考慮非正定相關(guān)性的改進(jìn)LHS 概率潮流計算方法

趙亦嵐，陳 攀，周阮凱，羅 平，董雨軒

（1.杭州市電力設(shè)計院有限公司，杭州 310004；2.杭州電子科技大學(xué) 自動化學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

MCS（蒙特卡洛模擬法）由于具有較高的準(zhǔn)確度，其計算結(jié)果常作為概率潮流計算的參考值。但由于SRS-MCS（基于簡單隨機(jī)抽樣的蒙特卡洛模擬法）需要大量的采樣樣本才能保證計算的精確度，使得計算時間較長。因此很多學(xué)者將改進(jìn)的采樣方法用于基于MCS 的概率潮流計算中[1-4]。其中LHS（拉丁超立方采樣）作為一種多維分層采樣方法[5]，能大大減小采樣規(guī)模、縮短采樣時間，但當(dāng)采樣變量維數(shù)增加時，其空間均勻性略顯不足。為此，文獻(xiàn)[6-7]提出了基于改進(jìn)最小最大距離準(zhǔn)則來優(yōu)化LHS 方法以得到更具代表性的樣本點。此外，隨著分布式能源的廣泛應(yīng)用，為了得到準(zhǔn)確的概率潮流結(jié)果就必須考慮它們之間的相關(guān)性[8-9]。文獻(xiàn)[10]運用Cholesky 分解將輸入變量表示為不相關(guān)的變量組合以供半不變量法計算潮流結(jié)果。文獻(xiàn)[11]先由LHS 結(jié)合Nataf 變換生成具有相關(guān)性的隨機(jī)序列，再由半不變量法線性化潮流方程得出潮流計算結(jié)果。

但是隨著電網(wǎng)中分布式電源滲透率的提高，以及隨機(jī)輸入變量數(shù)量的增加，相關(guān)性矩陣往往為非正定矩陣[11]，此時上述獲得相關(guān)性樣本矩陣的方法不再適用，需要對相關(guān)性矩陣進(jìn)行修正。相關(guān)性矩陣的非正定修正問題最早出現(xiàn)在金融與風(fēng)險管理中[12]，目前在概率潮流計算常用的方法有改進(jìn)排序變換法，如正定譜分解[13]、奇異值分解[14]和智能優(yōu)化算法（遺傳算法[14-15]、隨機(jī)行走法[16]）等。改進(jìn)排序變換法修正后的矩陣與原矩陣有一定誤差，而智能算法得到的結(jié)果雖然誤差較小但所需修正時間較長，尤其在相關(guān)矩陣維度很大的情況下，其計算過程較為繁瑣。

因此，本文提出一種NDC-ILHS（考慮非正定相關(guān)性的改進(jìn)LHS）概率潮流計算方法。此方法提高了LHS 采樣樣本的均勻性，并能有效處理概率潮流計算中由于高滲透率分布式電源引起的隨機(jī)變量間非正定相關(guān)情況。為了驗證NDCILHS 的有效性，利用其對改進(jìn)的IEEE 30 與IEEE 118 節(jié)點算例進(jìn)行計算，并將計算結(jié)果與MCILHS（基于修正相關(guān)系數(shù)矩陣的改進(jìn)LHS）[13]和SRS-MCS 這兩種方法的結(jié)果進(jìn)行了對比分析。

1 改進(jìn)的LHS

針對LHS 在高維隨機(jī)變量采樣中均勻性略顯不足的問題，本文提出一種改進(jìn)的LHS，該方法以使中心化離差度準(zhǔn)則CL2[17]最小作為優(yōu)化目標(biāo)，采用隨機(jī)列交換算法對其求解。具體目標(biāo)函數(shù)為：

式中：n 為樣本矩陣維度；N 為采樣規(guī)模；rim為樣本矩陣中元素。CL2作為衡量樣本點在維變量分布空間內(nèi)離散程度，其值越小則表明樣本分布越均勻。

隨機(jī)列交換算法的思想是通過對不同父代矩陣中相同變量的樣本進(jìn)行交換，在盡可能保持采樣矩陣結(jié)構(gòu)特性的前提下更新采樣矩陣。同時，為了保證樣本矩陣集的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)，本文借鑒遺傳算法的思想，以一定的概率對采樣矩陣進(jìn)行變異。改進(jìn)的LHS 的具體流程如下：

