弱Soret效應(yīng)混合流體對流系統(tǒng)的分岔與非線性演化*
2020-04-30 08:33:30鄭來運趙秉新楊建青
物理學報 2020年7期
鄭來運 趙秉新 楊建青
1) (寧夏大學機械工程學院, 銀川 750021)
2) (寧夏大學數(shù)學統(tǒng)計學院, 銀川 750021)
3) (寧夏科學工程計算與數(shù)據(jù)分析重點實驗室, 銀川 750021)
混合流體Rayleigh-Bénard(RB)對流是研究非平衡耗散系統(tǒng)的自組織斑圖及非線性動力學特性的典型模型.本文利用高精度數(shù)值方法模擬了底部均勻加熱的矩形腔體中混合流體RB對流, 研究了具有極微弱Soret效應(yīng)(分離比 ψ =?0.02 )的混合流體對流的分岔特性及斑圖的形成和演化, 給出了分岔曲線圖.獲得了行波交替閃動的Blinking狀態(tài)、局部行波對流和定常對流(SOC)三種穩(wěn)定狀態(tài), 討論了狀態(tài)之間的過渡.研究發(fā)現(xiàn)從Blinking狀態(tài)到局部行波對流狀態(tài)的過渡存在遲滯現(xiàn)象, 過渡時行波頻率、對流振幅和對流傳熱Nusselt數(shù)等均有明顯的跳躍.在Blinking狀態(tài)存在的Rayleigh數(shù)區(qū)間下界附近, 外部施加的不對稱初始擾動是形成該狀態(tài)的誘因.隨著Rayleigh數(shù)增大, 臨界SOC狀態(tài)經(jīng)過多次分岔并形成多個具有不同波數(shù)的SOC狀態(tài)后過渡為混沌狀態(tài).
1 引 言
非平衡系統(tǒng)在遠離熱平衡態(tài)時就會產(chǎn)生復雜的自組織時空結(jié)構(gòu), 對其機理和穩(wěn)定性等的研究是目前涉及非平衡現(xiàn)象科學技術(shù)問題的重要課題之一[1].混合流體Rayleigh-Bénard(RB)對流作為研究非平衡耗散系統(tǒng)自組織斑圖及非線性動力學特性的一個典型系統(tǒng), 近年來得到了廣泛的關(guān)注.由于溫度和濃度場之間的Soret耦合效應(yīng), 混合流體RB對流中的斑圖結(jié)構(gòu)比單組分流體中更為有趣和復雜.特別令人關(guān)注的是具有負分離比( ψ <0 )的混合流體中發(fā)生在對流臨界點附近的對流狀態(tài), 這里 ψ 值表征了Soret耦合效應(yīng)的強度, 其符號決定了混合流體的行為.ψ <0 表示熱對浮力的貢獻和濃度對浮力的貢獻彼此相對, 導致系統(tǒng)經(jīng)歷亞臨界Hopf分岔并最終發(fā)展成為各種可能的對流狀態(tài).早期的實驗研究取得了很多重要的成果, 如首次觀察到了局部行波對流狀態(tài)(localized traveling wave, LTW)[2,3]和行波左右交替閃動的Blinking狀態(tài)[4,5]等, 這些原始發(fā)現(xiàn)對之后的研究工作具有重要的意義, 但其機理并不十分清楚.為了深入理解和探討復雜流動斑圖及其非線性特性, 人們開展了基于流體力學基本方程組或其擾動方程組的直接數(shù)值摸擬研究, 分析了行波對流狀態(tài)(traveling wave, TW)的參數(shù)依賴性[6], 解釋了LTW漂移緩慢的原因[7,8], 討論了Blinking狀態(tài)以及“重復過渡”狀態(tài)(repeated transients)的起源以及長高比的影響[9], 也獲得了局部定常對流 (localized stationary overturning convection, LSOC)[10]、 擺動行波對流 (undulation TW, UTW)[11]和含缺陷行波對流[12,13]等有趣的流動斑圖.近年來,Mercader等[14]在中等長高比的腔體中, 采用不同的邊界條件觀察到了多種LSOC對流結(jié)構(gòu)及其多重穩(wěn)定現(xiàn)象, 并發(fā)現(xiàn)當上壁面邊界改變時奇宇稱LSOC狀態(tài)整體以一定的速度移動, 且速度大小依賴于Biot數(shù)[15].王濤等[16]采用高階緊致差分方法求解渦量-流函數(shù)型的擾動方程, 模擬了矩形長腔內(nèi) LTW的形成過程.Watanabe等[17]和 Taraut等[18]模擬了大長高比矩形腔體內(nèi)LTW狀態(tài)之間以及與LSOC狀態(tài)碰撞的情形, 發(fā)現(xiàn)碰撞后的對流結(jié)構(gòu)完全依賴于碰撞前LTW狀態(tài)的特性.趙秉新[19]對水平流作用下具有正的小分離比的混合流體行進波對流進行了模擬研究, 討論了物性參數(shù)對流動的影響.最近, Shevtsova 等[20]介紹了在國際空間站進行的實驗結(jié)果, 與模擬結(jié)果進行了對比,反駁了微重力環(huán)境總是影響擴散控制過程的推測,并討論了實驗裝置上下壁面溫度不均勻?qū)oret效應(yīng)的影響[21]; Alonso等[22]模擬了準垂直圓柱體內(nèi)具有正Soret系數(shù)的混合流體對流, 重點討論了小傾角對斑圖形成的影響; Smorodin等[23]通過線性穩(wěn)定性分析, 研究了高頻振動下水平層中混合流體的對流, 分析了振動強度和方向?qū)臻g周期行波解的影響; 學者們還模擬研究了流體參數(shù)和長寬比[24]、實驗裝置的傾斜角度[25]對流動的影響, 討論了從上向下加熱的負分離比混合流體對流的開始和非線性狀態(tài)[26], 以及分離比和長高比對缺陷結(jié)構(gòu)的影響[27,28].
