新的具有寬參數(shù)范圍的五維保守超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)研究*

張澤峰 黃麗蓮 項建弘 劉帥

1) (哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

2) (哈爾濱工程大學(xué),先進船舶通信與信息技術(shù)工業(yè)和信息化部重點實驗室,哈爾濱 150001)

保守系統(tǒng)因為沒有吸引子,與常見的耗散系統(tǒng)相比,它的遍歷性更好,偽隨機性更強,安全性更高,更適合應(yīng)用于混沌保密通信等領(lǐng)域.基于此,設(shè)計了一個新的具有寬參數(shù)范圍的五維保守超混沌系統(tǒng).首先,進行Hamilton 能量和Casimir 能量分析,證明了新系統(tǒng)滿足 Hamilton 能量保守且能夠產(chǎn)生混沌.然后進行動力學(xué)分析,包括保守性證明、平衡點分析、Lyapunov 指數(shù)譜和分岔圖分析,證明了新系統(tǒng)具有保守系統(tǒng)的特點,且能夠在寬參數(shù)范圍內(nèi)一直保持超混沌狀態(tài),同時對比寬參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)的相圖和Poincaré 截面圖,結(jié)果表明隨著參數(shù)增大,系統(tǒng)的隨機性和遍歷性得到增強.接著,對新系統(tǒng)進行 NIST 測試,結(jié)果顯示該系統(tǒng)在寬參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生的混沌隨機序列具有很強的偽隨機性.最后對保守超混沌系統(tǒng)進行電路仿真和硬件電路實驗,實驗結(jié)果證實了新系統(tǒng)具有良好的遍歷性和可實現(xiàn)性.

1 引言

混沌系統(tǒng)具有遍歷性、偽隨機性和初始敏感性等典型特征,這些特征使混沌理論在混沌保密通信等多領(lǐng)域中具有重要的應(yīng)用價值[1].從1963 年Lorenz[2]提出第一個混沌系統(tǒng)開始,新的系統(tǒng)不斷被提出,如Sprott 系統(tǒng)[3]、Chen 系統(tǒng)[4]、Lü系統(tǒng)[5]等,這些系統(tǒng)大多數(shù)是耗散系統(tǒng).但是混沌系統(tǒng)的豐富特性,不僅僅只存在于耗散系統(tǒng)中[6-8],還應(yīng)該包括保守系統(tǒng)和量子系統(tǒng)[9,10].

與耗散系統(tǒng)相比,保守系統(tǒng)的相體積恒定,不存在吸引子,系統(tǒng)維數(shù)為整數(shù)維,遍歷性更好,偽隨機性更強,安全性更高[11],因而保守混沌系統(tǒng)逐漸引起學(xué)者們的注意.2015 年Vaidyanathan和Volos[12]構(gòu)造了一個三維無平衡點的保守混沌系統(tǒng),2017 年Cang 等[13]構(gòu)造了兩個保守混沌系統(tǒng)并進行了電路仿真.2018 年Qi[11]通過構(gòu)建四維歐拉方程提出6 個不同的四維Hamilton 保守混沌系統(tǒng),為構(gòu)建保守混沌系統(tǒng)提供了新的思路.2019 年Dong 等[14]提出一類新的具有多穩(wěn)定性的Hamilton保守混沌系統(tǒng),并設(shè)計和開發(fā)了偽隨機數(shù)信號發(fā)生器,證明了保守混沌系統(tǒng)的應(yīng)用前景.2020 年Gu等[15]提出一個新的四維非Hamilton 保守超混沌系統(tǒng),并對其動力學(xué)特性進行了詳細分析.2021 年Chen 等[16]提出了一個二維非自治保守系統(tǒng)并在積分域上進行了重構(gòu),使保守運動有了更充分的解釋.

