一維化學(xué)勢(shì)調(diào)制的p波超導(dǎo)體中的拓?fù)淞孔酉嘧?

武璟楠 徐志浩? 陸展鵬 張?jiān)撇?/p>

1) (山西大學(xué), 理論物理研究所, 太原 030006)

2) (量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 太原 030006)

本文研究了一維公度勢(shì)和非公度勢(shì)調(diào)制下的p波超導(dǎo)量子線系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧?在公度勢(shì)調(diào)制下, 通過計(jì)算 Z2 拓?fù)洳蛔兞看_定系統(tǒng)的相圖, 指出系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧儚?qiáng)烈地依賴于調(diào)制參數(shù) α 和相移 δ.在非公度勢(shì)調(diào)制下, 以為例, 計(jì)算系統(tǒng)的低能激發(fā)譜、 Z2 拓?fù)洳蛔兞恳约澳鎱⑴c率等, 發(fā)現(xiàn) p 波配對(duì)強(qiáng)度 ? ∈(0,0.33) 時(shí), 系統(tǒng)存在拓?fù)浞瞧接钩瑢?dǎo)相, 拓?fù)淦接钩瑢?dǎo)相和拓?fù)淦接咕钟蛳嗟霓D(zhuǎn)變.而當(dāng)p波配對(duì)強(qiáng)度 ? >0.33 時(shí), 系統(tǒng)存在拓?fù)浞瞧接钩瑢?dǎo)相和拓?fù)淦接咕钟蛳嗟霓D(zhuǎn)變.

1 引 言

早在上世紀(jì)30年代, Majorana求解了Dirac相對(duì)論協(xié)變的電子運(yùn)動(dòng)方程, 發(fā)現(xiàn)了一種不帶電荷的費(fèi)米子, 它的反粒子是其自身.人們?yōu)榱藢ふ宜嫩欅E一直在不懈地努力, 然而最終Majorana零模在凝聚態(tài)物理中被發(fā)現(xiàn), 并成為重要的研究課題[1?5].超 導(dǎo) 體 系 中 U (1) 規(guī) 范 對(duì) 稱 性 的 破 缺 為Majorana費(fèi)米子的產(chǎn)生提供了可能性, 人們已經(jīng)在具有強(qiáng)自旋-軌道耦合的半導(dǎo)體納米線[6?10], 磁性原子鏈[11?13], 平面約瑟夫森結(jié)[14?16]以及常規(guī)超導(dǎo)體和拓?fù)浣^緣體[17?19]的界面等體系中發(fā)現(xiàn)了它的存在.另一方面由于Majorana費(fèi)米子具有局域性且滿足非阿貝爾統(tǒng)計(jì)[20?22]等特性, 使得它成為實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)拓?fù)淞孔佑?jì)算[5,23]最有力的競(jìng)爭(zhēng)者.由于拓?fù)淞孔佑?jì)算的巨大應(yīng)用前景, 使得Majorana費(fèi)米子相關(guān)性質(zhì)的研究越來越被人們重視.特別是近年來, 隨著冷原子技術(shù)的發(fā)展, 人們發(fā)現(xiàn)通過周期驅(qū)動(dòng)光格子可以實(shí)現(xiàn)物質(zhì)拓?fù)鋺B(tài)[24?26], 通過周期驅(qū)動(dòng)具有p波配對(duì)的超導(dǎo)量子線, 有可能會(huì)產(chǎn)生額外的π模[27].通過多個(gè)時(shí)間周期驅(qū)動(dòng)的Kitaev鏈產(chǎn)生了可以支持Majorana零模的新區(qū)域, 對(duì)Majorana費(fèi)米子的尋找提供了理論基礎(chǔ)[28].拓?fù)湎嘧畛跏窃诙蛎芟到y(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的, 但人們對(duì)非厄密系統(tǒng)中拓?fù)湎嗟难芯恳泊嬖诤艽蟮呐d趣[29?33].由于Majorana零?？梢栽诜嵌蛎荏w系中出現(xiàn)且可以持續(xù)存在, 其對(duì)環(huán)境具有很強(qiáng)的魯棒性, 為更好地研究 Majorana 費(fèi)米子提供方法.最近, Wu 等[34]闡述了實(shí)現(xiàn)非阿貝爾編織的一種新途徑, 利用Jackiw-Rebbi零模也可以實(shí)現(xiàn)非阿貝爾編織,Jackiw-Rebbi零模不具有Majorana零模的自共軛特性, 其可以出現(xiàn)在非超導(dǎo)體系中.Jackiw-Rebbi零模的研究為拓?fù)淞孔佑?jì)算提供了新的思路.有趣的是, Majorana零模可以被認(rèn)為是Jackiw-Rebbi零模在具有粒子-空穴對(duì)稱性時(shí)的特例[35,36].