（1）隨機(jī)生成Npop個采樣規(guī)模為N 的LHS 采樣矩陣組成的樣本矩陣集。

（2）在樣本矩陣集中選取Npop/2 個CL2值最小的LHS 矩陣作為第k 代父代矩陣，選其中CL2值最小的父代矩陣為父最佳矩陣，其CL2值記作Gjk。

（3）對除了父最佳矩陣外的其他的父代矩陣進(jìn)行變異操作，即對矩陣中每一行任意兩元素都都以一定概率互換位置。

（4）父最佳矩陣逐一與其余父代矩陣分別進(jìn)行隨機(jī)列交換，最終得到Npop個LHS 矩陣組成的子代。

（5）稱新樣本矩陣集中CL2值最小的矩陣為子最佳矩陣，其CL2值為Gsk。若Gsk-Gjk＞0，則流程結(jié)束，父最佳矩陣即為最終采樣矩陣，否則k=k+1 并轉(zhuǎn)到步驟（2）。

2 相關(guān)性非正定修正方法

文獻(xiàn)[18]提出一種CGM（逐列迭代梯度法），它通過逐列最小化目標(biāo)函數(shù)得到最接近原相關(guān)系數(shù)矩陣的正定矩陣。由于其對目標(biāo)函數(shù)的多個變量進(jìn)行尋優(yōu)，并且對非正定矩陣進(jìn)行逐列迭代分析，導(dǎo)致耗費時間過長。因此，本文提出一種改進(jìn)的AGM（迭代梯度法），將相關(guān)系數(shù)矩陣處理成一個變量，只需對單變量進(jìn)行尋優(yōu)，并利用Armijo準(zhǔn)則[19]確定動態(tài)步長，因此可快速處理概率潮流計算中相關(guān)系數(shù)矩陣為非正定的情況。

設(shè)矩陣C′為經(jīng)AGM 修正后的相關(guān)矩陣，為n 維矩陣。為了方便迭代修正，由C=BBT分解為矩陣B，以使修正后的相關(guān)矩陣盡可能接近于初始相關(guān)矩陣為目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)為：

式中：C 為目標(biāo)非正定矩陣。

為了減少修正過程的迭代次數(shù)以提高計算效率，矩陣B 初始值應(yīng)該使BBT接近于C。設(shè)為矩陣C 所有非對角項的平均值，它可計算得出：

式中：cij為矩陣C 第i 行j 列元素。

矩陣B 的初始值B1是對矩陣C1進(jìn)行Cholesky分解得到的，其中矩陣C1為：

AGM 的具體步驟如下：

（1）設(shè)k=1，由式（4）計算矩陣Bk和誤差rk=

（2）計算目標(biāo)函數(shù)的梯度為：

（3）確定動態(tài)步長參數(shù)θk為：

式中：τ 為步長因子，通常設(shè)為0.5；m 為控制步長收斂的值，初始值為1。

（4）由梯度修正計算下次迭代的矩陣：

3 基于NDC-ILHS 的概率潮流計算

基于NDC-ILHS 的概率潮流計算流程如圖1所示，具體步驟如下：

圖1 NDC-ILHS 計算流程

（1）獲得電網(wǎng)的初始數(shù)據(jù)，如風(fēng)、光等隨機(jī)變量X 各自服從概率分布參數(shù)以及各變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣C 等。

（2）判斷相關(guān)系數(shù)矩陣是否為非正定矩陣，若為非正定矩陣，則采用AGM 對其進(jìn)行修正，得到修正后的相關(guān)矩陣C′；若為正定矩陣，則C′=C。

（3）對輸入隨機(jī)變量X 進(jìn)行改進(jìn)的LHS 采樣，采樣規(guī)模為N，得到初始采樣矩陣R。

（4）對初始采樣矩陣R 經(jīng)過Cholesky 分解獲得滿足相關(guān)矩陣C′的輸入隨機(jī)變量樣本矩陣R′。

（5）將樣本矩陣R′中N 個數(shù)據(jù)樣本分別代入網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行確定性潮流計算，獲得輸出變量樣本矩陣。統(tǒng)計輸出矩陣樣本的數(shù)字特征，獲得如節(jié)點電壓與支路功率等輸出變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)及其服從的概率分布。

4 算例分析

4.1 相關(guān)性修正方法分析

為了驗證AGM 對非正定相關(guān)矩陣修正的性能，將AGM 與PDSD（正定譜分解）[13]以及CGM得到的結(jié)果進(jìn)行比較分析。定義精確度誤差為：