在工程應(yīng)用中,如果有一類混沌系統(tǒng)能夠隨著某個參數(shù)變化,在更寬的范圍內(nèi)一直保持混沌狀態(tài),那么這類系統(tǒng)在保密通信[17]、密碼學(xué)[18]、混沌控制[19]等領(lǐng)域中將更有優(yōu)勢.2007 年Barboza[20]提出一個線性擴展的四維Lorenz 系統(tǒng),并證明了該系統(tǒng)在寬范圍下是超混沌的.2009 年Jia 等[21]提出一個大范圍超混沌系統(tǒng)并用模擬電路驗證了系統(tǒng)的復(fù)雜性.2013 年Liu和Zhang[22]提出一個寬參數(shù)范圍的雙渦卷混沌系統(tǒng).2018 年Xian 等[23]提出一個大范圍參數(shù)下具有共存吸引子的混沌系統(tǒng),并用模擬電路和FPGA 驗證了系統(tǒng)的混沌特性.2019 年Xu 等[19]提出一個超大范圍混沌系統(tǒng)并進行了自適應(yīng)滑?？刂?同年,Xu和Li[24]又構(gòu)建了一個具有共存混沌吸引子的超大范圍參數(shù)混沌系統(tǒng).

以上研究都是關(guān)于寬參數(shù)范圍耗散混沌系統(tǒng)的,對于寬參數(shù)范圍保守混沌系統(tǒng)卻鮮有報道.2011 年Sprott[25]提出三條標(biāo)準(zhǔn),新構(gòu)建的混沌系統(tǒng)應(yīng)該至少符合其中的一條.對比近些年關(guān)于保守混沌系統(tǒng)的文獻[11-16]發(fā)現(xiàn),尚未有學(xué)者專門針對寬參數(shù)范圍的保守混沌系統(tǒng)進行研究.文獻[15]雖然提到系統(tǒng)的混沌區(qū)域具有較大的參數(shù)空間,但是并沒有進行更深入的研究.因此,本文基于五維歐拉方程構(gòu)造了一個新的具有寬參數(shù)范圍的五維保守超混沌系統(tǒng),它符合Sprott 提出的第二條標(biāo)準(zhǔn)“系統(tǒng)應(yīng)該表現(xiàn)出一些以前沒有觀察到的行為”.新系統(tǒng)滿足Hamilton 能量保守和相體積保守,具有保守系統(tǒng)特有的中心平衡點,只有混沌軌道而不存在吸引子,并且可以在寬參數(shù)范圍內(nèi)一直保持超混沌狀態(tài)和良好的遍歷性.同時還對新系統(tǒng)在寬參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生的混沌隨機序列進行了NIST 測試,測試結(jié)果表明序列的偽隨機性良好,基于新系統(tǒng)設(shè)計偽隨機數(shù)發(fā)生器是可行的.最后對新系統(tǒng)進行了硬件電路設(shè)計與實現(xiàn),實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果一致,證實了系統(tǒng)是無吸引子和具有優(yōu)越遍歷性的保守超混沌系統(tǒng),同時也是可實現(xiàn)的.

2 系統(tǒng)模型

2.1 五維歐拉方程的建模

本文參考文獻[26]的方法,將子剛體S123和S145耦合共軸于軸1 得到五維剛體Σ1,它的五維歐拉方程的Hamilton 向量場形式可以描述為

因為J1(x)是斜對稱矩陣,所以系統(tǒng)Σ1的Hamilton 能量和Casimir 能量都是保守的.

證明1系統(tǒng)Σ1Hamilton 能量保守.

能量的變化可以通過Hamilton 函數(shù)H(x) 關(guān)于時間的微分表示,因為J1(x) 是斜對稱矩陣,可得

所以系統(tǒng)Σ1滿足Hamilton 能量保守.

證明2系統(tǒng)Σ1Casimir 能量保守.

Casimir 能量是剛體動力學(xué)中一個重要的物理量.Casimir 能量的變化率稱為Casimir 功率,它反映了一個系統(tǒng)供應(yīng)能量和消耗能量的功率差.當(dāng)外部轉(zhuǎn)矩和耗散轉(zhuǎn)矩不存在時,即≡0和C/=0,Casimir 能量是保守的.定義Casimir 函數(shù)為

(6)式滿足Lie-Poisson 括號,={C,H}=0,?H ∈C∞(g*).