Kitaev鏈?zhǔn)茄芯縈ajorana費(fèi)米子的重要模型, 在此基礎(chǔ)上人們意識(shí)到通過對(duì)Kitaev鏈的調(diào)制可以極大地改變系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧冞^程.如Lang和Chen[37]研究了周期性調(diào)制對(duì)Majorana費(fèi)米子產(chǎn)生的影響, 他們發(fā)現(xiàn)隨著調(diào)制強(qiáng)度的增大, 拓?fù)浞瞧接钩瑢?dǎo)相可能會(huì)被破壞.由于Majorana零模的穩(wěn)定性受到超導(dǎo)能隙的保護(hù), 因此在加入周期調(diào)制化學(xué)勢(shì)的情況下Majorana費(fèi)米子可能是不穩(wěn)定的, 會(huì)隨著調(diào)制化學(xué)勢(shì)強(qiáng)度的增大而消失.然而在某些特殊參數(shù)下, 調(diào)制強(qiáng)度無法改變Majorana費(fèi)米子的存在性.與此同時(shí), Cai等[38]討論了非公度調(diào)制對(duì)拓?fù)湎嘧兊挠绊? 發(fā)現(xiàn)隨著非公度調(diào)制強(qiáng)度的增加系統(tǒng)將經(jīng)歷從拓?fù)浞瞧接瓜嘞蚱接沟陌驳律钟蛳嗟霓D(zhuǎn)變.隨后相當(dāng)多的工作對(duì)調(diào)制的Kitaev鏈進(jìn)行了深入的研究[39?41].本文將討論(準(zhǔn))周期調(diào)制的p波超導(dǎo)量子線系統(tǒng)中的拓?fù)淞孔酉嘧?

2 理論模型與方法

考慮一維具有(準(zhǔn))周期調(diào)制的p波超導(dǎo)量子線, 其哈密頓量可以寫為

其中 V 是化學(xué)勢(shì)的強(qiáng)度, δ 是任意的相移.α 控制系統(tǒng)的調(diào)制周期, 若 α =p/q 是有理數(shù)(p和q是互質(zhì)的整數(shù)), 則 Vi是公度勢(shì); 若 α 是無理數(shù), 系統(tǒng)則具有非公度調(diào)制.化學(xué)勢(shì)是參數(shù)b的連續(xù)函數(shù), 其中 b ∈[0,1).在沒有超導(dǎo)配對(duì)的情況下, 即 ? =0 ,當(dāng) b =0 時(shí), 若 α 為有理數(shù), 系統(tǒng)處于拓?fù)浞瞧接瓜? 由非零整數(shù)的陳數(shù)所標(biāo)記[42]; 若 α 為無理數(shù),模型退化為著名的AA模型[43], 此時(shí)如果 V <2t ,系統(tǒng)中所有的單粒子本征態(tài)為擴(kuò)展態(tài)并且具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì), 而當(dāng) V >2t 時(shí), 所有的本征態(tài)都為局域態(tài), V =2t 是擴(kuò)展到局域相的轉(zhuǎn)變點(diǎn), 此時(shí)所有的本征態(tài)展現(xiàn)多分形的特性, 而這一系統(tǒng)中并不存在遷移率邊[44]; 對(duì)于 b0 且 α 為無理數(shù)的情況[45], 系統(tǒng)具有能量依賴的自對(duì)偶特性, 其遷移率邊可以解析地表示為 Ec=(2t?V)/b.對(duì)于存在超導(dǎo)配對(duì)的情況, 即 ?0 , 若 α 為有理數(shù), 模型哈密頓量為周期調(diào)制的p波超導(dǎo)量子線, 已經(jīng)被廣泛地研究[37], 文獻(xiàn)[37]中指出此系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧円蕾囉谙嘁?δ , 而在某些特殊 δ 點(diǎn)系統(tǒng)一直處于拓?fù)浞瞧接瓜嗖粫?huì)受周期調(diào)制強(qiáng)度V所控制; 對(duì)于非公度調(diào)制, Cai等[38]指出隨著非公調(diào)制強(qiáng)度的增大, 系統(tǒng)經(jīng)歷一個(gè)由拓?fù)浞瞧接瓜嗟桨驳律钟蛳嗟霓D(zhuǎn)變, 轉(zhuǎn)變點(diǎn)在 Vc=2t+2? 處.由此可見, 在b=0的情況, 模型具有豐富的拓?fù)浼熬钟蚧匦?已經(jīng)引起了廣泛的興趣.在這篇文章中我們關(guān)注分別為有理數(shù)和無理數(shù)情況下系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧? 以及在 α 為無理數(shù)時(shí)系統(tǒng)的局域化特性.

