溫度與微結(jié)構(gòu)高度誤差對(duì)衍射光學(xué)元件衍射效率的影響研究

楊亮亮，趙勇兵，唐 健，郭仁甲

溫度與微結(jié)構(gòu)高度誤差對(duì)衍射光學(xué)元件衍射效率的影響研究

楊亮亮，趙勇兵，唐 健，郭仁甲

（鹽城師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224007）

基于衍射光學(xué)元件的衍射效率與微結(jié)構(gòu)高度誤差的關(guān)系，提出了環(huán)境溫度、微結(jié)構(gòu)高度誤差與衍射效率和帶寬積分平均衍射效率的數(shù)學(xué)分析模型。研究了環(huán)境溫度變化對(duì)帶寬積分平均衍射效率的影響，分析了工作在一定溫度范圍內(nèi)時(shí)帶寬積分平均衍射效率與相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差的關(guān)系。對(duì)于工作在8～12mm長(zhǎng)波紅外波段的衍射光學(xué)元件，偏離設(shè)計(jì)波長(zhǎng)越遠(yuǎn)，其衍射效率受溫度的影響越大。溫度的變化會(huì)引起100%衍射效率對(duì)應(yīng)的峰值相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差發(fā)生改變。當(dāng)衍射光學(xué)元件的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差在±15%范圍內(nèi)時(shí)，衍射效率在－40℃～80℃的整個(gè)溫度范圍內(nèi)高于91.89%，帶寬積分平均衍射效率在整個(gè)溫度范圍內(nèi)高于88.58%。

衍射光學(xué)；衍射效率；微結(jié)構(gòu)高度誤差

0 引言

鑒于衍射光學(xué)元件具有區(qū)別于傳統(tǒng)折射透鏡的負(fù)色散性質(zhì)和負(fù)熱差性質(zhì)等，所以，其廣泛應(yīng)用于各種成像光學(xué)系統(tǒng)中[1-3]。衍射光學(xué)元件可以直接采用單點(diǎn)金剛石車削方法進(jìn)行加工[4-5]。，也可以采用光刻技術(shù)或者復(fù)制技術(shù)[6-8]。不管采用哪種加工方法，都會(huì)不可避免地引入一些加工誤差，而誤差的存在會(huì)對(duì)衍射光學(xué)元件的衍射效率帶來直接的影響[9-12]，進(jìn)而導(dǎo)致成像光學(xué)系統(tǒng)的像質(zhì)下降。紅外成像光學(xué)系統(tǒng)中能夠選擇的透鏡材料種類有限，衍射光學(xué)元件的出現(xiàn)為紅外系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了更多的自由度。致冷型紅外系統(tǒng)要能夠在一定的溫度范圍內(nèi)實(shí)行消熱差設(shè)計(jì)，所以系統(tǒng)中采用的衍射光學(xué)元件其衍射效率也要進(jìn)行溫度變化的影響分析。

文獻(xiàn)[13]討論了加工誤差對(duì)衍射光學(xué)元件波前像差的影響。文獻(xiàn)[10]分析了加工誤差對(duì)帶寬積分平均衍射效率的影響，指出了微結(jié)構(gòu)高度誤差是影響衍射效率的重要誤差之一。文獻(xiàn)[14]給出了環(huán)境溫度的改變對(duì)諧衍射元件衍射效率的影響。文獻(xiàn)[15]給出了考慮環(huán)境溫度因素時(shí)多層衍射元件衍射效率的優(yōu)化方法。本文基于前期工作中給出的微結(jié)構(gòu)高度誤差與衍射效率的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立了衍射效率和溫度與相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差的數(shù)學(xué)模型。分析了環(huán)境溫度變化和一定溫度范圍內(nèi)工作時(shí)，微結(jié)構(gòu)高度誤差對(duì)衍射效率和帶寬積分平均衍射效率的影響。

1 溫度與微結(jié)構(gòu)高度誤差和衍射效率的理論關(guān)系

當(dāng)入射光線從空氣介質(zhì)正入射到單層衍射光學(xué)元件的基底材料上時(shí)，衍射光學(xué)元件第衍射級(jí)次的衍射效率為[11]：