對于系統(tǒng)Σ1,可得

所以系統(tǒng)Σ1滿足Casimir 能量保守.

由上述分析可知,本節(jié)構(gòu)造的五維歐拉方程滿足Hamilton 能量和Casimir 能量雙保守,從而不會產(chǎn)生混沌,但可以為下一步構(gòu)造Hamilton 保守超混沌系統(tǒng)提供框架.

2.2 Hamilton 保守超混沌系統(tǒng)的建模

為了產(chǎn)生混沌,必須破壞系統(tǒng)Σ1Hamilton能量和Casimir 能量的雙保守.因為要構(gòu)造的系統(tǒng)滿足Hamilton 能量保守,所以可以通過在J1(x)中引入常數(shù)來破壞系統(tǒng)Σ1的Casimir 能量保守,使Casimir 功率進行無規(guī)則振蕩,從而為產(chǎn)生混沌創(chuàng)造條件.

2.3 能量分析與數(shù)值驗證

設(shè)置 (Π1,Π2,Π3,Π4,Π5)=(3,2,4,5,8),初始值為 (0.5,0.1,0.5,0.1,0.5),當(dāng)a=b=c=0 時,系統(tǒng)是五維歐拉方程對應(yīng)的系統(tǒng)Σ1,此時Hamilton 能量和Casimir 能量都是保守的,系統(tǒng)Σ1只能產(chǎn)生周期軌道,它的時域波形和Casimir 功率都在有規(guī)則地振蕩,如圖1(a)和圖1(b)中的紅色曲線所示.當(dāng) (a,b,c)=(0.5,0.4,0.2)時,系統(tǒng)Σ1變?yōu)橄到y(tǒng),Hamilton 能量仍然是保守的,但是Casimir 功率開始不規(guī)則的振蕩,Casimir 能量的保守狀態(tài)最終被打破,為系統(tǒng)產(chǎn)生混沌創(chuàng)造了條件.圖1(a)和圖1(b)的藍色曲線分別表示系統(tǒng)的時域波形和Casimir 功率,可以看出曲線的變化是隨機的.圖1(c)和圖1(d)分別給出了兩個系統(tǒng)在三維平面和二維平面下產(chǎn)生的相圖,紅色曲線表示系統(tǒng)Σ1產(chǎn)生的周期軌道,藍色曲線表示系統(tǒng)產(chǎn)生的混亂軌道.數(shù)值仿真的結(jié)果驗證了2.1節(jié)和2.2節(jié)理論分析的正確性.

圖1 數(shù)值仿真,紅色部分為系統(tǒng) Σ1,藍色部分為系統(tǒng) (a)時域波形;(b)Casimir 功率;(c) x1-x4-x5 相圖;(d) x1-x4相圖Fig.1.Numerical simulation,the red part is system Σ1,the blue part is system :(a) Time domain waveforms;(b) Casimir power;(c) x1-x4-x5 plane;(d) x1-x4plane.

3 動力學(xué)分析

3.1 保守性

3.2 平衡點

設(shè)置(10)式中

令fi(λ)=0,i=1,2,3,4,可以得到對應(yīng)的特征值.表1列出了部分特征值和對應(yīng)的平衡點類型,從中可以看出,平衡點 (0,0,0,0,0)對應(yīng)的特征值是(0,jω1,-jω1,jω2,-jω2),由0和純虛數(shù)組成,可以判定(0,0,0,0,0)是中心平衡點,滿足保守系統(tǒng)的特點.事實上因為系統(tǒng)是Hamilton 保守系統(tǒng),不能漸進的到達平衡點,所以系統(tǒng)中只存在中心和鞍型平衡點[27],表1也驗證了這一點.

表1 系統(tǒng) 的平衡點和特征值Table 1.Equilibrium points and characteristic values of system .

表1 系統(tǒng) 的平衡點和特征值Table 1.Equilibrium points and characteristic values of system .

