一種互反判斷矩陣殘缺值和排序的推斷方法及應(yīng)用

李 偉，張明生，陳德強

(貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院,貴陽 550025)

在各個領(lǐng)域的發(fā)展中,多維多準則決策問題一直都是研究的重點.特別是在一些復雜的系統(tǒng)中,多維的決策往往具有層次結(jié)構(gòu).20世紀70年代初由美國著名運籌學家T L Saaty教授創(chuàng)立的一種定量與定性相結(jié)合的決策——層次分析法(Analytic Hierarchy Process,簡稱AHP)[1]具有系統(tǒng)性、實用性和簡潔性的特點,因此成為了解決復雜決策問題的首選工具.

由于決策的復雜性,部分決策者對于某些指標權(quán)重的比較信息無法給出情況是完全可能的.因此,決策者放棄對于某些指標的對比做出打分,導致了判斷矩陣的殘缺,把這種帶有殘缺元素的判斷矩陣稱為殘缺判斷矩陣.對于這類問題,國內(nèi)外有許多研究者從多方面進行了研究.爾古打機等[2]通過用未知數(shù)填充缺失元素,再建立對數(shù)均值誘導偏差矩陣模型來求解未知數(shù)的殘缺矩陣補充模型；Wang Z J等[3]通過將屬性評估轉(zhuǎn)換為區(qū)間值直覺模糊數(shù)(IVIFN),開發(fā)了一種輔助線性規(guī)劃模型來對替代方案進行排名；Xu Z S等基于語言評價量表的運算法則,以最少的判斷就可以接受的不完整語言偏好關(guān)系,開發(fā)了一種利用加和性來構(gòu)造一致的完整語言偏好關(guān)系[4-5]；胡宏宇等[6]基于殘缺元素的偏差行式,以最小偏差最為約束條件計算殘缺矩陣的權(quán)重向量,用可能性矩陣來確定最后的排序向量；Dopazoa E等[7]定義了相似性函數(shù)和參數(shù)折衷函數(shù),建立了對數(shù)目標規(guī)劃公式可提供一種有效的程序來計算解決方案.Bozóki等[8]研究了特征向量法和對數(shù)最小二乘法這兩種加權(quán)方法的最佳完備性的唯一性問題,獲得唯一性的相同簡單圖形理論表征判斷模型；劉衛(wèi)鋒等[9]通過創(chuàng)建一個轉(zhuǎn)換公式,將加性語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為互補判斷矩陣,通過建立并求解一個非線性規(guī)劃模型,得到專家群組的排序向量；許葉軍等[10]通過對殘缺互補判斷矩陣建立二次規(guī)劃法來得到最終排序；Fedrizzi M等[11]采用最小化全局不一致性的度量來填補矩陣,從而獲得一致性最佳的矩陣,通過求解線性系統(tǒng)獲得最優(yōu)值；Gomez-Ruiz J A等[12]提出了一種基于多層感知器(MLP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型,在補充缺失值同時提高矩陣一致性；Frank J C等[13]進行了蒙特卡洛模擬,它使用不完整的成對比較(IPC)算法來研究AHP中簡化的成對比較集的影響；吳詩輝等[14]通過將AHP判斷矩陣的調(diào)整問題等價轉(zhuǎn)化為一個帶約束條件的優(yōu)化問題,設(shè)計了改進的搜索引擎算法；等.本文在研究中主要考慮單個決策者基于9標度法在不完全信息下的決策問題.

從現(xiàn)有的研究基礎(chǔ)上看,殘缺矩陣缺失值和排序往往是采用隨機擬合來生成，沒有考慮非殘缺元素和缺失元素的相對關(guān)系,對擬合得出的排序向量直接進行使用而沒有加以處理.使得最后的結(jié)果不能充分反映矩陣中的殘缺信息.對此,本文在對殘缺互反判斷矩陣的補充和排序方法進行研究時,以非殘缺元素為權(quán)建立一個加權(quán)后的非線性最小二乘模型,通過伴隨矩陣來消除殘缺元素,然后設(shè)置一個偏差量來減少決策失誤風險,最后在最終排序的處理上將擬合得到排序向量和補充完整的排序向量進行幾何平均,使得出的最后排序更加柔性和可靠.

1 相關(guān)定義

1.1 殘缺判斷矩陣的相關(guān)定義

定義1 若在判斷矩陣A=(aij)n×n中既有殘缺元素又有非殘缺元素，而且非殘缺元素滿足：

aij>0，aij=1/aji，aii=1，

則稱A為殘缺正互反矩陣.

定義2 設(shè)A=(aij)n×n是殘缺正互反矩陣,若A的元素滿足:?i,j,k∈N+,均有aij=aikakj,則稱A為完全一致性殘缺正互反矩陣.

1.2 算法模型的定義

證明由定義4中的一致性指標CI可知,CI越大,矩陣的一致性越差,決策的有效性越差.

假設(shè)最大特征值λmax對應(yīng)的歸一化特征向量為W=(w1,w2,w3,…,wn)T,若偏差量為εij,則原判斷矩陣為:

(1)

引入最大特征值的公式:

(2)

(3)

此時可以發(fā)現(xiàn),判斷矩陣A中的各元素的相對誤差與矩陣的一致性有關(guān),誤差越小越求得的排序權(quán)向量越滿足要求.

