基于ASM-MBF的陣列互耦補(bǔ)償方法

王楠

（海裝駐廣州局駐昆明地區(qū)第一軍事代表室，昆明 650000）

陣列天線是當(dāng)前通信領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)，互耦是影響陣列天線性能的重要因素。矩量法[1]（Method of Moment，MoM）能夠準(zhǔn)確地對(duì)陣列的互耦特性進(jìn)行分析，但是該方法也有相當(dāng)大的局限性。當(dāng)陣列單元數(shù)目增加時(shí)，未知數(shù)的數(shù)目也會(huì)隨之大大增加，相應(yīng)的計(jì)算量和消耗的內(nèi)存也必然會(huì)激增。因此，傳統(tǒng)的矩量法并不適合用于大型陣列分析。

為了解決上述問(wèn)題，許多旨在改進(jìn)傳統(tǒng)矩量法的快速算法應(yīng)運(yùn)而生，這些方法主要分為兩大類。一類是通過(guò)加速矩陣向量相乘和減少矩陣填充時(shí)間來(lái)實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，其典型代表有自適應(yīng)積分法（Adaptive Integral Method，AIM）、多層快速多極子法（Multilevel Fast Multipole Method，MLFMM）和基于傅里葉變換的共軛梯度法（Conjugate Gradient Fast Fourier Transform，CG-FFT）等。這類方法能夠使矩量法的計(jì)算量由原來(lái)的 O ( N2)降至 O ( N1.5)～ O ( N l g N )，但由于并沒(méi)有減少未知量的數(shù)目，減小矩陣方程的維數(shù)，故仍然受到目標(biāo)剖分尺寸的限制。另一類方法則通過(guò)在宏域（大于剖分單元區(qū)域的作用域）上構(gòu)造宏基函數(shù)（Marco Basis Functions，MBF），來(lái)降低未知量的個(gè)數(shù)，以實(shí)現(xiàn)方程的降階。這類方法的典型代表有子域多層法（Subdomain Multilevel Approach，SMA）、子全域基函數(shù)法（Sub-Entire-Domain basis function method，SED）和綜合函數(shù)法（Synthetic Function Approach，SFA）等。這類方法雖然能夠有效地減少未知量的個(gè)數(shù)，但是卻增加了矩陣元素的計(jì)算難度。這類方法的關(guān)鍵在于宏基函數(shù)的構(gòu)造。宏基函數(shù)本質(zhì)上是一種高階基函數(shù)，其構(gòu)造方法隨分析問(wèn)題角度的不同而不同。雖然存在些許缺陷，但宏基函數(shù)能夠大幅縮減矩陣方程的規(guī)模。

此外，對(duì)于大型陣列，還有一種常用的方法是用無(wú)限周期陣列（簡(jiǎn)稱無(wú)限陣）這一理想模型來(lái)進(jìn)行近似。由于無(wú)限陣列擁有所有有限陣列應(yīng)該具有的基本特性，而其計(jì)算相對(duì)于有限陣列要容易得多。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)的陣列設(shè)計(jì)都是從無(wú)限陣開(kāi)始，在設(shè)計(jì)的最后階段再考慮有限陣的情況，即考慮陣列的邊緣效應(yīng)。

文中將宏基函數(shù)和無(wú)限陣列近似這兩種思路進(jìn)行結(jié)合，對(duì)一種可用于大型陣列的互耦分析方法進(jìn)行研究，并基于此方法，對(duì)傳統(tǒng)的不考慮互耦的陣列綜合問(wèn)題模型進(jìn)行互耦補(bǔ)償。最終效果顯示，補(bǔ)償效果良好。