可是, 關(guān)于混合流體對流中解的分岔及流動沿著分岔圖上部分支的演化過程則研究比較少.文獻[24]利用固壁邊界條件對矩形腔體內(nèi)分離比為ψ=?0.1的混合流體進行了模擬研究, 給出了解的分岔圖; 文獻 [29,30]對 ψ =?0.2 和–0.6 的混合流體進行數(shù)值模擬, 獲得了幾種行波解.對于極微弱分離比下混合流體對流中解的分岔及沿分岔分支演化過程的研究則鮮見報道.綜合前人研究成果,我們知道: 在微弱分離比下, 系統(tǒng)中存在Blinking狀態(tài)和repeated transients等弱非線性對流結(jié)構(gòu);在 ψ ??0.1 的情形下, 系統(tǒng)沿弱非線性分支從Blinking到LTW對流過渡時對流振幅發(fā)生了很大的跳躍, 且存在遲滯現(xiàn)象[11], 但對于如?0.04?ψ??0.01的極弱分離比, 人們并沒有發(fā)現(xiàn)遲滯現(xiàn)象, 認為過渡是光滑的[5].造成這種差異的原因之一是從Blinking分支到LTW分支的跳動可能很小, 實驗無法觀察到[11]; 另一方面, 考慮到數(shù)值方法的低分辨率, 數(shù)值模擬中可能將其歸結(jié)為一種數(shù)值誤差[8].本文利用文獻[19,24]中的高精度高分辨率數(shù)值方法求解流體力學基本方程組, 對極弱分離比 ψ =?0.02 下混合流體RB對流進行直接數(shù)值模擬, 給出解的分岔圖, 并探討系統(tǒng)沿著非線性分支出現(xiàn)的各種行波對流斑圖及其演化過程.
2 數(shù)學物理模型與數(shù)值方法
2.1 數(shù)學物理模型
一薄層雙流體混合物(如酒精與水)封入長為L, 高為 d的矩形腔體之中(長高比記為 Γ =L/d ),如圖1所示, 考慮二維區(qū)域 ( x,z)∈[0,L]×[0,d]上的對流運動.整個裝置處在一個均勻的重力場g=?gez中, g 為重力加速度, 方向豎直向下, ez為 z 方向的單位矢量.腔體底部和頂部表面都保持均勻一致的溫度 T hot 和 T col , 且 T hot>Tcol.二者之間存在溫度差 ? T=Thot?Tcol, 它由一個反映浮力與黏性對比的特征量Rayleigh數(shù)來表征.這里 α 是熱膨脹系數(shù), κ 是熱擴散系數(shù), ν是動力黏性系數(shù).隨著 Ra 的增大, 浮力效應(yīng)突出,當 R a 增大到臨界值時, 系統(tǒng)中便發(fā)生了對流運動.
圖1 對流模型示意圖Fig.1.Sketch of the two-dimensional convection model.
基于布辛涅斯克(Boussinesq)假設(shè), 選取d,d2/κ, κ /d 和 ρ0κ2/d2分別為長度、時間、速度和壓力的特征尺度進行無量綱化, 并定義無量綱溫度和無量綱濃度如下
其中下標為0的量是對應(yīng)物理量的平均值, 則描述該問題的無量綱控制方程組為[24]:
其中 v (u,w),θ,c,p,t 分別為速度場, 溫度, 濃度, 壓力和時間; 方程組中除 Rayleigh 數(shù) Ra 外, 還包含了其他三個無量綱參數(shù), 即
分別為 Prandtl數(shù), Lewis 數(shù)和分離比.其中 ST為Soret系數(shù), β 和D分別是體積膨脹系數(shù)和溶質(zhì)擴散系數(shù).對于純流體, Rayleigh-Bénard 對流系統(tǒng)初始不穩(wěn)定的臨界Rayleigh數(shù)是=1708 , 為方便起見, 通常采用約化的Rayleigh數(shù)r=Ra/作為控制參數(shù).在室溫下, 酒精與水混合液的Lewis數(shù) Le 在 0.01 附近, Prandtl數(shù)介于 5 —20 之間.分離比 ψ 是表征流體非線性特性的參數(shù), 表示溫度場對濃度場的Soret耦合效應(yīng).對于室溫下酒精與水的混合物, ψ 值介于? 0.5—0.2 時, 實驗容易控制[6].本文選取與文獻[6?8]研究行波對流TW和LTW時相同的參數(shù), 即 P r=10,Le=0.01 ,考慮極微弱負分離比 ψ =?0.02 , 對長高比Γ=12的腔體中對流情況進行直接數(shù)值模擬.
