空中發(fā)射初始狀態(tài)對運(yùn)載火箭有效載荷的影響

蔡恒欲，林立輝，劉士陽，葉正寅

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

0 引 言

空中發(fā)射技術(shù)是指從空中發(fā)射平臺(主要是飛機(jī)或者飛艇等航空飛行器)上發(fā)射攜帶任務(wù)載荷的運(yùn)載火箭、巡航導(dǎo)彈和無人機(jī)等(統(tǒng)稱為有效載荷)的技術(shù)[1]。

從軍事角度來看，火箭發(fā)射基地一般是戰(zhàn)時敵方最先想要摧毀的地方，采用空中發(fā)射技術(shù)具有三方面優(yōu)勢：①使火箭發(fā)射具有極強(qiáng)的機(jī)動性和隱蔽性，在戰(zhàn)時和應(yīng)急情況下是相當(dāng)重要的；②有利于減少火箭發(fā)射場地的數(shù)量、節(jié)約維護(hù)經(jīng)費(fèi)、縮短發(fā)射周期；③提高火箭的有效載荷，使小型火箭可以運(yùn)載更多的有效載荷到軌道上[1-2]。從民用角度來看，空中發(fā)射技術(shù)在商業(yè)方面也具有巨大潛力，例如，2013年初，維珍銀河公司已有超過575名付費(fèi)用戶購買了用于乘坐"太空船2號"的太空旅行票，票價暫時穩(wěn)定在250 000美元[3]。

在國外，2004～2006年間，Beggar求解器被廣泛用于諸如F-15E、F-16、B-52等空中發(fā)射平臺的外掛物投放仿真[4-6]。V.C.Nguyen等[7]分析了機(jī)箭系統(tǒng)發(fā)射階段的魯棒穩(wěn)定性；E.Roosenboom等[8]利用實驗方法，研究了重裝空投貨物出艙后機(jī)-物-傘系統(tǒng)的氣動耦合特性。1990年4月，美國“飛馬座”火箭通過空中發(fā)射平臺發(fā)射的空射型運(yùn)載火箭，其總質(zhì)量18.3 t，可以發(fā)射180～410 kg的小型衛(wèi)星[9]。2018年10月，英國維珍航空公司利用改裝后的747-400在9 144 m高空成功實現(xiàn)二級運(yùn)載火箭“LauncherOne”的發(fā)射。2019年4月， “Stratolaunch”實現(xiàn)首飛，用于運(yùn)載火箭空中發(fā)射，有效載荷可達(dá)250 t[10]。

目前，國內(nèi)的研究主要集中于理論和數(shù)值模擬方面。唐志共等[11]采用基于非結(jié)構(gòu)重疊網(wǎng)格的挖洞技術(shù)求解Euler方程，數(shù)值模擬了外掛投放；肖中云等[12]在并行環(huán)境下進(jìn)行了外掛物動態(tài)分離過程的數(shù)值模擬；朱和銓等[13]對仿真的火箭箭體進(jìn)行了氣動特性分析；高云逸等[14]和楊磊[15]分別研究了運(yùn)載火箭在空中投放后的姿態(tài)控制。

各國研究者已對空中發(fā)射技術(shù)進(jìn)行了大量研究，并取得了一些成就，但大都是研究火箭分離過程中的數(shù)值模擬和氣動特性方面，對于具體的空中發(fā)射對運(yùn)載火箭的有效載荷影響程度的研究很少，因此本文通過研究在不同的發(fā)射高度和速度下有效載荷的變化情況，定量地給出空中發(fā)射對有效載荷的影響程度。

1 計算方法

為了便于研究發(fā)射高度和發(fā)射速度對火箭入軌后有效載荷的影響程度，對火箭運(yùn)動軌跡(如圖1所示)進(jìn)行簡化處理，火箭運(yùn)動方式為：

(1) 在初始高度、初始速度下，火箭發(fā)動機(jī)點(diǎn)火，火箭開始進(jìn)行爬升；

(2) 到達(dá)一定高度后，火箭發(fā)動機(jī)熄火，火箭依靠慣性繼續(xù)爬升，直到火箭到達(dá)指定軌道，此時火箭速度基本為0；

(3) 火箭到達(dá)軌道高度后發(fā)動機(jī)二次點(diǎn)火，產(chǎn)生的推力一方面與離心力一起平衡地球引力，另一方面對火箭進(jìn)行加速，直到火箭達(dá)到軌道速度為止。