1 數(shù)學(xué)處理方法

1.1 宏基函數(shù)類方法的基本原理

MBF方法的基本思想是將整個(gè)目標(biāo)分成N個(gè)宏域，對(duì)于天線陣列而言，每一個(gè)陣元可以作為一個(gè)宏域，然后在每個(gè)宏域上構(gòu)造宏基函數(shù)。一般而言，相比于傳統(tǒng)的RWG等低階基函數(shù)，宏基函數(shù)的個(gè)數(shù)要小得多。因此MBF構(gòu)建的矩陣方程的維度要遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)矩量法。

以N元對(duì)稱振子陣為例，設(shè)每個(gè)陣元上有M個(gè)RWG基函數(shù)，則此時(shí)矩量法產(chǎn)生的全局方程可寫成如下這種塊的形式：

式中： ZRpqWG為單元p和q上的RWG基函數(shù)之間相互作用的阻抗矩陣，其矩陣維度為M×M； IRpWG和 VRWG分別為陣元p上的電流系數(shù)向量和激勵(lì)系數(shù)向量。

使用MBF方法產(chǎn)生的矩陣方程為：

將式（2）和式（1）進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，MBF方法產(chǎn)生的廣義阻抗矩陣的維度為 NK×NK，而傳統(tǒng)的 RWG矩量法的阻抗矩陣維度為 NM×NM。因?yàn)镵＜＜M，所以 MBF方法能夠有效地減小未知量的個(gè)數(shù)，實(shí)現(xiàn)矩陣降階。此外，由于MBF方法電流系數(shù)是由低階良態(tài)的矩陣方程求得，其求解的穩(wěn)定性和速度相比于傳統(tǒng)矩量法都會(huì)大大提高。

MBF沒(méi)有固定的構(gòu)建方法，目前最流行的構(gòu)建方法是文獻(xiàn)[6]提出的“Primary and Secondary”電流分布法。盡管構(gòu)建方法可以多種多樣，不管采用何種方法，所構(gòu)建的MBF必須要能夠反映宏域間的互耦，這也是MBF的構(gòu)建準(zhǔn)則。

由電磁場(chǎng)的疊加原理可知，陣列在滿陣饋電時(shí)的電流分布，等于分別激勵(lì)單個(gè)陣元產(chǎn)生的電流分布的疊加，陣列的單一激勵(lì)電流分布可以作為陣列分析的宏基函數(shù)。對(duì)于大型陣列，其單一激勵(lì)電流分布只能通過(guò)全波分析求得，工作量太大。

有文獻(xiàn)已經(jīng)證明，有限陣的邊緣效應(yīng)問(wèn)題可由無(wú)限陣的解推導(dǎo)出，可以作為有限陣的近似模型，而且無(wú)限陣的單一激勵(lì)電流分布同樣包含陣元互耦信息。因此一般認(rèn)為無(wú)限陣的單一激勵(lì)電流分布作為有限陣分析的宏基函數(shù)具有可行性。那么，如何求解無(wú)限陣的單一激勵(lì)電流分布，下面介紹一種陣列掃描法（Array Scanning Method，ASM）來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

1.2 陣列掃描法的基本原理

先考慮一個(gè)無(wú)限點(diǎn)源陣，設(shè)各點(diǎn)源沿x軸排列，點(diǎn)源間距為a，相鄰點(diǎn)源激勵(lì)的相位差恒定為ψ。該無(wú)限陣在單個(gè)激勵(lì)（只激勵(lì) 0x= 處的陣元）下產(chǎn)生的電流分布為：

該式即隱含著無(wú)限陣的單一激勵(lì)電流分布和均勻激勵(lì)電流分布的關(guān)系。進(jìn)一步地，對(duì)于一個(gè)一維無(wú)限陣，設(shè)其沿x軸排布，單元間距為a，陣列在只激勵(lì)陣元 0時(shí)產(chǎn)生的電流分布為 Js(x, y, z)，在均勻激勵(lì)（幅度相等，相位差恒定）下產(chǎn)生的電流分布為J∞(x, y, z )。為了便于表述，將其分別簡(jiǎn)記為 Js(x)和J∞(x)，則有：