式中：sinc()＝sin(p)/p，為衍射級(jí)次；0表示衍射光學(xué)元件的理論微結(jié)構(gòu)高度的大??；()為元件的基底材料在波長(zhǎng)為時(shí)對(duì)應(yīng)的折射率。假設(shè)由于加工引入的微結(jié)構(gòu)高度誤差為D，那么，衍射光學(xué)元件的實(shí)際微結(jié)構(gòu)高度為：

＝0＋D＝0(1＋) (2)

式中：＝D/0，表示相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差?？紤]微結(jié)構(gòu)高度誤差這一因素后，式(1)的衍射效率可以表示為：

當(dāng)環(huán)境溫度變化時(shí)，衍射光學(xué)元件的微結(jié)構(gòu)高度會(huì)隨之變化。如圖1所示，環(huán)境溫度的改變會(huì)引起衍射光學(xué)元件微結(jié)構(gòu)高度大于和小于理論微結(jié)構(gòu)高度。由溫度變化導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)高度為t，即：

t＝0(1＋gD) (4)

式中：g＝(1/0)d0/d為衍射元件基底材料的熱膨脹系數(shù)，表示溫度變化引起的微結(jié)構(gòu)高度的相對(duì)改變量，D為環(huán)境溫度的變化量，數(shù)值上等于環(huán)境溫度與某一標(biāo)準(zhǔn)溫度（一般為20℃）的差值。

圖1 溫度引起微結(jié)構(gòu)高度改變的示意圖

當(dāng)環(huán)境溫度變化時(shí)，衍射光學(xué)元件的微結(jié)構(gòu)高度和基底材料的折射率都會(huì)發(fā)生改變，進(jìn)一步引起其衍射效率發(fā)生改變。考慮溫度這一因素后，衍射光學(xué)元件的衍射效率和溫度與相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差的關(guān)系為：

當(dāng)含有衍射光學(xué)元件的混合成像光學(xué)系統(tǒng)的工作波段范圍為min～max時(shí)，需要綜合考慮衍射光學(xué)元件的帶寬積分平均衍射效率，其與溫度和相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差的關(guān)系為：

2 分析和討論

工作在8～12mm波段的衍射光學(xué)元件，基底材料采用常用的鍺（Ge），衍射級(jí)次?。?，根據(jù)帶寬積分平均衍射效率的最大化計(jì)算得到設(shè)計(jì)波長(zhǎng)為0＝9.74mm，其微結(jié)構(gòu)高度理論值為0＝0/[(0)－1]＝3.24mm。

2.1 溫度變化對(duì)衍射效率的影響

當(dāng)相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差為零時(shí)，根據(jù)公式(5)，得到衍射光學(xué)元件的衍射效率與波長(zhǎng)和溫度的關(guān)系如圖2所示。圖3給出了在設(shè)計(jì)波長(zhǎng)和邊緣波長(zhǎng)等幾個(gè)不同波長(zhǎng)處，衍射效率和溫度的變化關(guān)系。從圖中可見，溫度從－40℃變化到80℃，在設(shè)計(jì)波長(zhǎng)處，衍射效率變化不大；偏離設(shè)計(jì)波長(zhǎng)越遠(yuǎn)，衍射效率受溫度的影響越大?？梢钥闯龈哂谠O(shè)計(jì)波長(zhǎng)的幾個(gè)波長(zhǎng)，如波長(zhǎng)為12mm時(shí)，衍射效率隨溫度的降低而減小，隨溫度的升高而增大；小于設(shè)計(jì)波長(zhǎng)的幾個(gè)波長(zhǎng)，如波長(zhǎng)為8mm時(shí)，衍射效率隨溫度的降低而增大，隨溫度的升高而減小。

圖2 衍射效率與波長(zhǎng)和溫度的關(guān)系

圖3 幾個(gè)不同波長(zhǎng)處的衍射效率與溫度的關(guān)系

Fig.3 Relationship of diffraction efficiency and temperature at several wavelengths