圖1 火箭運(yùn)動軌跡Fig.1 Motion trajectory of rocket

為了簡化計算，設(shè)定如下假設(shè)：

(1) 火箭發(fā)動機(jī)推力恒定，不對火箭發(fā)動機(jī)推力進(jìn)行調(diào)整；

(2) 火箭發(fā)射不考慮地球自轉(zhuǎn)問題；

(3) 運(yùn)動過程中將火箭看成一個質(zhì)點(diǎn)，不考慮火箭自身姿態(tài)改變問題；

(4) 箭體與載機(jī)分離后至轉(zhuǎn)為垂直姿態(tài)開始點(diǎn)火，僅需數(shù)秒，期間火箭高度的變化忽略不計；

(5) 由于到7×104m高度時大氣密度數(shù)值在10-4kg/m3的量級，計算出來的氣動阻力在103N的量級，遠(yuǎn)小于由于重力引起的阻力，故假定火箭到達(dá)7×104m高度后大氣密度為0。

火箭加速上升階段的數(shù)學(xué)模型如式(1)所示。

(1)

式中：hn為火箭當(dāng)前高度；hn-1為火箭上一時刻高度；vn為火箭當(dāng)前速度；vn-1為火箭上一時刻速度；fn為火箭當(dāng)前時刻所受氣動阻力；mn為火箭當(dāng)前質(zhì)量；mn-1為上一時刻火箭質(zhì)量;dm為火箭發(fā)動機(jī)推進(jìn)劑質(zhì)量流量;FGn為火箭當(dāng)前時刻所受重力;G為萬有引力常量;M為地球質(zhì)量;R為地球半徑;F為發(fā)動機(jī)推力;an為火箭當(dāng)前加速度;an-1為火箭上一時刻加速度。

在計算火箭的飛行阻力時，阻力系數(shù)(Cd)的值隨馬赫數(shù)(Ma)的變化而變化。使用RASAero軟件，建立火箭的簡易模型，如圖2所示；得到阻力系數(shù)的變化曲線，如圖3所示。

圖2 火箭外形Fig.2 The rocket shape

圖3 Cd隨馬赫數(shù)的變化曲線Fig.3 Curve of Cd changed with Mach number

考慮到不同高度下，大氣溫度不同，聲速也不同，故將大氣模型加入到計算模型中。根據(jù)火箭當(dāng)前高度，確定出當(dāng)前高度下的大氣溫度，再計算出聲速，根據(jù)火箭當(dāng)前速度，即可求出火箭當(dāng)前馬赫數(shù)Ma，阻力系數(shù)Cd根據(jù)馬赫數(shù)的值確定。

火箭進(jìn)入軌道后進(jìn)行加速階段的數(shù)學(xué)模型如式(2)所示。

(2)

式中：Ffn為火箭受到的萬有引力與離心力的合力;θ為火箭發(fā)動機(jī)推力方向的離軸角，用來使推力產(chǎn)生一個分力平衡萬有引力與離心力的合力;Fa為火箭發(fā)動機(jī)推力用來加速的分力;其他參數(shù)同式(1)。

采用上述一階精度算法，能快速地定量分析火箭有效載荷隨發(fā)射高度和發(fā)射速度的變化情況，從而更好地反映出初始發(fā)射狀態(tài)對火箭有效載荷的影響程度。本文雖然采用的是較為簡易的數(shù)學(xué)模型和一階精度計算方法，但是對于研究不同初始發(fā)射狀態(tài)對運(yùn)載火箭有效載荷的影響，其結(jié)論不會產(chǎn)生影響。

2 火箭入軌模型

本文研究火箭在不同發(fā)射高度和不同發(fā)射速度下在指定軌道上有效載荷的變化情況，得出發(fā)射高度和發(fā)射速度對火箭入軌后有效載荷的影響程度?；陂L征6號火箭部分參數(shù)構(gòu)建火箭數(shù)學(xué)模型，指定火箭軌道高度為100 km。