式（4）中： Js(x - na)表示只激勵(lì)x = n a處陣元產(chǎn)生的電流分布；*表示卷積運(yùn)算。

由式（3）和式（4）可得：

對(duì)于均勻無(wú)限陣，各陣元的電磁環(huán)境相同，不需要逐元分析，通常取一個(gè)參考陣元進(jìn)行分析即可。這里將陣元 0作為參考陣元，設(shè)其位置為 x0，則，從而式（5）可進(jìn)一步表示為：

式（6）涉及到連續(xù)譜域積分，并不能直接求解，通常需要采用DFT形式的計(jì)算式（如式（7）所示），以求和代替積分其中，ψp= 2 πp/ N，N為譜域的離散采樣點(diǎn)數(shù)。

由式（5）—（7）可以看出，對(duì)于無(wú)限陣，其單一激勵(lì)電流分布可以看作其均勻激勵(lì)電流分布在譜域（ψ域）的平均。這就是陣列掃描法（Array Scanning Method，ASM）的基本原理[3-4]。

式（8）中：ψ為單元間的相移；Rn為場(chǎng)源的距離。

需要注意的是，式（8）具有無(wú)窮序列求和的形式，存在著收斂速度過(guò)慢的問(wèn)題。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，對(duì)其進(jìn)行 Levin-T[5]變換，以加快其收斂速度，進(jìn)一步提高整個(gè)算法的效率。

1.3 Levin-T變換加速周期格林函數(shù)的收斂

對(duì)于無(wú)窮序列 f(n)，設(shè)其前 n項(xiàng)和為 Sn，且當(dāng)n→∞時(shí)，nSG→。則Sn的Levin-T變換定義為：

式（9）中： tk(Sn)表示 Sn的第 k階 Levin-T變

Levin-T變換的一個(gè)最大優(yōu)點(diǎn)是，其可以由部分項(xiàng)求和推導(dǎo)得到無(wú)窮序列求和的收斂解。相比于其他加速周期性格林函數(shù)收斂的方法（如Shanks變換法），其避免了截?cái)嗾`差的累計(jì)，精確度更高。

1.4 有限陣列的互耦

前面簡(jiǎn)述了MBF方法和ASM方法的基本原理，并指出了一種新的宏基函數(shù)構(gòu)建思路，將其稱為ASM-MBF。下面將ASM-MBF方法分析有限陣列互耦特性的具體過(guò)程及期間的注意事項(xiàng)總結(jié)如下。

1）對(duì)譜域ψ進(jìn)行離散采樣，使用矩量法計(jì)算不同相移下的均勻激勵(lì)電流分布在這個(gè)過(guò)程中，需要用到Levin-T變換來(lái)對(duì)周期性格林函數(shù)進(jìn)行收斂加速。

2）從1）的計(jì)算結(jié)果中任取K個(gè)，構(gòu)成矩陣C，此時(shí)矩陣C不是良態(tài)的，并不能直接作為MBF函數(shù)矩陣，需要進(jìn)行正則化處理，可借助Matlab中的orth函數(shù)來(lái)完成。正則化后，所得矩陣即為MBF函數(shù)矩陣U，將U代入到式（6）中即可完成矩陣降階。

3）求解式（6）所示的降階矩陣方程，即可得到MBF電流系數(shù)，進(jìn)而得到陣列的電流分布。

4）在計(jì)算得到陣列的電流分布之后，可計(jì)算得到陣元間的互阻抗：

1.5 互耦補(bǔ)償

在不考慮互耦的情況下，傳統(tǒng)的陣列綜合問(wèn)題表示成如下形式的優(yōu)化問(wèn)題：

式（11）中：w為陣列的權(quán)矢量；s(θ)為陣列的導(dǎo)向矢量；Θ0為主瓣或者其他感興趣的區(qū)域；Θn為副瓣、零陷或者其他想要抑制的區(qū)域； d (θ)為期望的陣列響應(yīng)；? (θ)為控制的閾值；f(w)為代價(jià)函數(shù)，對(duì)于Chebyshev陣，由于其具有等副瓣特性，其代價(jià)