當(dāng)環(huán)境溫度為20℃、－40℃和80℃時(shí)，衍射光學(xué)元件的衍射效率隨波長(zhǎng)的變化曲線關(guān)系如圖4所示。溫度降低時(shí)，實(shí)現(xiàn)100%衍射效率的峰值波長(zhǎng)向短波移動(dòng)；溫度升高時(shí)，實(shí)現(xiàn)100%衍射效率的峰值波長(zhǎng)向長(zhǎng)波移動(dòng)。所以，在一定溫度范圍內(nèi)工作的衍射光學(xué)元件，要注意溫度變化時(shí)所引起的峰值波長(zhǎng)改變的現(xiàn)象。根據(jù)圖3和圖4可知在不同溫度下對(duì)應(yīng)的衍射效率，當(dāng)環(huán)境溫度從20℃升高到80℃時(shí)，整個(gè)波段范圍內(nèi)的最小衍射效率從20℃時(shí)的85.33%下降到為84.02%，下降了1.31%；當(dāng)環(huán)境溫度從20℃降低到－40℃時(shí)，整個(gè)波段范圍內(nèi)的最小衍射效率為86.60%，相比20℃時(shí)衍射效率，升高了1.27%。

2.2 溫度變化對(duì)帶寬積分平均衍射效率的影響

當(dāng)相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差為零，環(huán)境溫度范圍為－40℃～80℃時(shí)，根據(jù)公式(6)計(jì)算得到衍射光學(xué)元件的帶寬積分平均衍射效率與溫度的關(guān)系如圖5所示。當(dāng)環(huán)境溫度從20℃升高到80℃時(shí)，或從20℃降低到－40℃時(shí)，帶寬積分平均衍射效率都是僅下降了0.02%。改變很小。

圖4 幾個(gè)不同溫度處的衍射效率與波長(zhǎng)的關(guān)系

圖5 帶寬積分平均衍射效率與溫度的關(guān)系

2.3 溫度變化和微結(jié)構(gòu)高度誤差對(duì)衍射效率的影響

當(dāng)環(huán)境溫度為20℃、－40℃和80℃時(shí)，利用公式(5)得到衍射光學(xué)元件的衍射效率與相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差的關(guān)系曲線如圖6所示。對(duì)比圖4，溫度降低時(shí)，實(shí)現(xiàn)100%衍射效率的峰值相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差向正值方向移動(dòng)；溫度升高時(shí)，實(shí)現(xiàn)100%衍射效率的峰值相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差向負(fù)值方向移動(dòng)。所以，在一定溫度范圍內(nèi)工作的衍射光學(xué)元件，要注意溫度變化時(shí)所引起的峰值相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差改變的現(xiàn)象。

當(dāng)相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差為0、±5%、±10%和±15%時(shí)，衍射光學(xué)元件的衍射效率與溫度的關(guān)系曲線如圖7所示?？梢钥闯?，當(dāng)衍射光學(xué)元件的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差在±5%范圍內(nèi)時(shí)，衍射效率在－40℃到80℃的整個(gè)溫度范圍內(nèi)高于98.87%；當(dāng)衍射光學(xué)元件的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差在±10%范圍內(nèi)時(shí)，衍射效率在－40℃～80℃的整個(gè)溫度范圍內(nèi)高于96.13%；當(dāng)衍射光學(xué)元件的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差在±15%范圍內(nèi)時(shí)，衍射效率在－40℃～80℃的整個(gè)溫度范圍內(nèi)高于91.89%。

圖6 幾個(gè)不同溫度處的衍射效率與相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差的關(guān)系

圖7 幾個(gè)不同相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差處的衍射效率與溫度的關(guān)系

Fig.7 Relationship of diffraction efficiency and temperature at several relative microstructure height errors

2.4 溫度變化和微結(jié)構(gòu)高度誤差對(duì)帶寬積分平均衍射效率的影響

當(dāng)環(huán)境溫度變化范圍為－40℃到80℃時(shí)，利用公式(6)計(jì)算得到衍射光學(xué)元件的帶寬積分平均衍射效率與相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差的關(guān)系如圖8(a)所示。考慮到溫度的影響，帶寬積分平均衍射效率的最大值為95.65%，此時(shí)對(duì)應(yīng)的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差為－0.04%；當(dāng)相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差分別為－15%和＋15%時(shí)，帶寬積分平均衍射效率分別為89.19%和89.41%。