假定火箭起飛質(zhì)量中除了結(jié)構(gòu)質(zhì)量外，其余質(zhì)量全為火箭的推進(jìn)劑。當(dāng)火箭在軌道高度上速度達(dá)到軌道速度時，剩余的推進(jìn)劑質(zhì)量即為有效載荷。為了做到火箭完全回收，火箭采用長征6號火箭的參數(shù)，但在發(fā)射過程中不做分離，即看作是一個一級火箭，參數(shù)如表1～表2所示。

表1 火箭主要參數(shù)

表2 1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下火箭發(fā)動機(jī)參數(shù)

首次計算后發(fā)現(xiàn)在0高度、0速度狀態(tài)下發(fā)射，即地面發(fā)射，火箭能到達(dá)軌道，但在推進(jìn)劑全部消耗完之后速度為3 699.58 m/s，小于軌道速度7 840.3 m/s，即火箭無法真正意義上進(jìn)入軌道。之后將發(fā)射高度定為20 000 m，發(fā)射速度定為250 m/s，結(jié)果在推進(jìn)劑耗盡前仍無法將火箭在軌道上加速到軌道速度。

考慮到火箭的全重，一般將大型飛機(jī)作為空中發(fā)射平臺，而計算結(jié)果表明，即使通過飛機(jī)進(jìn)行空中發(fā)射，火箭也無法真正進(jìn)入100 km軌道，故這種方案在一級火箭模型下不可行。

鑒于一級火箭無法達(dá)到軌道速度，將火箭改為二級火箭，當(dāng)一子級用完其全部推進(jìn)劑后脫離，之后由二子級進(jìn)行推進(jìn)，而火箭主要參數(shù)不改變，包括火箭起飛質(zhì)量、火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量、推進(jìn)劑質(zhì)量等，火箭各子級參數(shù)如表3～表4所示。

表3 火箭一子級參數(shù)

表4 火箭二子級參數(shù)

火箭各子級的空重是通過推進(jìn)劑占比估算得到的。此外，在火箭一子級中，發(fā)動機(jī)比沖和推進(jìn)劑流量的乘積所得到的推力為1 205.337 4 kN，而給出的發(fā)動機(jī)推力為1 199.190 kN，故通過兩者的比值和火箭二子級發(fā)動機(jī)推力，可估算出火箭二子級發(fā)動機(jī)的推進(jìn)劑流量。

計算結(jié)果表明，在初始發(fā)射高度為0，初始發(fā)射速度為0，火箭在100 km軌道上可達(dá)到軌道速度，此時有效載荷為213.32 kg。表明選用二級火箭模型為基本的計算模型，火箭能攜帶一定的有效載荷進(jìn)入100 km軌道，該方案可行。

3 初始發(fā)射狀態(tài)對入軌有效載荷的影響

選取二級火箭模型為基本計算模型，用于分析初始發(fā)射狀態(tài)對有效載荷的影響。首先，在0高度、0速度下，火箭在100 km軌道高度上達(dá)到軌道速度，此時的質(zhì)量為1 943.32 kg，有效載荷為213.32 kg。在該發(fā)射狀態(tài)下，火箭進(jìn)入軌道前火箭高度、質(zhì)量、速度隨時間的變化如圖4～圖5所示。圖4中橫坐標(biāo)為火箭發(fā)射后的時間，左邊縱坐標(biāo)為火箭的質(zhì)量，右邊縱坐標(biāo)為火箭距地面的高度；圖5橫坐標(biāo)為火箭發(fā)射后的時間，左邊縱坐標(biāo)為火箭的速度，右邊縱坐標(biāo)為火箭距地面的高度。

圖4 火箭入軌前高度、質(zhì)量隨時間的變化Fig.4 The height and quality of the rocket changed with time before entering the orbit

圖5 火箭入軌前高度、速度隨時間的變化Fig.5 The height and speed of the rocket changed with time before entering the orbit

火箭入軌前阻力系數(shù)、馬赫數(shù)隨時間的變化曲線如圖6所示，橫坐標(biāo)為火箭發(fā)射后時間，左邊縱坐標(biāo)為火箭當(dāng)前馬赫數(shù)Ma，右邊縱坐標(biāo)為阻力系數(shù)Cd。