3.3 寬參數(shù)范圍的Lyapunov 指數(shù)譜和分岔圖

當(dāng)全局只有一個Lyapunov 指數(shù)為正時,系統(tǒng)定義為混沌系統(tǒng).當(dāng)有超過一個正的Lyapunov 指數(shù)時,系統(tǒng)定義為超混沌系統(tǒng)[28].此外,保守系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)是關(guān)于零對稱的,因此所有Lyapunov 指數(shù)之和為零,這意味著整個相空間體積是守恒的.

對于系統(tǒng),設(shè)置參數(shù)(Π1,Π2,Π3,Π4,Π5,a,b,c)=(3,2,4,5,8,0.5,0.4,0.2),初值(0.5,0.1,0.5,0.1,0.5).計算Lyapunov 指數(shù)的方法有很多,本文選擇Jacobi 矩陣法求Lyapunov 指數(shù)[29,30].圖2(a)是系統(tǒng)隨著參數(shù)Π2變化的Lyapunov 指數(shù)譜,圖中有6 條曲線,其中紅色曲線表示Lyapunov指數(shù)之和,與x軸完全重合,恒等于零,再次證明系統(tǒng)是保守的.其余5 條曲線從大到小記為L1＞L2＞0,L3≈0,0＞L4＞L5,滿足超混沌系統(tǒng)的條件,系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng).圖2(b)是對應(yīng)的分岔圖,沒有出現(xiàn)分岔現(xiàn)象,只有1 條由無數(shù)點連成的粗線,符合超混沌狀態(tài)的特性,同時還可以看出系統(tǒng)幾乎是瞬間進入超混沌狀態(tài)且能夠一直保持,與Lyapunov 指數(shù)譜相符.Lyapunov 指數(shù)譜和分岔圖還有一個特點是橫坐標(biāo)Π2∈[0,1600],具有很寬的參數(shù)范圍,說明系統(tǒng)是具有寬參數(shù)范圍的Hamilton 保守超混沌系統(tǒng).

圖2 數(shù)值仿真 (a)系統(tǒng) 的Lyapunov 指數(shù)譜;(b)系統(tǒng) 的分岔圖Fig.2.Numerical simulation:(a) Lyapunov exponent spectrum of system ;(b) bifurcation diagram of system Σ1H.

3.4 參數(shù) Π2對系統(tǒng) 的影響

寬參數(shù)范圍的混沌系統(tǒng)最顯著的優(yōu)勢就是混沌狀態(tài)可以任由參數(shù)在寬范圍內(nèi)改變而一直保持.我們利用相圖和Poincaré截面圖分析參數(shù)Π2在[0,1600]變化時對系統(tǒng)的影響.仿真參數(shù)調(diào)為一致,設(shè)置參數(shù)(Π1,Π3,Π4,Π5,a,b,c)=(3,4,5,8,0.5,0.4,0.2),初值 (0.5,0.1,0.5,0.1,0.5),選取Π2=2,500,1000,1500時的四種情況,系統(tǒng)的相圖和Poincaré截面圖如圖3所示.左側(cè)是Π2取不同值時在x3-x4平面上的相圖,隨著Π2的增大,混沌軌道越來越密集.右側(cè)是對應(yīng)的Poincaré截面圖,可以看出4 個截面上都有大量的面狀點,結(jié)合3.3節(jié)的分析,說明系統(tǒng)始終處于超混沌狀態(tài).通過右側(cè)4 張圖對比,還可以發(fā)現(xiàn)隨著Π2的增大,點組成的面的范圍也在變大,這說明系統(tǒng)不僅可以在大范圍內(nèi)保持超混沌狀態(tài),而且隨機性和遍歷性也都在增強.

值得一提的是,保守系統(tǒng)因為相體積守恒,它的運動軌道永遠不會吸引附近的軌跡,所以沒有吸引子[27],圖3和圖4的相圖可以很好地說明這一點.從圖上還可以看出混沌軌道填滿了大部分平面,證明了保守超混沌系統(tǒng)的遍歷性良好.