通過 Bogoliubov-de Gennes (BdG)變換[46?48]把系統(tǒng)的哈密頓量(1)對(duì)角化, 定義一組準(zhǔn)粒子算符:

其中L是系統(tǒng)的格點(diǎn)數(shù), n是能級(jí)指標(biāo)且n=1,···,L.由于在哈密頓量(1)中所有的參數(shù)都選為實(shí)數(shù), un,i和 νn,i也均為實(shí)數(shù).哈密頓量可以用準(zhǔn)粒子算符表示為其中En是準(zhǔn)粒子的本征能量.由對(duì)角化關(guān)系得到下面的BdG耦合方程:

通過求解BdG方程, 可以得到準(zhǔn)粒子的本征能量及其相應(yīng)的本征波函數(shù).由于BdG方程滿足電子-空穴對(duì)稱性, 即系統(tǒng)的能譜關(guān)于零點(diǎn)對(duì)稱.系統(tǒng)的基態(tài)對(duì)應(yīng)于所有負(fù)的準(zhǔn)粒子的能級(jí)被填滿的情況.在下面的分析中取 b =0.5.

3 結(jié)果分析與討論

3.1 周期調(diào)制的p波超導(dǎo)線

這一小節(jié)討論 α 為有理數(shù)情況下, 系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧?在開邊界條件下, 我們通過數(shù)值求解BdG方程(4)得到準(zhǔn)粒子的本征能量 En, 若系統(tǒng)處于拓?fù)浞瞧接瓜? 能譜中會(huì)出現(xiàn)零能的Majorana邊緣態(tài), 而當(dāng)系統(tǒng)處于拓?fù)淦接瓜?Majorana零模將消失.圖1計(jì)算了在 b =0.5 ,?=0.2, V =1.5 和 δ =0 時(shí), 能譜隨參數(shù) α 變化的情況, 即Hofstadter蝴蝶譜[49,50], 其中紅色點(diǎn)表示非平庸的零模.隨著 α 的增加, 系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的拓?fù)湎嘧冞^程.作為具體的例子, 我們將分別討論α=0, 1 /2 , 1 /3 的情況.

圖1 Hofstadter蝴蝶譜: 隨 α 變化的能譜, 紅色點(diǎn)是零能 Majorana 費(fèi) 米 子 b = 0.5, L = 120, ? =0.2 , V = 1.5,δ = 0Fig.1.Hofstadter butterfly: the energy spectrum varying with α.The red dotted point denotes the Majorana Fermion.b =0.5,L=120,?=0.2,V=1.5 and δ =0.

在 α =0 時(shí), 哈密頓量退化為標(biāo)準(zhǔn)的Kitaev模型[5], 系統(tǒng)在處經(jīng)歷一個(gè)拓?fù)湎嘧? 在區(qū)域處于由 Majorana 零模所標(biāo)記的拓?fù)浞瞧接瓜?可以看出當(dāng) δ 取 π /2 奇數(shù)倍時(shí), 系統(tǒng)將一直處于拓?fù)浞瞧接瓜? 并不依賴于V的取值.