從圖4～圖6可以看出：由于火箭一開始質(zhì)量較大，加速度較小，速度曲線開始時變化較為平緩，但總體上加速度有增長的趨勢；在火箭發(fā)射后100 s左右，由于火箭馬赫數(shù)接近1，此時火箭進(jìn)入跨聲速階段，激波的產(chǎn)生使火箭的阻力系數(shù)劇增(如圖6所示)；之后隨著馬赫數(shù)的增加，阻力系數(shù)下降，且火箭自身的質(zhì)量在不斷減少，故火箭的加速度不斷增加；在火箭發(fā)射155 s后，火箭發(fā)動機(jī)熄火，火箭開始減速，相對于火箭所受到的引力，火箭的氣動阻力為小量，即火箭的減速上升運(yùn)動近似為勻減速上升運(yùn)動。

圖6 火箭入軌前Cd、Ma隨時間的變化Fig.6 The Cd and Ma of the rocket changed with time before entering the orbit

火箭在上升階段不同高度下的速度、質(zhì)量和推進(jìn)劑所耗占比(所耗推進(jìn)劑與一、二級火箭總推進(jìn)劑的比值)如表5所示，高度選取為5 000.16、10 000.20、15 000.30、20 000.20、25 000.20和30 000.50 m，可以看出：由于初始加速度較小，當(dāng)火箭到達(dá)5 000.16 m時，火箭速度達(dá)到0.55Ma左右，但此時火箭已經(jīng)消耗了25.5 t的推進(jìn)劑，占總推進(jìn)劑質(zhì)量的27.4%；而當(dāng)火箭到達(dá)30 000.50 m時，火箭速度為2.14Ma左右，此時火箭已經(jīng)消耗58.7%的推進(jìn)劑。表明提高發(fā)射高度和發(fā)射速度，可以明顯節(jié)省推進(jìn)劑的使用或增加有效載荷。

表5 上升段時不同高度下火箭的速度、

火箭從地面發(fā)射，到10 000.20 m高度時，已消耗34 784.8 kg的推進(jìn)劑，此時火箭速度為267.218 m/s。若由空中發(fā)射平臺將火箭帶到10 000.20 m高度，并賦予火箭267.218 m/s的初速度，火箭的質(zhì)量可由103 000 kg減少到68 215.2 kg。

從工程實踐角度出發(fā)，由于推進(jìn)劑的減少，火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量可以相應(yīng)減少，故假定火箭一子級的結(jié)構(gòu)質(zhì)量(發(fā)動機(jī)的質(zhì)量除外)與其推進(jìn)劑的質(zhì)量成線性關(guān)系，并規(guī)定火箭的二子級參數(shù)不改變。根據(jù)假定，由空中發(fā)射平臺搭載的火箭，其一子級全重49 485.2 kg，其中推進(jìn)劑質(zhì)量43 905.25 kg，結(jié)構(gòu)質(zhì)量為5 579.95 kg(發(fā)動機(jī)質(zhì)量為1 900 kg)。此時，該火箭由空中發(fā)射平臺在10 000.20 m初始高度、267.218 m/s初始速度下發(fā)射，在軌道上的有效載荷為426.41 kg，比從地面發(fā)射到達(dá)軌道的有效載荷(即213.32 kg)增加了近1倍。

同理，若空中發(fā)射平臺將火箭帶到30 000.50 m高度，并賦予火箭644.678 m/s的初始速度，火箭質(zhì)量由103 000 kg減少到48 433.3 kg。同樣，基于之前的假設(shè)，火箭一子級的全重為29 703.3 kg，其中推進(jìn)劑質(zhì)量25 633.16 kg，結(jié)構(gòu)質(zhì)量為4 050.14 kg (發(fā)動機(jī)質(zhì)量為1 900 kg)。此時，該火箭由空中發(fā)射平臺在30 000.50 m初始高度、644.678 m/s初始速度下發(fā)射，在軌道上的有效載荷為799.28 kg，比從地面發(fā)射到達(dá)軌道的有效載荷(即213.32 kg)增加了1.7倍。

綜上可知，空中發(fā)射不僅可以減少火箭的質(zhì)量和尺寸，還可以增加火箭的有效載荷。

初始發(fā)射速度分別為0、300、500、700和1 000 m/s情況下，有效載荷隨高度的變化曲線如圖7所示，橫坐標(biāo)為初始發(fā)射高度，縱坐標(biāo)為入軌的有效載荷。