求解方程組時必須給出合理的邊界條件.腔體所有壁面為無滑移, 濃度不可穿透; 上下壁面恒溫,左右壁面絕熱.相應(yīng)邊界條件的表達式如下:
其中 ? ? 表示腔體的四個壁面.
2.2 數(shù)值方法和特征參數(shù)
本文采用具有四階精度和高分辨率的緊致差分方法數(shù)值求解方程組(1)和(2), 該方法已成功用于我們以前的數(shù)值計算工作[19,24].該方法采用具有高分辨率的四階組合緊致迎風格式[19,31]離散非線性對流項, 利用四階對稱Padé緊致格式離散黏性項; 壓力泊松方程采用文獻[32]中的四階緊致差分方案進行離散; 使用多重網(wǎng)格方法進行計算以加快迭代過程.文獻[24]對數(shù)值方法的正確性和網(wǎng)格無關(guān)性等進行了驗證, 針對本文考慮的極弱分離比情況, 我們也進行了網(wǎng)格無關(guān)性檢驗, 發(fā)現(xiàn)241×21網(wǎng)格和精細網(wǎng)格 7 21×61 下特征參數(shù)(Nusselt數(shù) N u 、流體混合參數(shù) M和對流振幅|w|max)的最大相對誤差均小于3%.在保證計算準確的前提下, 為了減少計算量, 本文采用241×21的網(wǎng)格進行數(shù)值模擬.相應(yīng)地, 我們也進行了時間步長無關(guān)性檢驗, 在 r =1.13 時采用多個不同時間步長 ? t 進行了計算.比較發(fā)現(xiàn) ? t=4×10?5步長和小時間步長 ? t=1×10?7下各個特征參數(shù)的最大相對誤差均小于1%.于是選擇前者作為本次模擬研究的時間步長.
為了定量表征對流特性, 對模擬結(jié)果進行深入分析, 我們使用如下特征參數(shù):
1) 對流振幅: 以最大垂向速度| w |max來表征對流振幅的大小.
2) Nusselt 數(shù): 用于度量系統(tǒng)的傳熱特性, 定義為[6]
其中尖括號 ??? 表示在垂直方向上求和.Nu表示垂直通過流體層的熱通量與熱傳導狀態(tài)下的熱通量 之 比, 在 熱 傳 導 狀 態(tài) 下, 滿 足 N u=1 , 所 以Nu?1反映了對流對傳熱的貢獻.特別地，當取值上壁面(冷壁)時, (3)式簡化為
3) 流體混合參數(shù) (mixing parameter): 用于表征濃度場相對于傳導狀態(tài)時的變化, 其計算公式為[6]
其中尖括號和上劃線分別表示側(cè)向和垂向平均.
4)對于周期為 τ 的非定常流動, 考察上述特征參數(shù)在一個周期上的平均值 F ,
其中F代表 | w |max,Nu 和M.
3 結(jié)果與分析
3.1 解的分岔
對于本文討論的負分離比 ψ =?0.02 , 對流發(fā)生的臨界Rayleigh數(shù)為 rc=1.035 , 傳導狀態(tài)的首次不穩(wěn)定為振蕩不穩(wěn)定, 這種不穩(wěn)定導致了一個亞臨界分岔[1,33](當 r
圖2 ψ =?0.02 時 Nusselt數(shù) N u?1 關(guān) 于 Rayleigh 數(shù)r的分岔曲線.SOC n 表示具有n個渦卷的SOC狀態(tài)Fig.2.(a) Bifurcation diagram for ψ =?0.02.(b) close-up view of the part of the bifurcation diagram delimited by the straight dashed lines depicted in (a).Where SOC n represents the SOC solutions with n rolls.
從對流臨界點 rc出發(fā), 不穩(wěn)定行波對流狀態(tài)分支向上彎曲與穩(wěn)定Blinking狀態(tài)分支在點處連接.沿著穩(wěn)定Blinking狀態(tài)分支,逐漸增大Rayleigh數(shù), Blinking狀態(tài)的對流強度逐 漸 增 大, 在時過渡到穩(wěn)定的LTW狀態(tài)(詳細討論在3.2小節(jié)); 繼續(xù)增大r, 隨著對流強度的增大, Nusselt數(shù)和對流振幅均逐漸增大, 系統(tǒng)在 r?=1.022 時過渡為含有12個對流渦卷、波數(shù)為3.14的臨界SOC狀態(tài)–SOC12.之后,若沿著 SOC12分支進一步增大 Rayleigh數(shù), 則SOC12分支經(jīng)數(shù)次分岔形成具有不同波數(shù)的SOC分支, 這與弱分離比 ψ =?0.1 下有相似的結(jié)論[24].若 從 r?出 發(fā) , 沿 著 SOC12分 支 逐 漸 減 小Rayleigh 數(shù), 則 Nusselt數(shù)隨之減小, 但系統(tǒng)仍處于穩(wěn)定的SOC12狀態(tài), 直到SOC狀態(tài)的鞍結(jié)分岔點在之下, 隨著對流振幅的急劇減小, 系統(tǒng)最終回到了傳導狀態(tài).