我們知道, 非平庸的Majorana零?？梢杂蒢2拓 撲 不 變 量 來 表 征[5,37].對(duì) 于 α =1/2 和 1 /3 的 情況, 可以通過計(jì)算 Z2拓?fù)洳蛔兞? 解析地得到系統(tǒng)的相變點(diǎn).考慮具有周期性邊界的系統(tǒng)并對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換,其中,i=s+(l? 1)q,s=1,···,q表示一個(gè)超導(dǎo)元胞內(nèi)的格點(diǎn)數(shù), l =1,···,L/q 是第 l個(gè)超導(dǎo)元胞的位置, k 表示動(dòng)量, 其取值范圍為 [ 0 ,2π/q].哈密頓量(1)進(jìn)行傅里葉變換之后可以寫為

在動(dòng)量空間下, 我們定義一組準(zhǔn)粒子算符為[51]:它滿足反對(duì)易關(guān)系:以及可 以 看 出 只 有和滿足 Majorana費(fèi)米子算符的定義, 即在新的算符基矢下, 可以把哈密頓量重新寫成如下形式:

對(duì)于 s =1,···,q 時(shí),

對(duì)于 s =1,···,q? 1 時(shí),

對(duì)于 s =q , 有

B(k)是 一 個(gè)2 q ×2q 的 矩 陣 , 并 且 只 有B (0) 和B(π/q)是反對(duì)稱矩陣.系統(tǒng)的 Z2拓?fù)洳蛔兞靠梢远x為[5,51]: M =sgn[Pf(B(0))]sgn[Pf(B(π/q))], 其中是反對(duì)稱矩陣A的Pfaffian, P代表矩陣A中2N個(gè)元素的置換, s gn(P) 表示置換的符號(hào).M =1 對(duì)應(yīng)拓?fù)淦接瓜? M =?1 對(duì)應(yīng)拓?fù)浞瞧接瓜? 而拓?fù)湎噙吔缈梢杂?M =0 來標(biāo)記.當(dāng) α =1/2 時(shí),

顯 然 , P f[B(0)]<0 , 系 統(tǒng) 的 拓 撲 相 邊 界 由得出, 即

圖2(a) 展示了 b =0.5 , α =1/2 , δ =0 時(shí), 系統(tǒng)拓?fù)湎鄨D.圖中的黑色實(shí)線對(duì)應(yīng)方程(7)所示的解析結(jié)果, 紅色三角表示的是通過數(shù)值求解BdG方程(4)得到的相變點(diǎn).可以看到數(shù)值結(jié)果與解析解得到的結(jié)果一致.在區(qū)域Ⅰ, 系統(tǒng)處于拓?fù)浞瞧接瓜?區(qū)域Ⅱ?qū)?yīng)于系統(tǒng)處于拓?fù)淦接瓜?我們可以看到, 當(dāng) δ =0 時(shí), 系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷拓?fù)浞瞧接瓜嗟酵負(fù)淦接瓜嗟霓D(zhuǎn)變.由方程 (7) 可知, 當(dāng) δ 取值為 π /2 的奇數(shù)倍時(shí), 任意小的 ? 將導(dǎo)致系統(tǒng)處于拓?fù)浞瞧接瓜? 而不依賴于周期調(diào)制的強(qiáng)度.圖3(a)—圖3(c)展示了 b =0.5 , α =1/2 , ? =0.2 , 不同 V 時(shí), 能譜隨著相移 δ 變化的情況.在V比較小的時(shí)候, 如圖3(a)所示, V =0.2 , 在整個(gè)相移參數(shù)空間中,Majorana零模一直存在.隨著V的增大, 能隙逐漸減小, 當(dāng)它超過某個(gè)臨界值時(shí), 能隙將在某些 δ 的位置關(guān)閉, 隨后再次打開, 而此時(shí)零模消失[圖3(b),V=0.5], 對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)從拓?fù)浞瞧接瓜嗟酵負(fù)淦接瓜嗟霓D(zhuǎn)變.然而當(dāng) V 足夠大, 如圖3(c), V =3 , 除了在 δ = π/2 和 3 π/2 處 Majorana 零模存在外, 幾乎所有的 δ 區(qū)域都處于平庸相, 并且無論V值取多大, 這兩點(diǎn)的零模始終存在, 這與我們的解析結(jié)果相一致.

圖2 在 b =0.5 時(shí), 參數(shù) ??V 平面的拓?fù)湎鄨D (a) α=1/2,L=120; (b) α =1/3,L=120 ; (c) α =(?1)/2 ,L = 2584Fig.2.Topological phase diagram in ??V plane with b=0.√5.(a) α =1/2,L=120 ; (b) α =1/3,L=120 ; (c)α=(?1)/2, L = 2584.