由于上述優(yōu)化模型缺乏對(duì)主瓣響應(yīng)的精確控制，為此添加主瓣幅度響應(yīng)約束條件：

式（12）中： L(θ)和 U (θ)為幅度響應(yīng)的上下界，為方便表述，將其簡(jiǎn)記為L(zhǎng)和U，L和U與主瓣的微擾量rdb有關(guān)；θl、θu為主瓣的邊界點(diǎn)。

式（12）左端的約束條件L(θ)≤ sH(θ)w是非凸的，無(wú)法進(jìn)行優(yōu)化求解。文獻(xiàn)[6]已證明，對(duì)于均勻線陣，可以利用特殊的因式分解技術(shù)，將該約束條件放寬為：

當(dāng)主瓣寬度要求不是很窄時(shí)，上述虛部約束條件可以不予考慮。從而得到在不考慮互耦的情況下，傳統(tǒng)陣列綜合問(wèn)題的優(yōu)化模型為：

其中mΘ為主瓣區(qū)域。

互耦會(huì)使陣列的導(dǎo)向矢量發(fā)生畸變?？紤]互耦的導(dǎo)向矢量為：

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，式中M可取為：

由于互耦矩陣 M并不能完全地反應(yīng)陣列的互耦情況，故上述修正方法不能完全補(bǔ)償互耦的影響。因此，又引入了一個(gè)誤差函數(shù)e，且e≤ε?？梢宰C明：

所以，互耦補(bǔ)償后的陣列綜合問(wèn)題可以寫為：

2 數(shù)值結(jié)果和討論

2.1 有效性驗(yàn)證

考慮一個(gè)半波振子陣列。陣元數(shù)為 30，單個(gè)振子長(zhǎng)15 cm，寬4 mm，計(jì)算波長(zhǎng)為30 cm，單元間距為15 cm，各單元接負(fù)載ZL=100 Ω。使用ASM方法計(jì)算得到的無(wú)限陣在單一激勵(lì)條件下各陣元的端口電流情況如圖1所示，此時(shí)只有5號(hào)陣元被激勵(lì)。

由圖1可以看出，單元離激勵(lì)陣元越遠(yuǎn)，其端口電流幅度就越低，直至趨于0。這說(shuō)明隨距離的增加，其他單元和激勵(lì)單元間的互耦逐漸減弱。

分別使用ASM-MBF和傳統(tǒng)的RWG-MOM計(jì)算30元對(duì)稱振子陣的表面電流誤差曲線如圖 2所示。其中橫軸為單元上MBF的個(gè)數(shù)，縱軸為誤差。誤差函數(shù)定義為：

圖1 無(wú)限陣在單一激勵(lì)下各陣元的端口電流情況Fig.1 Port current of infinite array elements under single excitation

式中：Ia、Ie分別為 ASM-MBF、RWG-MOM 方法的計(jì)算結(jié)果。

圖2 誤差曲線Fig.2 Error curve

由圖2可以看出，隨著MBF的個(gè)數(shù)增加，兩種方法計(jì)算結(jié)果的誤差逐漸降低。當(dāng)單元上的MBF的個(gè)數(shù)為4的時(shí)候，兩種方法的誤差已經(jīng)低至-140 dB。此時(shí)，ASM-MBF方法的未知數(shù)總數(shù)為 120，而 RWGMOM的未知數(shù)總數(shù)為2370，兩者相差了1～2個(gè)數(shù)量級(jí)?？梢?jiàn)，ASM-MBF能夠在保證精度的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)矩陣降階。