對流發(fā)生的臨界Rayleigh數(shù) rc、SOC狀態(tài)的鞍結(jié)分岔點、LTW向SOC狀態(tài)過渡點 r?等由表1 給出.為便于比較, 我們給出了 ψ =?0.1 下的結(jié)果.與 ψ =?0.1 時不同, 極弱分離比? 0.02 下不存在穩(wěn)定TW狀態(tài), 且在SOC12分支下端不存在UTW狀態(tài).然而, 此分離比下存在Blinking狀態(tài)的解, 該狀態(tài)穩(wěn)定的 Rayleigh數(shù)范圍為1.013?r<1.0172, 位于對流發(fā)生的臨界Rayleigh數(shù) rc=1.035 之下的亞臨界區(qū)域.沿 Blinking狀態(tài)分支向下, 流動從Blinking狀態(tài)過渡到傳導狀態(tài),沿此分支向上則成長為LTW狀態(tài).LTW狀態(tài)位于 對 流 臨 界 Rayleigh數(shù) rc之 下, 其 存 在 的Rayleigh 數(shù)范圍為 ? r=0.005 , 較 ψ =?0.10 時更窄.從 LTW狀態(tài)向下到 Blinking狀態(tài)和從Blinking向上到LTW狀態(tài)過渡的Rayleigh數(shù)是不相等的, 表明二者之間過渡存在遲滯現(xiàn)象.
表1 分 離 比 ψ =?0.10 和 –0.02 時 , 各 狀 態(tài) 臨 界Rayleigh數(shù)的比較Table 1.Comparison of critical Rayleigh numbers for each state, ψ =?0.10 and? 0.02.
3.2 交替閃爍(Blinking)狀態(tài)
這里討論極弱分離比下的穩(wěn)定Blinking狀態(tài),重點關(guān)注Blinking形成與穩(wěn)定機理、閃動頻率和行波頻率隨Rayleigh數(shù)變化以及向LTW狀態(tài)過渡.
3.2.1 Blinking 狀態(tài)的時空結(jié)構(gòu)
在 r =1.015 時, 給溫度場施加如下初始微小擾動[24]:
速度和濃度初始值均為零, 從 x0=2Γ/3 的非對稱擾動開始, 流場經(jīng)長時間的演化和發(fā)展形成了穩(wěn)定的Blinking狀態(tài), 其流場的時空結(jié)構(gòu)如圖3(a)所示.可以看到, 隨著時間的發(fā)展, 流場中左行波和右行波交替成長和衰落, 斑圖結(jié)構(gòu)由左行波和右行波交替控制.當左行波逐漸加強時, 缺陷(左行波和右行波的連接處)的中心向腔體右側(cè)移動, 右行波的成長空間被壓縮, 強度逐漸減弱; 當缺陷的中心靠近右端壁時, 在壁面的反射作用下發(fā)生轉(zhuǎn)向后向左側(cè)移動; 此后右行波逐漸成長而左行波逐漸減弱, 直到缺陷中心靠近左端壁; 然后在左端壁面的反射作用下再次發(fā)生轉(zhuǎn)向, 進入下一個循環(huán), 形成了左右閃動的對流現(xiàn)象.從觀測點一 ( 0.13Γ,0.5) 處速度w隨時間的變化(圖3(b)) 可以看出, 伴隨著對流振幅的逐漸增大流場經(jīng)歷了長時間(?t≈3500) 的對傳波 (counterpropagating waves, CPW)狀態(tài), 當對流達到一定強度便轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的Blinking狀態(tài).相應(yīng)的功率譜密度 (圖3(c)) 表明Blinking狀態(tài)具有兩個主頻, 即閃動頻率 ω1和行波頻率 ω2.
圖4給出了 4 000?t?4600 時段內(nèi)兩個觀測點處垂向速度的變化情況.靠近左側(cè)壁面的觀測點一和靠近右側(cè)壁面觀測點二 ( 0.87Γ,0.5) 的速度w分別反映了左行波和右行波振幅的變化情況.可以看到, 左行波的振幅增加的時段對應(yīng)于右行波的振幅衰減的時段, 反之亦然.在左行波振幅較大的時段, 流場主要由左行波控制, 腔體的左半邊對流較強; 相應(yīng)地, 在右行波振幅較大的時段, 流場主要由右行波控制, 腔體的右半邊對流較強.
圖3 r =1.015 時 (a) 流場時空結(jié)構(gòu), (b) w (0.13Γ,0.5) 的時間序列和 (c)功率譜密度Fig.3.(a) Spatio-temporal structure, (b) the time series of w (0.13Γ,0.5) and (c) power spectral density for r =1.015.