當(dāng)環(huán)境溫度變化范圍相對(duì)于20℃不對(duì)稱時(shí)，例如－40℃到40℃時(shí)，同理，計(jì)算得到衍射光學(xué)元件的帶寬積分平均衍射效率最大值為95.66%，對(duì)應(yīng)的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差為0.24%。若環(huán)境溫度變化范圍為－20℃～100℃時(shí)，帶寬積分平均衍射效率最大值為95.65%，如圖8(b)對(duì)應(yīng)的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差為－0.32%。可見當(dāng)環(huán)境溫度不對(duì)稱時(shí)，最大帶寬積分平均衍射效率所對(duì)應(yīng)的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差會(huì)有所區(qū)別。

圖8 帶寬積分平均衍射效率和相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差的關(guān)系

當(dāng)相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差為0、±5%、±10%和±15%時(shí)，圖9給出了衍射光學(xué)元件的帶寬積分平均衍射效率與溫度的關(guān)系?？梢?，當(dāng)衍射光學(xué)元件的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差在±5%范圍內(nèi)時(shí)，帶寬積分平均衍射效率在－40℃到80℃的整個(gè)溫度范圍內(nèi)高于94.66%；當(dāng)衍射光學(xué)元件的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差分別在±10%和±15%范圍內(nèi)時(shí)，帶寬積分平均衍射效率在整個(gè)溫度范圍內(nèi)分別高于92.28%和88.58%。

3 結(jié)論

基于衍射效率與微結(jié)構(gòu)高度誤差的表達(dá)式，建立了工作在一定環(huán)境溫度范圍內(nèi)的衍射光學(xué)元件的衍射效率與帶寬積分平均衍射效率和溫度與相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式。對(duì)于工作中8～12mm長(zhǎng)波紅外波段的衍射光學(xué)元件，偏離設(shè)計(jì)波長(zhǎng)越遠(yuǎn)，其衍射效率受溫度的影響越大。溫度的變化會(huì)引起100%衍射效率隨對(duì)應(yīng)的峰值波長(zhǎng)發(fā)生改變，也會(huì)引起100%衍射效率所對(duì)應(yīng)的峰值相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差偏離理想情況。當(dāng)衍射光學(xué)元件的相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差在±15%范圍內(nèi)時(shí)，在－40℃～80℃的整個(gè)溫度范圍內(nèi)衍射效率高于91.89%，帶寬積分平均衍射效率高于88.58%。該分析方法和結(jié)論為工作在一定溫度范圍內(nèi)的衍射光學(xué)元件的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

圖9 幾個(gè)相對(duì)微結(jié)構(gòu)高度誤差處的帶寬積分平均衍射效率與溫度的關(guān)系

Fig.9 Relationship of PIDE between temperature at several relative microstructure height errors

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Research on the Influence of Temperature and Microstructure Height Error on Diffraction Efficiency for Diffractive Optical Elements

YANG Liangliang，ZHAO Yongbing，TANG Jian，GUO Renjia

(School of Physics and Electronics Engineering, Yancheng Teachers University, Yancheng 224007, China)

Based on the relationship between diffraction efficiency and microstructure height error for diffractive optical elements (DOEs), mathematical analytical models of environment temperature, microstructure height error, and diffraction efficiency/polychromatic integral diffraction efficiency (PIDE) were put forward. The influence of ambient temperature on the PIDE was researched and the relationship between the PIDE and microstructure height error within a certain temperature range was analyzed. For a DOE working within an 8-12mm long-waveband infrared range, the influence of temperature on the diffraction efficiency was significant as the wavelength deviated from the designed value. The peak relative microstructure height error corresponding to the 100% diffraction efficiency changed with the change of temperature. When the relative microstructure height error of the DOE was within ±15%, the diffraction efficiency was higher than 91.89% in the temperature range from －40℃ to 80℃ and the PIDE was higher than 88.58% in the entire temperature range.

diffractive optics, diffraction efficiency, microstructure height error

O436

A

1001-8891(2020)05-0213-05

2019-07-22；

2019-12-20.

楊亮亮（1986-），女，副教授，博士，主要從事衍射光學(xué)、光學(xué)設(shè)計(jì)和聚光光伏系統(tǒng)等方面的研究。E-mail：yang_liangliang@163.com。

江蘇省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目（19KJD140005），國(guó)家自然科學(xué)基金（11847161，11847166）。