用 ASM-MBF方法計(jì)算得到的 30元半波振子陣列部分陣元的內(nèi)嵌方向圖見(jiàn)圖 3?？梢钥闯?，由于互耦的影響，各陣元在H面已不再具有全向輻射特性。

2.2 互耦補(bǔ)償效果驗(yàn)證

考慮一個(gè) 17元對(duì)稱振子陣列，計(jì)算頻率設(shè)為75 MHz，振子長(zhǎng)度為/2λ，半徑為0.001λ，單元間距設(shè)為d，各單元均接50 Ω參考負(fù)載?，F(xiàn)在對(duì)該陣列進(jìn)行Chebyshev綜合，要求主瓣指向θm=0°，主瓣寬度為 20°。設(shè)主瓣的微擾量 rdb=2 dB，則上界。不同間距時(shí)，理想情況、互耦影響下、互耦補(bǔ)償后3種情況下的方向圖對(duì)比如圖4所示。

圖3 30元陣部分陣元的內(nèi)嵌方向圖Fig.3 Embedded pattern of some elements in 30-element array

圖4 不同間距情況下三種方向圖對(duì)比Fig.4 Comparison of three patterns at different spacing

由圖4可以看出，理論上，Chebyshev陣在主瓣寬度一定的情況下，其不僅擁有等副瓣特性，而且其副瓣電平應(yīng)該最低；實(shí)際上，由于單元間互耦的影響，方向圖的副瓣不僅抬高，而且已經(jīng)失去了等副瓣性質(zhì)。離主瓣越遠(yuǎn)的副瓣，抬高的幅度越大。對(duì)比圖4a、b可知，間距越小，互耦的影響越大，當(dāng)間距0.35dλ=時(shí)，未補(bǔ)償情況下的最高副瓣電平已快接近-15 dB以上。在兩種情況下，所使用的互耦補(bǔ)償方法均取得優(yōu)良的補(bǔ)償效果，尤其在間距較小，互耦的影響較大時(shí)，補(bǔ)償后的方向圖已十分接近理想情況。單元間距0.45dλ=，主瓣寬度設(shè)為20°時(shí)，不同掃描角度下，三種情況下的方向圖對(duì)比如圖 5所示?？梢钥闯?，不同掃描角度下，互耦的影響也有大有小，各不相同，都取得了較好的補(bǔ)償效果。

圖5 不同掃描角度下的方向圖Fig.5 Pattern under different scanning angles

上述仿真都沒(méi)有考慮零陷。事實(shí)上，互耦對(duì)零陷的影響也很大。同樣對(duì)于此17元陣，單元間距固定為0.5λ，主瓣指向θm=0°，主瓣寬度設(shè)為20°?，F(xiàn)要求在θnull處產(chǎn)生零陷，且零陷深度要達(dá)到-60 dB。

不同零陷角度、零陷個(gè)數(shù)情況下的方向圖對(duì)比如圖6所示?？梢钥闯?，由于互耦的影響，未補(bǔ)償?shù)姆较驁D的零陷會(huì)變淺，甚至消失。在不同情況下，補(bǔ)償后的陣列綜合模型依然能夠產(chǎn)生深零陷。由于產(chǎn)生的零陷較深，補(bǔ)償后方向圖的副瓣電平相對(duì)抬高得較多，即存在一定的性能損失。

圖6 不同零陷情況下的方向圖對(duì)比Fig.6 Comparison of patterns under different null: a) single null; b) multiple null; c) wide null

3 結(jié)語(yǔ)

ASM-MBF方法結(jié)合宏基函數(shù)思想和無(wú)限陣列近似思想，能夠在保證精度的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)矩陣的降階，可用于陣元數(shù)目較多情況下陣列互耦分析。使用ASM-MBF方法計(jì)算得到互阻抗矩陣，可對(duì)傳統(tǒng)的不考慮單元間互耦的陣列綜合問(wèn)題進(jìn)行有效補(bǔ)償。