圖3 系統(tǒng) 的相圖和Poincaré截面圖 (a) Π2=2時的相圖;(b) Π2=2時 的Poincaré截面圖;(c) Π2=500時的相圖;(d) Π2=500時 的Poincaré截面圖;(e) Π2=1000時的相圖;(f) Π2=1000時 的Poincaré截面圖;(g) Π2=1500時的相圖;(h) Π2=1500 時的Poincaré截面圖Fig.3.Phase diagrams and Poincaré maps of system :(a) The phase diagram when Π2=2;(b) the Poincaré map when Π2=2 ;(c) the phase diagram when Π2=500;(d) the Poincaré map when Π2=500;(e) the phase diagram when Π2=1000 ;(f) the Poincaré map when Π2=1000;(g) the phase diagram when Π2=1500;(h) the Poincaré map when Π2=1500.

圖4 系統(tǒng)在Π2=2的相圖(a)x2-x5平面;(b) x3-x5平面Fig.4.Phase diagrams of system when Π2=2:(a) x2-x5plane;(b) x3-x5plane.

4 NIST 測試和電路實現(xiàn)

4.1 NIST 測試

為了證明本文設(shè)計的保守超混沌系統(tǒng)在寬參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生的混沌隨機序列具有偽隨機性,我們采用美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)局推出的STS測試包,即SP800-22 標(biāo)準(zhǔn)驗證[31].它的測試項目全面,測試軟件成熟,測試結(jié)果認(rèn)可度高.NIST 總共設(shè)定了15 個測試項檢驗真隨機序列或偽隨機序列的質(zhì)量,每一項測試都會得到1 個P-value.對于測試結(jié)果采用兩種方法判斷:1)檢驗通過統(tǒng)計檢驗的序列比例;2)檢驗P-values 的分布是否均勻.

1)對于系統(tǒng),選擇默認(rèn)顯著性水平α=0.01,P-value 大于0.01 表示通過該項測試,同時考慮m組測試序列中P-values 大于0.01 的比率,以是否落在置信區(qū)間為準(zhǔn).置信區(qū)間為

表2 系統(tǒng) 的NIST 測試結(jié)果Table 2.NIST test results of System .

表2 系統(tǒng) 的NIST 測試結(jié)果Table 2.NIST test results of System .

2)檢查P-values 分布以確保均勻性,通常我們可以使用直方圖來直觀的表示,將0和1 的區(qū)間分成10 個等間距的子區(qū)間,P-values 分布在每個子區(qū)間的數(shù)量被顯示.為充分體現(xiàn)P-values 分布的均勻性,選取測試次數(shù)最多的非重疊模塊匹配檢驗進行直方圖驗證,如圖5所示,可以看到Pvalues 分布具有很好的均勻性.其他14 項也都有類似的分布,證明了P-values 分布均勻.

圖5 系統(tǒng) 非重疊模塊匹配檢驗的P-values 的直方圖Fig.5.P-values histogram of non-overlapping template matching test of system .

4.2 電路設(shè)計與實現(xiàn)

根據(jù)文獻[32]提出的基于無量綱狀態(tài)方程的模塊化設(shè)計方法進行混沌電路設(shè)計,采用不同阻值的線性電阻、線性電容、乘法器和運算放大器實現(xiàn).將參數(shù)(Π1,Π2,Π3,Π4,Π5,a,b,c)=(3,2,4,5,8,0.5,0.4,0.2)代入(10)式中,得:

根據(jù)(17)式做模塊化電路設(shè)計,如圖6所示.

圖6 系統(tǒng) 的電路設(shè)計Fig.6.Circuit design of system .