圖4 r =1.015 時, 兩個觀測點處垂向速度 w 隨時間的發(fā)展Fig.4.The time series of the vertical velocity w at two monitoring points (a) ( 0.13Γ,0.5) and (b) ( 0.87Γ,0.5) for r =1.015.
3.2.2 Blinking 狀態(tài)的特性
前人研究結(jié)果表明, 兩端壁面的反射作用在形成和保持Blinking狀態(tài)中起到了一定的作用, 那么, 端壁反射作用是不是惟一原因, 有沒有其他因素在起作用呢？我們知道, 前述 r =1.015 時Blinking狀態(tài)是從不對稱初始擾動出發(fā)計算得到的, 此時我們會想到不對稱初始擾動或許是形成Blinking狀態(tài)的原因之一.為了證實這一點, 在相同的Rayleigh數(shù)下, 我們從對稱的擾動(即在(6)式中取 x0=Γ/2 )開始計算, 最終獲得了與非對稱擾動初值時相同的Blinking狀態(tài).但是當r=1.013時(為Blinking狀態(tài)穩(wěn)定區(qū)域下端點),結(jié)果卻不同: 從非對稱擾動出發(fā)可獲得穩(wěn)定的Blinking狀態(tài), 而對稱初始擾動未能發(fā)展起來, 流場回到了傳導狀態(tài).由此可見, 在Blinking狀態(tài)存在的Rayleigh數(shù)范圍的邊界附近, 非對稱的初始條件是誘發(fā)Blinking的原因之一, 在該范圍的內(nèi)部, 其誘發(fā)作用減弱.在獲得穩(wěn)定的Blinking狀態(tài)后, 若改變兩側(cè)壁邊界條件為周期性邊界條件后繼續(xù)計算, 流場便回到了傳導狀態(tài), 這表明兩端壁面反射作用是維持Blinking狀態(tài)的重要原因[9,11].
圖5給出了 r =1.0171 時Blinking和LTW兩種狀態(tài)中, 腔體水平中心線上瞬時垂向速度、溫度和濃度波的波形, 以及濃度場斑圖結(jié)構(gòu).可以看出,兩種狀態(tài)濃度波與速度波和溫度波之間均存在相位差, 這是導致波動向前傳播的直接原因.圖5(a)和圖5(c)為Blinking狀態(tài)行波向左壁面?zhèn)鞑サ那樾? 此時處于對流成長的中間階段, 其對流強度依然明顯較弱, 與LTW狀態(tài)的強非線性對流結(jié)構(gòu)(圖5(b)和圖5(d), 其濃度波為帶尖角的臺型結(jié)構(gòu), 且其振幅遠大于Blinking狀態(tài)的振幅)不同,是一種弱非線性結(jié)構(gòu).有趣的是, 由于此Rayleigh數(shù)位于Blinking狀態(tài)穩(wěn)定區(qū)域的上界附近, 行波成長起來后最強處可達到LTW狀態(tài)的水平, 其濃度波形具有與LTW狀態(tài)類似的臺型結(jié)構(gòu), 但該狀態(tài)極不穩(wěn)定, 對流振幅迅速衰減, 之后又再次成長.
在Blinking狀態(tài)穩(wěn)定的Rayleigh數(shù)范圍內(nèi),其閃動頻率 ω1和行波頻率 ω2隨Rayleigh數(shù)的變化如圖6所示.為了比較, 圖6(b)中同時給出了LTW狀態(tài)行波頻率隨Rayleigh數(shù)的變化.隨著Rayleigh 數(shù) 的 增 大 , 閃 動 頻 率 ω1先 減 小 , 在Ra=1734.9(r≈1.01575)處取得極小值, 在此之后逐漸增大并在 R a=1735.8(r≈1.01628) 達到極大值, 最后再次減小.行波頻率 ω2隨 Rayleigh 數(shù)的增大開始緩慢遞減, 在 r =0.015 之后迅速減小, 行波傳播速度逐漸減緩.當Ra=1737.3(r≈1.0172)時, 行波不再左右閃動, 伴隨著行波頻率的再次調(diào)整, 系統(tǒng)從 Blinking 過渡到 LTW.過渡時, 行波頻率的變化是不連續(xù)的, 存在明顯的跳躍, 突然提升到1.5倍以上的水平 (如圖6(b)).