圖7 在不同速度下有效載荷隨高度的變化Fig.7 The change of payload with emission height

從圖7可以看出：當(dāng)初始發(fā)射速度為0時，發(fā)射高度從0變化到30 km，有效載荷從約213.32 kg增加到約765.59 kg，增加了2.59倍，表明有效載荷隨著發(fā)射高度的增加而增加；當(dāng)發(fā)射速度為0，發(fā)射高度由0增加到10 000 m時，有效載荷增加了290.37 kg；當(dāng)發(fā)射速度為1 000 m/s時，發(fā)射高度由0增加到10 000 m時，有效載荷增加了834.93 kg，表明隨著發(fā)射速度的增加，會顯著提升發(fā)射高度對有效載荷的影響程度。

初始發(fā)射高度分別為0、10、20和30 km情況下，有效載荷隨速度的變化曲線如圖8所示，橫坐標(biāo)為初始發(fā)射速度，縱坐標(biāo)為入軌的有效載荷。

圖8 不同高度下有效載荷隨速度的變化Fig.8 The change of payload with emission speed

從圖8可以看出：當(dāng)發(fā)射高度為0時，發(fā)射速度從0增加到1 000 m/s，有效載荷從約213.32 kg增加到約1 326.89 kg，增加了5.22倍；發(fā)射高度從0提升到10 km時，有效載荷有較為顯著的提升；若發(fā)射高度從10 km繼續(xù)增長，對有效載荷的提升并無良好效果，而且若要繼續(xù)增加發(fā)射高度，對載機(jī)平臺的設(shè)計要求將更加嚴(yán)苛，因此初始發(fā)射高度設(shè)置在10 km左右較為合適；當(dāng)發(fā)射高度為0時，發(fā)射速度由0增加到1 000 m/s時，有效載荷增加了1 113.57 kg，當(dāng)發(fā)射高度為10 000 m時，發(fā)射速度由0增加到1 000 m/s時，有效載荷增加了1 158.13 kg，表明發(fā)射高度的增加不會顯著提升發(fā)射速度對有效載荷的影響程度，但發(fā)射速度的增加則會顯著提升發(fā)射高度對有效載荷的影響程度，即發(fā)射速度對有效載荷的影響更為突出。

為了更好地反映發(fā)射高度、發(fā)射速度對有效載荷的影響，給出有效載荷隨發(fā)射高度、發(fā)射速度變化的三維圖，如圖9所示。

圖9 有效載荷隨發(fā)射高度、發(fā)射速度的變化Fig.9 The change of payload with emission height and emission speed

從圖9可以看出：當(dāng)從初始發(fā)射高度和速度都為0，增加到30 km高度并且速度達(dá)到1 000 m/s下發(fā)射時，有效載荷從約213.32 kg增加到約2 554.78 kg，增加了10.98倍。

火箭要攜帶更多的有效載荷，空中發(fā)射平臺就需要飛的更快、更高。但考慮空中發(fā)射平臺在提升發(fā)射高度后，其本身由于高空空氣稀薄，升力會相對下降，而火箭本身起飛質(zhì)量不會發(fā)生變化，并且提升發(fā)射高度對有效載荷的提升影響較小，故將提高發(fā)射速度作為第一考慮因素，提升發(fā)射高度僅作為提升發(fā)射速度的一種手段，這種做法更為經(jīng)濟(jì)，也對有效載荷的提高更加有效。

4 結(jié) 論

(1) 發(fā)射高度在10 km以上繼續(xù)增加，對有效載荷的提升并不明顯，而且因為發(fā)射高度的增加，對載機(jī)平臺的設(shè)計將提出更為苛刻的要求，因此初始發(fā)射高度設(shè)置在10 km左右較為合適。

(2) 通過不同發(fā)射高度、不同發(fā)射速度對有效載荷的變化進(jìn)行數(shù)據(jù)對比，可知發(fā)射速度對有效載荷的影響更為突出。

(3) 若考慮空中發(fā)射的經(jīng)濟(jì)性，設(shè)置初始發(fā)射高度為10 km左右，并盡可能提高初始發(fā)射速度的方案是較為合理的。