對應(yīng)的電路狀態(tài)方程為

首先使用仿真軟件進行電路模擬,設(shè)置電容C1=C2=C3=C4=C5=20 nF,電阻R4=R9=R13=R17=R22=50 kΩ,R3=R8=R12=R16=R21=100 kΩ.考慮到狀態(tài)變量在正常變化范圍內(nèi),故不需要對變量進行比例壓縮變換.時間尺度變換因子為100,同時模擬乘法器輸出比例系數(shù)選擇100 mV/1 V.通過對比(17)式和(18)式的系數(shù),得到R1=50 kΩ,R2=33.3 kΩ,R5=100 kΩ,R6=500 kΩ,R7=625 kΩ,R10=100 kΩ,R11=250 kΩ,R14=20 kΩ,R15=1250 kΩ,R18=50 kΩ,R19=2500 kΩ,R20=500 kΩ.設(shè)置5 個電容的初始電壓分別為0.5,0.1,0.5,0.1,0.5 V,與混沌系統(tǒng)的初始值 (0.5,0.1,0.5,0.1,0.5) 對應(yīng).供電電壓選擇±15 V,使用Multisim 軟件進行電路模擬.仿真結(jié)果如圖7所示,與圖4的實驗結(jié)果一致,證明了系統(tǒng)是沒有吸引子,具有優(yōu)越遍歷性的保守超混沌系統(tǒng).

圖7 系統(tǒng) 的仿真電 路 (a) x2-x5相圖;(b) x3-x5相 圖Fig.7.Simulation circuit of system:(a) x2-x5plane;(b) x3-x5plane.

接下來進行硬件電路設(shè)計,乘法器選擇AD633JN,運算放大器選擇TL082CP,硬件實驗電路如圖8(a)所示.結(jié)合參數(shù)取值和實際元件參數(shù)限制,同時盡可能的考慮實際電路中可能遇到的問題,設(shè)置電容C1=C2=C3=C4=C5=1 nF,電阻R4=R9=R13=R17=R22=100 kΩ,R3=R8=R12=R16=R21=1 kΩ.另外對比系數(shù),選取R1=100 kΩ,R2=66.7 kΩ,R5=200 kΩ,R6=5 kΩ,R7=6.25 kΩ,R10=200 kΩ,R11=2.5 kΩ,R14=40 kΩ,R15=12.5 kΩ,R18=100 kΩ,R19=25 kΩ,R20=5 kΩ.反相器部分的電阻都是 100 kΩ,模擬乘法器輸出比例系數(shù)選擇 1V/1 V.供電電壓為±15 V,由EM1716 A 直流穩(wěn)壓電源提供.利用VOS-620 B 雙蹤示波器觀察結(jié)果,如圖8(b)所示.實驗結(jié)果驗證了系統(tǒng)的可實現(xiàn)性,為以后的應(yīng)用提供了一定的參考價值.

圖8 系統(tǒng) 的實際電路 (a)硬件實驗電路;(b)實驗結(jié)果Fig.8.Actual circuit of system :(a) Hardware experimental circuit;(b) experimental result.

5 結(jié)論

本文基于五維歐拉方程提出了一個新的具有寬參數(shù)范圍的五維保守超混沌系統(tǒng).首先進行了能量分析,包括Hamilton 能量和Casimir 能量,證實了新系統(tǒng)是Hamilton 能量保守且能夠產(chǎn)生混沌.然后分析了動力學(xué)特性,包括散度、平衡點、Lyapunov 指數(shù)譜和分岔圖,說明了新系統(tǒng)是具有寬參數(shù)范圍的保守超混沌系統(tǒng).分析參數(shù)對系統(tǒng)的影響則進一步闡述了新系統(tǒng)寬參數(shù)范圍的特性,系統(tǒng)的超混沌狀態(tài)可以在參數(shù)改變時保持不變,并且隨著參數(shù)增大,系統(tǒng)的遍歷性和隨機性也在增強.接著進行的NIST 測試說明新系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌隨機序列具有良好的偽隨機性,基于新系統(tǒng)設(shè)計偽隨機數(shù)發(fā)生器是可行的.最后,電路仿真實驗和硬件電路實驗的結(jié)果表明新系統(tǒng)具有優(yōu)越的遍歷性和物理可實現(xiàn)性.本文深入分析了新提出的具有寬參數(shù)范圍的五維保守超混沌系統(tǒng),這對于推動研究保守超混沌系統(tǒng)有著積極的影響,為進一步將保守超混沌系統(tǒng)應(yīng)用于保密通信等領(lǐng)域提供了理論支撐.

感謝天津工業(yè)大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院胡建兵博士給予的討論.