從Blinking到LTW狀態(tài)過渡時, Nusselt數(shù)也有明顯的跳躍, 如圖7所示.相比于強非線性的LTW狀態(tài), 弱非線性Blinking狀態(tài)的對流振幅相對較小, 對流強度較弱, 反映對流傳熱貢獻的Nusselt數(shù)較小.過渡時, 伴隨著對流振幅的急劇增長, 對流傳熱Nusselt數(shù)快速增大, 流動達到強非線性對流的水平并維持下來, 便形成了跳躍.通過大量的模擬計算和分析, 我們進一步發(fā)現(xiàn)從Blinking到LTW狀態(tài)的過渡是不光滑的, 存在遲滯 現(xiàn) 象.沿 Blinking 分 支 增 大 Rayleigh 數(shù), 從Blinking狀態(tài)到LTW狀態(tài)的過渡點為 r =1.0172 ,而沿LTW分支減小Rayleigh數(shù)直到 r =1.0171 ,系統(tǒng)才從LTW過渡到Blinking狀態(tài).可以看到,這種滯后非常微小, 僅為 ? Ra～ 10?1, 以致在實驗中未能觀察到[5].可以預測, 在充分小的分離比下,Blinking和LTW狀態(tài)之間過渡的遲滯現(xiàn)象就會消失, 從而實現(xiàn)光滑過渡.
圖5 r =1.0171 時, Blinking 狀態(tài)與 LTW 狀態(tài)流場典型波形和濃度場的比較Fig.5.Comparison of the lateral profiles and concentration fields between the Blinking and LTW states at r =1.0171 : (a) The lateral profile and (c) concentration field of the Blinking state; (b) The lateral profile and (d) concentration field of the LTW state.
圖7 Blinking 和 LTW 狀態(tài)的 N u?1 隨 r的變化情況.(b)為 (a)中虛線標注矩形區(qū)域的局部放大Fig.7.The variation of N u?1 of the Blinking and LTW states as a function of r.(b) Close-up view of the part delimited by the straight dashed lines depicted in (a).
3.3 LTW狀態(tài)
本研究獲得的LTW狀態(tài)的流場結(jié)構(gòu)如圖8所示, 它是一種行波前緣與壁面接觸(稱為Wallattached, LTW)[24]的局部行波對流狀態(tài), 其對流區(qū)域?qū)挾燃s為 9.0 , 不隨Rayleigh數(shù)改變而變化.行波傳播方向可能是向左也可能向右, 這依賴于流場的初始結(jié)構(gòu), 但兩者Nusselt數(shù) N u 、混合參數(shù)M、振幅 | w |max及行波頻率等特征參數(shù)完全相等, 在分岔圖圖2中不做區(qū)分.事實上, 將左(右)行LTW狀態(tài)的解沿 Γ /2 做對稱投影 x ? Γ?x , 即可獲得相應(yīng)的右(左)行LTW狀態(tài).由于濃度場和速度場之間存在相位差, 從而導致了一個覆蓋整個對流區(qū)域的大尺度時均濃度環(huán)流, 在前緣和壁面之間形成了一個與大尺度環(huán)流反向的二次環(huán)流(圖8(b)和圖8(c)).大尺度濃度環(huán)流引起的濃度再分配使得LTW狀態(tài)穩(wěn)定下來; 反向二次環(huán)流降低了行波對流的速度, 在環(huán)形實驗裝置中(計算中為周期性邊界), 它降低了局部對流區(qū)域整體漂移的群速度.關(guān)于LTW狀態(tài)的穩(wěn)定機理等前人已做了大量研究, 我們的結(jié)論與前人并無明顯不同, 本文不再贅述.
3.4 SOC狀態(tài)
3.4.1 SOC12狀態(tài)的形成
圖8 LTW 狀態(tài)的流場結(jié)構(gòu)Fig.8.Structures of the flow field of LTW state: (a) Spatio-temporal structure; (b) a large-scale concentration current; (c) a transient structure of the concentration field.
圖9 r =1.13 時流場時空發(fā)展和典型時刻的瞬時結(jié)構(gòu)Fig.9.The spatio-temporal development and transient structures of the flow field at typical times for r =1.13.