特別是, 當(dāng) b =0 時(shí), 相邊界可以寫為一個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá) 式[37]: V3|cos3δ|=8t(t2+3?2).在cos3δ=0時(shí), 系統(tǒng)始終處于拓?fù)浞瞧接瓜? 并且不依賴于V 的取值.圖2(b) 展示了 b =0.5 , α =1/3 和 δ=0時(shí)的拓?fù)湎鄨D.黑色實(shí)線為解析結(jié)果, 而紅色三角為數(shù)值結(jié)果.由圖可知, δ =0 時(shí), 在某一特定的 ?下, 隨著周期調(diào)制強(qiáng)度V增強(qiáng), 系統(tǒng)將出現(xiàn)一個(gè)拓?fù)湎嘧?圖3(d)—圖3(f)分別展示了 b =0.5 ,α=1/3, ? =0.2 , V =0.2 , 2 和 6 時(shí), 能量以相移δ為函數(shù)變化的情況.在小V情況, 系統(tǒng)在不同的δ參數(shù)下, 始終出現(xiàn) Majorana零模[圖3(d)], 而隨著V的增加, 拓?fù)浞瞧接沟膮^(qū)域逐漸減小[圖3(e)],當(dāng)調(diào)制強(qiáng)度足夠大時(shí), 拓?fù)浞瞧接箙^(qū)域完全消失,此時(shí)系統(tǒng)中并不存在某個(gè)特殊的 δ 使得Majorana零模一直存在 [圖3(f)], 這與 b =0 的情況不符.我們可以看到, 圖3(f)中雖然某些 δ 下最低能量接近于零, 但它并不是Majorana零模, 其準(zhǔn)粒子的最低能量不低于 0.07.由此可見, 對(duì)于 b0 , α 為有理數(shù)的情況, 在某個(gè)固定的超導(dǎo)配對(duì)強(qiáng)度 ? 和調(diào)制強(qiáng)度V時(shí), 系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧儚?qiáng)烈地依賴于相移 δ.然而在某些 α 值下, 并不存在與 b =0 情況類似的特殊 δ 值, 使得拓?fù)湎嘧儾灰蕾囉谡{(diào)制強(qiáng)度V.

3.2 準(zhǔn)周期調(diào)制的p波超導(dǎo)線

圖3 在開邊界條件下, 本征能量隨相移 δ 的變化.b =0.5 , ? =0.2 , L=2584Fig.3.Energy varying with phase shift δ with b =0.5 , ? =0.2 and L =2584 under open boundary condition.

為了得到圖2(c)中所示的相圖, 我們首先分別計(jì)算在開邊界和周期邊界條件下, 系統(tǒng)的準(zhǔn)粒子最低激發(fā)能量, 如圖4(a)所示.以 ? =0.2 為例,圖4(a)展示了最低激發(fā)能量 E1隨準(zhǔn)周期調(diào)制強(qiáng)度V的變化.圖中黑色實(shí)線表示周期性邊界的情況, 黑色方塊表示開邊界的情況.當(dāng) V <1.5 時(shí), 開邊界條件下展示了零能, 而周期邊界條件下存在有限的能隙, 這表明在開邊界條件下系統(tǒng)中存在零模.在圖4(b)和圖4(c)中分別展示了在開邊界條件下 V =1 時(shí), 最低激發(fā)態(tài)的空間分布 ?1和 ψ1,這里此時(shí)最低激發(fā)態(tài) ?1和 ψ1分別位于邊界的左右兩端,?1和 ψ1的振幅不會(huì)重疊在一起, 而是分裂為兩個(gè)在空間上獨(dú)立的Majorana邊緣態(tài), 此時(shí)系統(tǒng)屬于有 Majorana 零模的超導(dǎo)相.當(dāng) V ∈(1.5,2.5) 時(shí), 開邊界條件和周期邊界條件下最低激發(fā)能量大于零,展示了相同的能隙, 并沒有展示邊緣態(tài), 并且在開邊界條件下最低激發(fā)態(tài) ?1和 ψ1的振幅會(huì)重疊在一起, 且分布在整個(gè)空間, 此時(shí)系統(tǒng)屬于超導(dǎo)相[如圖4(b), 圖4(c), V =2 ].當(dāng) V >2.5 時(shí), 開邊界和周期邊界條件下, 能隙均消失, 其最低激發(fā)能量為零.以 V =3 為例, 其最低激發(fā)態(tài) ?1和 ψ1局域在空間某一點(diǎn)上, 并不局域在邊界位置, 表明此區(qū)域的零能態(tài)不是 Majorana零模 [如圖4(b),圖4(c),V=3].從準(zhǔn)粒子的最低激發(fā)能量及其本征態(tài)的空間分布可以看出, 對(duì)于 α 為無理數(shù)的情況, 系統(tǒng)存在三種不同的相.