式中：n 為矩陣維度；C′為修正后的正定相關(guān)矩陣；C 為待修正的非正定相關(guān)矩陣。

隨機(jī)產(chǎn)生不同維度的非正定相關(guān)矩陣，在輸入隨機(jī)變量間相關(guān)系數(shù)都為正的情況下，利用3種方法分別對其進(jìn)行修正，所需的時長和相應(yīng)的誤差如表1 與表2 所示。

表1 3 種方法修正非正定矩陣所耗時長比較

表2 3 種方法修正后相關(guān)矩陣與原矩陣誤差ερ 比較 %

從表1 可以看出，在同樣的矩陣維度下，AGM 計算所需時間少于CGM 與PDSD，在矩陣維度超過300 時AGM 的速度優(yōu)勢更加明顯。以修正維度為500 的隨機(jī)非正定矩陣為例，PDSD與CGM 各需7.692 8 s 與1.096 3 s，而AGM 僅需0.979 6 s。

在計算精度方面，由表2 可得，隨著矩陣維度的增加，PDSD 的誤差上漲幅度逐漸增大?？梢钥闯鲈谔幚砀呔S度相關(guān)矩陣問題上，AGM 比PDSD 更加準(zhǔn)確。當(dāng)矩陣維度為500 時，AGM 的精確度較PDSD 提升了32.5%；AGM 與CGM 的誤差相比，兩者相差不大，AGM 略小。

實際中隨著風(fēng)光等分布式電源在電網(wǎng)中滲透率的增加，相關(guān)矩陣的維度也會隨之增加，因此從計算的速度和精度綜合考慮，AGM 性能更佳。

4.2 潮流計算結(jié)果評價標(biāo)準(zhǔn)

本文利用改進(jìn)的IEEE 30 與IEEE 118 節(jié)點系統(tǒng)[20]來驗證所提NDC-ILHS 算法的性能。通過式（10）和式（11）計算輸出變量期望值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差來評估本文所提方法的準(zhǔn)確度。

式中：εμ和εσ分別為輸出變量期望值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差；μi和μs分別為輸出變量期望的實際值和標(biāo)準(zhǔn)值；σi和σs分別為輸出變量標(biāo)準(zhǔn)差的實際值和期望值。

4.3 IEEE 30 節(jié)點系統(tǒng)

在IEEE 30 節(jié)點系統(tǒng)中的8，16，20，25 節(jié)點上分別接入1 個風(fēng)電場，各風(fēng)電場風(fēng)速服從威布爾分布，相關(guān)參數(shù)如表3 所示。

表3 風(fēng)電場的相關(guān)參數(shù)

風(fēng)電場輸出有功功率的計算見文獻(xiàn)[2]。4 個風(fēng)電場風(fēng)速間的秩相關(guān)系數(shù)矩陣為一非正定矩陣：

將負(fù)荷節(jié)點分類為2 個區(qū)域，其中節(jié)點1—17 為區(qū)域A，節(jié)點18—30 為區(qū)域B。區(qū)域A 和B內(nèi)負(fù)荷間相關(guān)系數(shù)分別為0.5 和0.8，不同區(qū)域的負(fù)荷之間相互獨立。所有負(fù)荷有功功率與無功功率都服從額定功率為期望值，標(biāo)準(zhǔn)差為5%期望值的正態(tài)分布。

以50 000 次SRS-MCS 的概率潮流結(jié)果為基準(zhǔn)，對NDC-ILHS 計算結(jié)果進(jìn)行誤差分析，結(jié)果如表4 所示。

由表4 可知，NDC-ILHS 得到的概率潮流結(jié)果與基準(zhǔn)值的誤差非常小，不超過2.6%，尤其是節(jié)點電壓幅值期望的平均相對誤差接近于0，從而驗證了NDC-ILHS 的準(zhǔn)確性。

表4 NDC-ILHS 在不同采樣規(guī)模下輸出變量平均相對誤差 %

4.4 IEEE 118 節(jié)點系統(tǒng)

同區(qū)域或鄰近區(qū)域的風(fēng)電場之間和光伏機(jī)組之間都存在相關(guān)性，而且相關(guān)系數(shù)通常都為正值。但地理上毗鄰的風(fēng)電場及光伏電站往往由于白天風(fēng)速小、光照強度大而晚上風(fēng)速大、光照強度幾乎為零，因此具有較強的負(fù)相關(guān)關(guān)系[21]。因此本算例考慮輸入隨機(jī)變量正負(fù)相關(guān)性并存，且有較高的可再生能源滲透率，即非正定相關(guān)矩陣維度較大的情況。