從零場開始計算, 在 r =1.13 時我們獲得了臨界SOC狀態(tài)–SOC12.圖9(a)給出了腔體水平中心線上垂向速度的時空結(jié)構(gòu), 展示了對流從零場開始到發(fā)展為SOC12狀態(tài)的整個過程, 幾個關(guān)鍵時刻的流場瞬時結(jié)構(gòu)如圖9(b)所示.流場瞬時結(jié)構(gòu)為流線和溫度擾動(溫度值 θ 減去熱傳導狀態(tài)的解,表現(xiàn)了溫度偏離傳導狀態(tài)的大小)云圖的疊加圖,其中實(點)線為正(負)值, 對應(yīng)渦卷逆(順)時針旋轉(zhuǎn), 粗虛線標出了腔體中心 x =Γ/2.從初始零場開始, 隨著對流振幅的線性增長, 大約到了t=30時, 腔體中心位置的渦卷率先發(fā)展起來并逐漸向兩側(cè)擴散, 形成了微弱的CPW狀態(tài), 該狀態(tài)的中心駐波位于腔體的中心; 伴隨著對流振幅的持續(xù)增長, CPW 狀態(tài)持續(xù)到 t ≈40 ; 之后, 壁面反射波與CPW的左行和右行波在壁面附近產(chǎn)生碰撞和抵消, 使得兩側(cè)壁面附近的對流強度降低, 而CPW中心駐波得到了很大的發(fā)展( t =46 ); 壁面反射波經(jīng)過碰撞后進一步向腔體中心傳播, 與駐波進行疊加并在中心處湮滅, 使得腔體內(nèi)對流渦卷數(shù)量減少, 在 4 2 對流傳熱Nusselt數(shù)和流體混合參數(shù)M隨時間的發(fā)展如圖10(a)所示, 觀測點一和觀測點三(0.5Γ,0.5)處垂向速度的時間序列由圖10(b)給出.在SOC12狀態(tài)的形成過程中, Nusselt數(shù)曲線整體上呈現(xiàn)先振蕩增長后振蕩衰減之后再快速增長的變化形式, 期間的振蕩由反射波與CPW波之間競爭(有抵消也有疊加)所致; 當二者這種競爭結(jié)束后, 腔體中對流渦卷快速發(fā)展起來, 系統(tǒng)在短時間內(nèi)達到飽和狀態(tài)SOC12, 對應(yīng)于 t >50 后Nusselt數(shù)曲線的指數(shù)增長.相應(yīng)地, 對流快速增強使得流體的混摻程度升高, M值迅速減小并最終達到一固定值. 因SOC12是偶宇稱的, 該狀態(tài)的解滿足對稱性[34]Rx:(u,w,θ,c)(x,z)=(?u,w,θ,c) ( Γ?x,z) ,觀測點一和觀測點二的垂向速度w相等, 故這里只給出觀測點一的時間序列.觀測點一靠近壁面(如圖10(b)上), 該點處垂向速度的振幅先增長后衰減, 分別對應(yīng)于CPW波的線性增長和壁面附近反射波與CPW波的碰撞, 振蕩則反映了行波經(jīng)過觀測點時相位和振幅的變化.振蕩結(jié)束時, 在腔體中心區(qū)域形成了由兩對渦卷構(gòu)成的駐波結(jié)構(gòu), 其他區(qū)域處于熱傳導水平, 如圖9(b) 所示 t =50 時.之后對流渦卷只在原地滾動, 不再向外移動; 由于沒有競爭, 駐波對流振幅快速增長, 這些原地滾動的渦卷逐漸帶動其附近流體發(fā)生對流, 使其內(nèi)側(cè)(靠近腔體中心)渦卷得到增強從而達到飽和狀態(tài)(渦卷寬度為1, 一個波長內(nèi)包含一對渦卷), 在其外側(cè)則產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)方向與之相反的新渦卷; 新渦卷逐漸成長又帶動該新渦卷附近流體產(chǎn)生對流, 如此重復直至對流渦卷填滿整個腔體.新渦卷從產(chǎn)生到達到最終飽和狀態(tài)的成長過程中, 由于新渦卷逐漸變大,它與舊渦卷之間的擠壓必然導致其自身向外側(cè)移動, 即渦卷在壯大的同時伴隨著移動.另外, 觀測點一的垂向速度序列顯示, 在振蕩過后出現(xiàn)了一個單獨波動, 這是因為: 大約在 t =65 時刻, 該觀測點右側(cè)出現(xiàn)了順時針旋轉(zhuǎn)的新渦卷, 此時觀測點處于該渦卷的左側(cè)邊緣, 垂向速度w方向向上(w>0)但其值很小; 隨著該渦卷的成長和向左移動,w在 t ≈73 時刻達到最大值; 渦卷進一步向左移動,其中心逐漸移向觀測點, 于是w逐漸減小, 并在中心經(jīng)過觀測點時( t ≈80.6 時刻)為 w =0 , 期間該渦卷左側(cè)又產(chǎn)生了逆時針旋轉(zhuǎn)的渦卷; 原順時針渦卷中心經(jīng)過觀測點后, 觀測點處垂向速度方向向下 ( w <0 ), 在 t ≈84 時刻 w 達到極小值; 之后左側(cè)新產(chǎn)生的逆時針渦卷逐漸成長并接觸到左側(cè)壁面, 固壁的約束作用使其在成長過程中將原來的順時針渦卷向右擠壓, 原順時針渦卷改變方向, 向右移動且中心經(jīng)過觀測點后固定下來(觀測點最終位于該順時針渦卷的中心略偏左處), 對應(yīng)于垂向速度w經(jīng)過調(diào)諧后達到一固定值 w =0.166.觀測點三位于幾何中心, 該點處垂向速度的變化較為簡單, 其振幅先振蕩增長后衰減而后再增長, 最后達到一固定水平: 開始的增長體現(xiàn)了CPW中心駐波對流振幅的線性增長; 衰減是由反射波對中心駐波的干擾造成的, 對應(yīng)于 4 2 圖10 r =1.13 時 (a) N u?1 和 M 的變化及 (b) 觀測點處垂向速度的時間序列Fig.10.The variation of (a) N u?1 , M, and (b) the vertical velocity at the monitoring points for r =1.13. 