圖4 (a)在開邊界和周期性邊界條件下最低激發(fā)態(tài)能量 E1 隨準(zhǔn)周期調(diào)制強(qiáng)度V的變化及其空間分布 ?1 (b)和 ψ1 (c), α=(?1)/2, b =0.5 , ? =0.2 , L=2584Fig.4.(a) The lowest excitation energies, E 1 , varying with the quasi-periodic mod√ulation amplitude, V, under OBC and PBC, respectively.The spatial distribution of the lowest excited state ?1 (b), ψ1 (c).α =(?1)/2 , b =0.5 , ? =0.2 , L =2584.

為了進(jìn)一步確定系統(tǒng)中三種不同相的拓?fù)涮匦? 我們用 Z2拓?fù)洳蛔兞縼肀碚髌渫負(fù)湫再|(zhì).在非公度勢(shì)的情況下, 我們用散射矩陣 S 來計(jì)算 Z2拓?fù)洳蛔兞縖52?54].散射矩陣 S 與在費(fèi)米能級(jí)EF=0處的入射波和出射波的振幅有關(guān),

這里, 2 × 2 的子塊 R ,R′和 T ,T′分別為在超導(dǎo)線兩端的反射和透射矩陣.Z2拓?fù)洳蛔兞慷x為:M=sgn[Det(R)].只有當(dāng) M =?1 時(shí), 在超導(dǎo)量子線兩端才會(huì)出現(xiàn)非平庸的Majorana費(fèi)米子.散射矩陣可以通過轉(zhuǎn)移矩陣方法得到.基于哈密頓量(4), 零能的薛定諤方程給出:

這里 I 為 2 × 2 的單位陣.在這個(gè)基矢下, 透射和反射矩陣的關(guān)系為

拓?fù)洳蛔兞縈就可以通過計(jì)算轉(zhuǎn)移矩陣W得到.如圖5(a) 所示, 我們計(jì)算了 b =0.5 , ? =0.2 時(shí), 系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞縈隨著調(diào)制強(qiáng)度V變化的情況.從圖中可以看出, 當(dāng) V <1.5 時(shí), M =?1 對(duì)應(yīng)于由Majorana零模所標(biāo)記的拓?fù)浞瞧接沟某瑢?dǎo)相.而當(dāng) V >1.5 時(shí), M =1 對(duì)應(yīng)為拓?fù)淦接瓜?由此可以確定區(qū)域I為拓?fù)浞瞧接沟某瑢?dǎo)相, 而在區(qū)域II和III中, 系統(tǒng)展現(xiàn)了拓?fù)淦接沟奶匦?

區(qū)域II和III的最低激發(fā)態(tài)展現(xiàn)了不同的局域化特性, 通過計(jì)算逆參與率(inverse participation ratio, IPR)[57?61],區(qū)分系統(tǒng)最低激發(fā)態(tài)的局域和擴(kuò)展性質(zhì).這里n是能級(jí)指標(biāo), un,j和 νn,j是 BdG方程 (4)的本征態(tài),滿足歸一化條件,對(duì)于擴(kuò)展態(tài), IPR 的值以 1 /L 趨近零; 而對(duì)于局域態(tài), 其IPR ∝ (1/L)0趨于一個(gè)有限值.圖5(b)和圖5(c)分 別 展 示 了 ? =0.2 , V =2 和 3 時(shí) , 最 低 激 發(fā) 態(tài)IPR1隨著系統(tǒng)尺寸的標(biāo)度行為.V =3 時(shí), 最低激發(fā)態(tài) I PR1不隨尺寸L的變化而變化, 在L趨近于無窮時(shí), I PR1的值趨近于 0.45 , 表明此時(shí)其最低激發(fā)態(tài)為局域態(tài).而對(duì)于 V =2 的情況, 最低激發(fā)態(tài)IPR1隨著 1 /L 趨近于 0 , 展現(xiàn)擴(kuò)展的特性.由此可知, 區(qū)域II為拓?fù)淦接沟某瑢?dǎo)相, 而區(qū)域III對(duì)應(yīng)為拓?fù)淦接沟木钟蛳?