在IEEE 118 節(jié)點系統(tǒng)中，在節(jié)點8，20，54，92 各接入1 個風(fēng)電場，在節(jié)點16，32，70，96 各接入1 個光伏電站。4 個風(fēng)電場參數(shù)與表3 相同，光伏電站有功功率服從Beta 分布[20]，具體參數(shù)如表5 所示。

表5 光伏發(fā)電機(jī)組相關(guān)參數(shù)

風(fēng)電場和光伏電站間的秩相關(guān)系數(shù)C1為：

系統(tǒng)中的隨機(jī)負(fù)荷按地理位置被分為3 個區(qū)域，其中節(jié)點1—40 為區(qū)域A，節(jié)點41—75 為區(qū)域B，節(jié)點76—118 為區(qū)域C。各區(qū)域內(nèi)負(fù)荷間相關(guān)系數(shù)分別為0.5，0.6 和0.8，不同區(qū)域的負(fù)荷之間相互獨立。所有負(fù)荷有功功率與無功功率都服從額定功率為期望值，標(biāo)準(zhǔn)差為5%期望值的正態(tài)分布。

同樣，本文以采樣規(guī)模為50 000 的SRS-MCS的概率潮流計算結(jié)果為基準(zhǔn)值，將NDC-ILHS，MCILHS 與SRS-MCS 的計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。3 種概率潮流計算方法得到的輸出節(jié)點電壓相對誤差曲線如圖2 所示，其中樣本點的采樣規(guī)模從50 到500，步長為50。

由圖2 可知，在處理高滲透率的風(fēng)光并網(wǎng)概率潮流問題時，由于AGM 修正高維非正定矩陣得到的結(jié)果更加精確，因此NDC-ILHS 得到的電壓相角的標(biāo)準(zhǔn)差誤差均比同樣采樣規(guī)模下MCILHS與SRS-MCS 所得的結(jié)果小。NDC-ILHS 在采樣規(guī)模大于100 以后電壓幅值和相角的期望值就趨于穩(wěn)定，得到電壓幅值和相角期望值的平均相對誤差都比SRS-MCS 小得多，和MCILHS 所得計算結(jié)果相當(dāng)。

圖2 3 種方法所得電壓平均相對誤差指標(biāo)

表6 與表7 分別為支路66-67 的有功功率的相對誤差表。

表6 支路66-67 有功功率期望相對誤差εμ %

表7 支路66-67 有功功率標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差εδ %

由表6 可知，NDC-ILHS 與MCILHS 得到的有功功率期望的相對誤差都小于SRS-MCS 的計算結(jié)果，且都具有較好的收斂性，在采樣規(guī)模為100 時就基本到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。由表7 可知，在不同采樣規(guī)模時采用NDC-ILHS 獲得的有功功率的標(biāo)準(zhǔn)差比其余2 種方法小。

當(dāng)采樣規(guī)模為500 時，3 種方法得到的支路66-67 有功功率的PDF（概率密度函數(shù)）與CDF（累積分布函數(shù)）如圖3 所示。由圖3 可知，本文所提NDC-ILHS 所得PDF 與CDF 曲線比其他方法更接近于基準(zhǔn)值。

圖3 3 種方法采樣規(guī)模為500 時支路有功功率對比

5 結(jié)語

為了解決LHS 在高維隨機(jī)變量采樣中樣本均勻性不足以及高滲透率風(fēng)光等分布式電源并網(wǎng)而導(dǎo)致相關(guān)矩陣高維且非正定的問題，本文提出一種考慮非正定相關(guān)性的改進(jìn)LHS 概率潮流計算方法。通過AGM，PDSD 及CGM 處理不同維度非正定相關(guān)矩陣的仿真對比可以看出，隨著矩陣維度的增加，AGM 所需時間更少，所得結(jié)果精度更高。通過對比不同概率潮流方法對改進(jìn)IEEE 30 和IEEE 118 節(jié)點系統(tǒng)的計算結(jié)果，驗證了NDC-ILHS 解決隨機(jī)變量非正定相關(guān)時概率潮流計算問題的能力，在相同采樣規(guī)模下，NDCILHS 的準(zhǔn)確性要優(yōu)于SRS-MCS 與MCILHS。