+2)=4;sim(26i+3)=8 ;sim(26i+4)=7 ;sim(26i+5)=5 ;sim(26i+6)=sim((26)i)=1(其中i∈N+).

證明1)運用數(shù)學(xué)歸納法,對上述sim(26k)=sim((sim(26))k)進(jìn)行驗證.

①當(dāng)k=1時,易知sim(26)=sim(sim(26))=sim(1)=1成立.

②假設(shè)k=i(i∈N+)時,sim(26i)=sim((sim(26))i)成立.那么,當(dāng)k=i+1(i∈N+)時,有sim(26(i+1))=sim(sim(26i)sim(26))=sim(1×1)=1,命題得證.

2)sim(4)=4;sim(42)=7;sim(43)=1;sim(44)=4;sim(45)=7;sim(46)=1;…;sim(43i+1)=sim(43i×4)=sim((sim(26))i×sim(4))=sim(1×4)=4;sim(43i+2)=7;sim(43i+3)=sim((sim(26))i+1)=1(其中i∈N+).

3)sim(8)=8;sim(82)=1;sim(83)=8;sim(84)=1;sim(85)=8;sim(86)=1;…;sim(82i+1)=sim(82i×8)=sim((sim(26))i×sim(8))=sim(1×8)=8;sim(82i+2)=1;(其中i∈N+).

4)sim(5)=5;sim(52)=7;sim(53)=8;sim(54)=4;sim(55)=2;sim(56)=1;…;sim(56i+1)=sim(56i×5)=sim((sim(56))i×sim(5))=sim(5)=5;sim(56i+2)=7 ;sim(56i+3)=8;sim(56i+4)=4 ;sim(56i+5)=2 ;sim(56i+6)=sim((56)i)=1(其中i∈N+).

5)sim(7)=7;sim(72)=4;sim(73)=1;sim(74)=7;sim(75)=4;sim(76)=1;…;sim(73i+1)=sim(73i×7)=sim((sim(76))i×sim(7))=sim(7)=7;sim(73i+2)=4 ;sim(73i+3)=1 (其中i∈N+).

2)3)4)5)證明可參照(1)進(jìn)行.

性質(zhì)3 對于3i，6i(i∈N+),有:

1)當(dāng)i=1時,sim(3)=3;當(dāng)i≥2時,sim(3i)=9;

2)當(dāng)i=1時,sim(6)=6;當(dāng)i≥2時,sim(6i)=9.

證明同上易證.

例1 對于11i(i∈N+),要使sim(n)=7,則有:

sim(sim(11)×8)=sim(16)=7;

sim(sim(112)×4)=sim(sim(121)×4)=sim(4×4)=sim(16)=7;

sim(sim(113)×2)=sim(sim(1 331)×2)=sim(8×2)=sim(16)=7;

sim(sim(114)×1)=sim(sim(14 641)×1)=sim(7×1)=7;

sim(sim(115)×5)=sim(sim(161 051)×5)=sim(5×5)=sim(25)=7;

sim(sim(116)×7)=sim(sim(1 771 561)×7)=sim(1×7)=7;

…

sim(sim(116i+1)×8)=sim(16)=7;

sim(sim(116i+2)×4)=sim(4×4)=sim(16)=7;

sim(sim(116i+3)×2)=sim(8×2)=sim(16)=7;

sim(sim(116i+4)×1)=sim(7×1)=7;

sim(sim(116i+5)×5)=sim(5×5)=sim(25)=7;

sim(sim(116i+6)×7)=sim(sim(11)6i+6×7)=sim(26i+6×7)=sim(1×7)=7.