圖5 (a) Z2 拓?fù)洳蛔兞侩S非公度勢(shì)強(qiáng)度的變化; (b) V =2 時(shí) I PR1 的 標(biāo) √度 分 析 ; (c) V =3 時(shí) I PR1 的 標(biāo) 度 分 析b=0.5, α =(?1)/2 , ? =0.2 , L=2584Fig.5.(a) Z2 topological invariant varying with the strength of the potential V; (b) the scaling of I P√R1 V =2 ;(c) the scaling of I PR1 V =3.Here, α =(?1)/2 ,b=0.5, ? =0.2 , L =2584.

圖6 I PR 隨準(zhǔn)周期調(diào)制強(qiáng)度 V 和本征能量 En 的變化 α =(?1)/2 , b =0.5,L=144,δ=0 (a) ? =0 ; (b) ? =0.01 ; (c)?=0.5; (d) ?=0.8Fig.6.I PR varying with the amplitude of quasi-periodic modulation V and energy En.α =(?1)/2 , b =0.5,L=144 , δ=0: (a) ? =0 ; (b) ? =0.01 ; (c) ? =0.5 ; (d) ? =0.8.

當(dāng) ? =0 時(shí), 系 統(tǒng)中存 在 遷移率 邊[45], 其解析 表 達(dá) 式 為 Ec=(2t?V)/b.圖6(a)展 示 了b =0.5,L=144,δ=0 和 ?=0時(shí)不同能量 En的逆參與率隨著調(diào)制強(qiáng)度V變化的情況, 其中藍(lán)色實(shí)線表示遷移率邊的解析解.隨著p 波超導(dǎo)配對(duì)勢(shì)的引入, 即 ?0 , 系統(tǒng)中的遷移率邊將如何改變? 首先考慮 ? →0 的情況.以?=0.01為例[圖6(b)], 可以看到原來能譜中間區(qū)域展現(xiàn)局域態(tài)特性的能態(tài)隨著微小的超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)的引入開始變成擴(kuò)展態(tài), 而高能和低能部分并沒有發(fā) 生 顯 著 變 化.當(dāng) ? 為 有 限 大 時(shí) , 如 圖6(c)?=0.5時(shí), 可以看到高能部分的局域化特性并沒有發(fā)生顯著的變化, 中能部分局域化區(qū)域擴(kuò)大, 而低能部分?jǐn)U展區(qū)向局域化區(qū)域擴(kuò)張.隨著 ? 值的進(jìn)一步增加, 高能和中能部分的局域化區(qū)域進(jìn)一步擴(kuò)大, 而低能部分的局域化區(qū)不斷縮小[如圖6(d),?=0.8].由此可見, 由于超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)的引入, 遷移率邊將無法用一個(gè)解析的形式表示.

4 結(jié) 論

本文研究了一維調(diào)制的p波超導(dǎo)體的拓?fù)淞孔酉嘧?在公度勢(shì)調(diào)制下, p波超導(dǎo)的拓?fù)湫再|(zhì)強(qiáng)烈地依賴于 α 和 δ 的取值.當(dāng) b =0 時(shí), 系統(tǒng)中存在特殊的相移 δ 使得Majorana零模的存在不依賴于公度勢(shì)調(diào)制強(qiáng)度V.通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng) b0 時(shí), 在公度勢(shì)調(diào)制系統(tǒng)中, 存在特殊相移使得Majorana零模不受調(diào)制強(qiáng)度影響的結(jié)果并不是普適的.在非公度勢(shì)調(diào)制下, 計(jì)算了相移δ=0時(shí)系統(tǒng)的低能激發(fā)譜、 Z2拓?fù)洳蛔兞恳约澳鎱⑴c率 (IPR)等, 發(fā)現(xiàn)當(dāng) p波配對(duì)強(qiáng)度00.33 時(shí), 隨著非公度勢(shì)強(qiáng)度V的增加, 系統(tǒng)經(jīng)歷拓?fù)浞瞧接瓜嗟酵負(fù)淦接咕钟蛳嗟霓D(zhuǎn)變, 這與 b =0 的結(jié)果一致.