3.4.2 SOC12狀態(tài)的特性 保持 r =1.13 , 到 t =358.56 時刻, 我們得到了穩(wěn)定的 SOC12狀態(tài), 其流場結(jié)構(gòu)如圖11所示, 通過對比垂向速度、溫度和濃度的波形發(fā)現(xiàn), 三者是同相位的, 不存在相位差; 濃度場的波形呈現(xiàn)有尖角的特殊情形, 沿腔體的長度方向, 尖角呈現(xiàn)向上向下的交替分布.尖角位于相鄰對流渦卷的交界面處, 尖角向上對應(yīng)左側(cè)順時針(左順)和右側(cè)逆時針(右逆)的一對渦卷之間 (圖11(b)), 左順右逆的旋轉(zhuǎn)形式將腔體上部的低溫高濃度組分向下運輸,使該點的濃度高于、溫度低于其臨近區(qū)域.從波形圖也可以看出, 當溫度場內(nèi)出現(xiàn)波峰時, 濃度場內(nèi)即出現(xiàn)波谷, 這一特點與溫度高的地方濃度反而低的現(xiàn)象是符合的.從濃度場的分布來看(圖11(c)),流體得到了充分混合, 濃度均勻分布. 模擬發(fā)現(xiàn), 沿著SOC12狀態(tài)分支逐漸增大Rayleigh數(shù)的過程中, 系統(tǒng)會經(jīng)歷數(shù)次分岔, 并產(chǎn)生多條具有不同渦卷數(shù)的SOC狀態(tài).這些SOC狀態(tài)在波數(shù)-Rayleigh數(shù)空間 ( k,r) 上較大的范圍內(nèi)共存, 其穩(wěn)定性及向混沌狀態(tài)的過渡等另文討論.不同分離比下, SOC12狀態(tài) Nusselt數(shù)關(guān)于Rayleigh數(shù)變化如圖12所示(注意: 在同一坐標尺度下兩條曲線靠得很近, ψ =?0.02 曲線略位于ψ=?0.1的上方.為便于區(qū)分, 將 ψ =?0.02 曲線向左平移了0.5個r單位, 其橫軸坐標數(shù)值標在圖上方).可以看到, Nusselt數(shù)隨 Rayleigh 數(shù)指數(shù)增長, 當 r ∈[1.008,7.59]時, SOC12狀態(tài)是穩(wěn)定的; 在此范圍之上, 對流發(fā)生二次不穩(wěn)定并過渡為混沌狀態(tài), 不存在與之對應(yīng)的穩(wěn)定UTW狀態(tài).這與分離比 ψ =?0.1 下的結(jié)論不同: 此分離比下的SOC12狀態(tài)在 1.064?r?5.69 內(nèi)穩(wěn)定, 在該區(qū)域的兩端均存在穩(wěn)定的UTW狀態(tài). 圖11 r =1.13 時 SOC12 狀態(tài)的流場結(jié)構(gòu)Fig.11.The structure of flow field for the SOC 12 state at r=1.13: (a) The lateral profile on the horizontal centerline of the cavity; (b) the streamlines and the structure of the associated temperature field; (c) the structure of the concentration field. 圖12 SOC 12 狀態(tài) Nusselt數(shù)隨 Rayleigh 數(shù)的變化Fig.12.The variation of N u with r for the SOC 12 state. 本文利用高精度數(shù)值方法求解流體力學基本方程, 模擬研究了極弱分離比 ψ =?0.02 下, 長高比 Γ =12 的腔體內(nèi)混合流體RB對流解的分岔,Blinking和SOC12等對流結(jié)構(gòu)的形成與特性, 以及各種對流狀態(tài)之間的過渡.研究發(fā)現(xiàn)Blinking狀態(tài)僅在較小的相對Rayleigh數(shù)范圍?r=0.004內(nèi)穩(wěn)定; 從Blinking狀態(tài)向LTW狀態(tài)的過渡存在遲滯現(xiàn)象, 但這種滯后非常微小, 僅為 ? Ra～10?1,可能實驗中未能發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象, 但Kolodner和Surko[5]預測了極微弱分離比下可能存在遲滯現(xiàn)象.本結(jié)果從數(shù)值計算的角度說明了預測是正確的, 遲滯現(xiàn)象是存在的, 當然這一結(jié)論還需實驗和理論的進一步驗證.系統(tǒng)在 Blinking狀態(tài)和LTW狀態(tài)之間過渡時, 行波頻率、對流振幅以及Nusselt數(shù)等特征參數(shù)的變化是不連續(xù)的, 有明顯的跳躍.在Blinking狀態(tài)存在的Rayleigh數(shù)區(qū)間下界附近, 外部施加的不對稱初始擾動是形成該狀態(tài)的誘因, 而在其他區(qū)域, 系統(tǒng)的振蕩不穩(wěn)定足以導致Blinking狀態(tài)的形成.沿對流分岔的定常對流SOC分支, 隨著Rayleigh數(shù)的增大, 臨界SOC12狀態(tài)經(jīng)歷數(shù)次分岔, 形成多條具有不同波數(shù)的SOC狀態(tài)的分支, 最終過渡到混沌狀態(tài).與分離比ψ=?0.1時[24]不同, SOC12分支的兩端均不存在穩(wěn)定UTW狀態(tài).
4 結(jié) 論
