整體法，想說少你不可以

韓光東

整體法廣泛應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)中，對(duì)于因式分解，更是不可或缺。簡(jiǎn)單來說，其就是把問題或某些條件當(dāng)成一個(gè)整體來處理，在解題時(shí)，不是著眼于問題的局部，而是有意識(shí)地放大考慮問題的“視角”。下面，我們主要從利用平方差公式分解因式方面，讓同學(xué)們體會(huì)如何使用整體法。

我們都知道，因式分解中的平方差公式是：a²-b²=（a+b）（a-b）。為了讓同學(xué)們更深刻地認(rèn)識(shí)這個(gè)公式，明確公式中a、b可以代表的具體內(nèi)容，我們換一種形式表達(dá)：A²-B²=（A+B）（A-B）。這里的A、B既可以指一個(gè)數(shù)字或字母，也可以指一個(gè)復(fù)雜單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。當(dāng)A、B指代的是一個(gè)復(fù)雜單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)，我們就需要把這個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式當(dāng)作一個(gè)整體來看待，即公式中的A或B，這就應(yīng)用了整體法的思想。

一、體會(huì)整體法

例1 因式分解：16a²-9b²。

【分析】運(yùn)用整體法不能脫離公式，所以同學(xué)們?cè)诮鉀Q問題前要對(duì)所學(xué)公式熟練記憶，認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn);要去思考，問題是不是符合公式使用的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，或能不能輕松轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)。平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：有兩項(xiàng)，且是“平方”減去“平方”。對(duì)于本題，我們發(fā)現(xiàn)16a²能夠轉(zhuǎn)化為（4a）²，9b²可以轉(zhuǎn)化為（3b）²，這里的4a、3b就相當(dāng)于公式中的A、B，這樣我們就可以應(yīng)用公式來處理了。

【分析】觀察式子，若把（2a+b）和（a-2b）看作一個(gè)整體，即公式中的A，B，則（2a+b）²-（a-2b）²可看作兩項(xiàng)，符合平方差公式的條件，故可以用整體思想來因式分解。同學(xué)們要注意分解以后對(duì)式子的化簡(jiǎn)與分解徹底。

【分析】對(duì)于部分同學(xué)來說，這道因式分解題有一點(diǎn)難度。主要是因?yàn)樗麄儧]有整體意識(shí)，拿到問題就想著展開，殊不知這是“南轅北轍”。因式分解是把多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，而不是把它計(jì)算、化簡(jiǎn)出來。只要掌握了整體法的處理方式，再?gòu)?fù)雜的因式分解也不再困難。本題在結(jié)構(gòu)上有兩個(gè)部分，能看出來是“平方”減“平方”的形式。我們考慮用平方差公式進(jìn)行解決，接下來，要找的就是公式中的A，Bo9（a+b ）2可以化成[3（a+b）]²，4（a-b）²可以化成[2（a-b）]

二、整體法的靈活運(yùn)用

例4 已知4m+n=90，2m-3n=10。求（m+2n）²-（3m-n）²的值。

【分析】本題看上去像是代人求值的問題，但一看條件，并不能直接代人。再觀察要求的式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把m+2n、3m-n當(dāng)成整體，看作A、B，符合平方差公式，因此考慮先因式分解。至此，問題得到解決。

【分析】若把a(bǔ)^z+b^z-c^z和2ab看作整體，當(dāng)成公式中的A、B，則（a^z+b^z-c^z）²-4a²b²可以看作兩項(xiàng)，符合平方差公式的結(jié)構(gòu)。由此，可想到利用平方差公式因式分解，然后利用三角形的三邊關(guān)系，從而解決問題。

【總結(jié)】運(yùn)用整體法進(jìn)行因式分解，關(guān)鍵是能夠把要分解的多項(xiàng)式與公式對(duì)應(yīng)起來，找準(zhǔn)公式中的A、B，再套用公式就可以了。這里，同學(xué)們對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)要認(rèn)識(shí)透徹，如果對(duì)應(yīng)不準(zhǔn)確，到頭來就是竹籃打水—一場(chǎng)空。

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)獨(dú)墅湖學(xué)校）