《最短路徑問題》一課的教學(xué)與思考

孫偉 蔣廣權(quán)

《最短路徑問題》這節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對(duì)稱研究某些最短路徑問題。怎樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活思維呢？

一、 創(chuàng)設(shè)情境，感知數(shù)學(xué)思想

活動(dòng)1 展示問題1： 如圖1，我快遞公司每天要派快遞員從北雅出發(fā)前往開福一中送貨，途經(jīng)一條筆直的芙蓉北路。想在芙蓉北路上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，建在什么地方，可使路徑最短？

師生活動(dòng)： 學(xué)生嘗試將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將芙蓉北路抽象為一條直線，并相互補(bǔ)充，最后師生達(dá)成共識(shí)——已知： 一條直線l和直線異側(cè)兩點(diǎn)A、B。求作： 直線l上一點(diǎn)C，使得AC+CB最小。

點(diǎn)評(píng)： 情境設(shè)計(jì)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了輕松愉悅的課堂氛圍，激活了學(xué)生思維；將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生探究新知搭建了臺(tái)階。

二、 探究新知，體會(huì)數(shù)學(xué)思想

活動(dòng)2 出示課件： 如圖2，快遞公司想在芙蓉北路上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，快遞員每天從中轉(zhuǎn)站出發(fā)前往北雅、長雅兩地，請(qǐng)問中轉(zhuǎn)站建在什么地方，可使路徑最短？

師生活動(dòng)： 達(dá)成共識(shí)——已知： 一條直線l和直線同側(cè)兩點(diǎn)A、B。求作： 直線l上一點(diǎn)C，使得AC+CB最小。

師生討論： 是否存在這樣的點(diǎn)C？有多少個(gè)這樣的點(diǎn)？教師引導(dǎo)學(xué)生使用幾何畫板驗(yàn)證。追問： 如果不用幾何畫板，有沒有辦法找到這個(gè)點(diǎn)？如果有，怎么找？教師引導(dǎo)學(xué)生通過軸對(duì)稱的知識(shí)將同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題來解決，學(xué)生動(dòng)手操作。再次追問： 我們可以用什么知識(shí)來解釋它的正確性？

點(diǎn)評(píng)： 教師的二次追問，將新的問題轉(zhuǎn)化為原來熟知的問題，巧妙地將轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想內(nèi)化在學(xué)生心中。

三、 鞏固練習(xí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想

活動(dòng)3 出示課件： 如圖6（圖略），在等邊△ABC中，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，AF是BC邊上的高，在AF上求作一點(diǎn)P使得△BEP周長最小。

學(xué)生完成后，進(jìn)行交流，師生點(diǎn)評(píng)。

點(diǎn)評(píng)： 學(xué)生又一次在探索問題中強(qiáng)化對(duì)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)。

四、 探究拓展，深化數(shù)學(xué)思想

活動(dòng)4 設(shè)置情境： 中歐班列線路規(guī)劃將經(jīng)過兩個(gè)村莊A，B，兩村莊之間有一條河，要在河上建設(shè)一座橋，使得列車在兩村莊之間所走的路徑AMNB最短，請(qǐng)問橋應(yīng)該建在哪個(gè)位置？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。圖略。）出示問題1： 從題目中能找到哪些已知條件？問題2： 如果不考慮路徑最短，橋的選址有多少種情況？問題3： 能否直接看出橋MN的位置選在哪里，AM+MN+NB最?。繂栴}4： 這個(gè)圖與我們前面所講的哪個(gè)圖形類似，有什么共同點(diǎn)？ 能否轉(zhuǎn)化成前面的問題？

師生活動(dòng)： 學(xué)生獨(dú)立思考，畫圖分析，組內(nèi)交流作法，全班展示成果。

點(diǎn)評(píng)： 學(xué)生經(jīng)過二次轉(zhuǎn)化，首先要將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其次，通過平移將復(fù)雜的最短路徑問題轉(zhuǎn)化為最原始的異側(cè)最短路徑問題。

五、 課堂小結(jié)，回歸生活

活動(dòng)5 課堂小結(jié)： 這節(jié)課我們解決了幾個(gè)問題？主要用到了什么數(shù)學(xué)知識(shí)，體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想，你還有什么疑惑？

六、 教學(xué)反思

好的課題學(xué)習(xí)課，要有貼近學(xué)生生活的情境設(shè)置，應(yīng)該指向社會(huì)生活，才能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。數(shù)學(xué)學(xué)科的課題學(xué)習(xí)的目的在于使學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、探究、推理、歸納等過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行探究，直至學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以利用軸對(duì)稱的方法將問題劃歸為已經(jīng)解決過的問題。從實(shí)際上課的效果可以發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生逐步具備了化歸的數(shù)學(xué)思想，比較順利地解決了這個(gè)問題。

（作者單位：湖南省長沙市開福區(qū)周南秀峰學(xué)校）