通過式(1)消去εij,此時：

(4)

(5)

證畢.

2 基于加權(quán)最小二乘法擬合殘缺值和排序向量的算法

在實際的決策過程中，判斷信息的不完整嚴重影響最終的決策,所以必須對殘缺元素進行補充.本文認為在滿足一致性的基礎(chǔ)上使原矩陣與補充后的完整矩陣偏差越小越符合條件,具體的算法步驟如下.

第1步：輸入殘缺互反判斷矩陣A=(aij)n×n;

第2步：由定義5設(shè)置殘缺矩陣的伴隨矩陣ΔA=(Δaij)n×n,其中:

(6)

第3步：采用加權(quán)后的最小二乘擬合算法,引入第2步中求得的伴隨矩陣Δaij,通過：

(7)

算出最優(yōu)的排序向量W′;

第5步：填補完整判斷矩陣,通過特征值法求得權(quán)重W″;

第6步：通過幾何平均求出最終排序向量:

(8)

3 算例試驗

例1 已知5階殘缺判斷矩陣A1,缺失3個元素.

根據(jù)第2步中求得其伴隨矩陣ΔA1:(ΔA1如上右所示)

通過第3步中的擬合算法,得到排序向量為:

通過第4步求得殘缺元素a23=3.748 9,a25=6.251 2,a34=0.166 7,此時:

CR=0.003 3<0.1,λmax=5.014 9，W1″=(0.209 1,0.261 3,0.069 7,0.418 1,0.041 8)T.

例2 已知5階殘缺判斷矩陣A2,殘缺元素為5個.

根據(jù)殘缺矩陣推斷模型,其伴隨矩陣ΔA2為:(ΔA2如上右所示)

通過第4步求得殘缺元素:a14=0.720 2,a23=3.752 1,a25=6.250 1,a34=0.240 4,a45=6.944 4，此時:

λmax=5.119 4,CR=0.026 7<0.1,W2″=(0.154 2,0.192 8,0.051 4,0.570 0,0.030 8)T.

例3 已知一個8階矩陣A3缺失12個元素殘缺判斷矩陣,如下:

根據(jù)殘缺矩陣推斷模型,其伴隨矩陣ΔA3為:(ΔA3如上右所示)

通過第3步中的擬合算法,得到排序向量為:

通過第4步求得殘缺元素a23=0.939 9,a25=2.058 5，a27=0.179 7，a34=2.610 5，a36=1.254 2，a38=0.117 6，a45=0.839 0，a47=0.073 3，a56=0.572 6，a58=0.053 7，a67=0.152 5，a78=0.615 1.此時:

λmax=10.159 2，CR=0.2187>0.1，

W3″=(0.153 3,0.057 1,0.153 4,0.019 6,0.022 5,0.040 6,0.181 8,0.371 8)T,

4 試驗對比

在算例1和算例2下,通過比較3種經(jīng)典的殘缺矩陣補全算法:改進模式搜索算法[14]、優(yōu)化模型補全算法[18]和對數(shù)誘導偏差矩陣算法[2]與本文提出的基于改進的最小二乘法擬合殘缺值和排序向量的算法進行對比分析,其中補全后的矩陣為上三角元素從左往右和從上往下排列.結(jié)果如表1所示.

表1 實驗結(jié)果分析Tab.1 Analysis of experimental results

由表1可知,不管是在5階判斷矩陣缺失三個元素信息的例1中還是缺失5個元素信息的例2中,文中算法所得出的結(jié)果都與其他3種算法一致,且補全后的矩陣一致性非常接近于0,說明在實際決策中得出的排序向量具有很高的真實度和合理性性,進一步證明了算法的有效性和可行性.

在算例3下,通過比較優(yōu)化模型補全算法[18]和對數(shù)最小二乘優(yōu)化模型[8]與本文提出的基于改進的最小二乘法擬合殘缺值和排序向量的算法進行對比分析,結(jié)果如表2所示.

由表2可知,當殘缺矩陣階數(shù)較大,殘缺元素較多時文獻[8]中的算法和文中提出的算法在一致性上大于0.1,在可信度上會受到影響.但在排序結(jié)果中,文中算法和文獻[15]中的算法保持一致,在一定情況下對決策結(jié)果不會造成錯誤的影響,也反應(yīng)了算法在高階殘缺判斷矩陣中有一定的可行性.若協(xié)同文獻[15]中的一致性修正算法來進行調(diào)整,當修正范圍取30%時,此時CR=0.095 6<0.1,即達到滿意一致性條件.

5 結(jié)語

針對在多維決策系統(tǒng)中信息不完整的問題，提出了一種補全殘缺值和排序向量的算法，并研究了一種在求出的完整矩陣不滿足一致性時的修正方法.本文最終的排序向量是由擬合得到的排序和補全后得到的排序幾何平均處理后得出的，使得最后的決策的柔性更強，正確性更高，減少了風險，并在相同的算例下與幾中經(jīng)典的殘缺矩陣補全算法進行比較，結(jié)果表明本算法所給出的殘缺值和排序向量都是合理的，證明了本算法的可行性及有效性.

表2 試驗結(jié)果分析Tab.2 Analysis of experimental results