基于高等數(shù)學核心素養(yǎng)的教學設計
——以導數(shù)概念為例

曲元海，于梅菊，許 晶，索春鳳，陶玉杰，徐 姜

2016 年9 月13 日，中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究成果發(fā)布會在北京師范大學舉行.會議介紹了歷時三年對學生發(fā)展核心素養(yǎng)的研究成果，對學生發(fā)展核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、表現(xiàn)、實現(xiàn)途徑進行了說明.所謂核心素養(yǎng)，主要指學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力.中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)，以科學性、時代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎、自主發(fā)展、社會參與三個方面.具體表現(xiàn)為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，每個素養(yǎng)內(nèi)涵又細化為3個要點，共計18個觀察點.其后人們又提出正確價值觀、必備品格和關鍵能力，各個學科紛紛研究本學科在學生核心素養(yǎng)培育過程中所承擔的職能即學科核心素養(yǎng).2017年高中數(shù)學課程標準修訂過程中，提出6個數(shù)學核心素養(yǎng)，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.這六個內(nèi)容更像是從數(shù)學學科的關鍵能力這個角度來提出的.高等數(shù)學教育在核心素養(yǎng)方面也進行了理論上的一些探索，但在實踐方面還沒有具體實施.通過項目對高等數(shù)學核心素養(yǎng)進行深入的研究，將其概括為：以極限、微元法為核心思想，以微積分、極限運算為核心能力的素養(yǎng)，叫做高等數(shù)學核心素養(yǎng)［1］.如何在高等數(shù)學教學實踐中，圍繞數(shù)學核心素養(yǎng)進行設計實施，既要凸顯高等數(shù)學學科的素養(yǎng)又要滲透必備品格和正確價值觀，用課程思政這根主線把三者很好地結合.本文以高等數(shù)學導數(shù)概念一節(jié)為例來進行設計和分析，以期能給廣大同仁以啟示.

1 文化社會背景

數(shù)學教育家嚴士健說，應該從廣泛得多的角度向?qū)W生介紹數(shù)學思想、發(fā)生規(guī)律、背景.簡單說，就是要講來龍去脈［2］.為了達到這一點，就應該講清數(shù)學知識的背景.導數(shù)知識的歷史背景可以從文藝復興談起，文藝復興最先在意大利各城市興起，之后擴展到西歐各國，于16世紀達到頂峰，帶來一段科學與藝術革命，同時也帶來了經(jīng)濟的復蘇與發(fā)展.人們也遇到了難以逾越的問題亟需解決.具體概括為：由距離和時間的函數(shù)關系，求物體在任意時刻的速度和加速度，及其反問題；曲線的切線問題；函數(shù)的最大值和最小值問題；曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積等問題［3］.正是這些問題推動了新的思想方法的誕生——微積分.因此恩格斯說：“社會一旦有技術上的需要，則這種需要會比十所大學更能把科學推向前進.”簡單的幾句話，就把微積分的背景及數(shù)學來源于現(xiàn)實并服務于現(xiàn)實的觀點有理有據(jù)地表述清晰，數(shù)學思想方法的產(chǎn)生是有其特定的環(huán)境的，而本文要研究的導數(shù)恰恰可以用上面談到的問題來創(chuàng)設問題情境.

2 以極限思想助力導數(shù)概念的形成

2.1 創(chuàng)設問題情境

實例1 變速直線運動的瞬時速度.設質(zhì)點沿直線運動，其位移s是時間t的函數(shù)s=s(t).求質(zhì)點在運動過程中某一時刻t0的瞬時速度.

這是一個非常接地氣的問題，而且學生比較熟悉，但又似乎超出學生的知識范圍，能激起學生的思維火花.

實例2 曲線的切線問題.一條曲線，求其上一點的切線.

學生對切線的認識是中學接觸到的圓的切線，定義為與圓只有一個交點的直線叫圓的切線.這一定義僅僅對圓是適用的，對一般的曲線的切線，這樣定義就不科學了.如何定義曲線的切線，引起了學生認知的沖突.

2.2 抽象概括為共性的方法

在分析這兩個問題的處理方法時，瞬時速度是通過平均速度的極限；求切線的重點是求切線的斜率，然后通過點斜式即可求出切線的方程.在處理斜率所采取的方法是通過割線斜率的極限來獲得的.不同問題，但采取的方法是相同的，即都是通過一個極限完成的.通過物理和數(shù)學上兩個例子的分析，進而抽象出問題的本質(zhì)是計算函數(shù)的增量與自變量的增量的比值，當自變量的增量趨于零時，比值的極限問題.再進行進一步概括就是函數(shù)在某一點的導數(shù)的概念.

在分析上述兩個例子的過程中，隱含著重要的哲學思想，從平均速度到瞬時速度，從割線斜率到切線斜率，包含著量變到質(zhì)變的哲學觀點，也體現(xiàn)著概念之間的聯(lián)系的觀點［4］.教學時要讓學生感悟和體會，對學生形成正確的世界觀很有意義.

之所以通過不同學科的例子來抽象概括出導數(shù)的定義，是為了讓學生經(jīng)歷比較分析抽象概括等思維過程，感受數(shù)學來源于現(xiàn)實，服務于現(xiàn)實，同時學生能從情境中體會數(shù)學概念的形成過程，并能更深刻地理解概念，能更好地應用概念.這樣做也符合學生的認知規(guī)律，也能更好地讓學生知道知識的來龍去脈，掌握學習概念的基本過程，學會學習.

2.3 運用極限思想定義導數(shù)

抽象概括導數(shù)定義：設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0取得增量Δx（點x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時，相應地，因變量取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；若存在，那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)［5］，記為f′(x0)，即

2.4 剖析導數(shù)概念內(nèi)涵

給出定義后，接著對該定義進行幾點說明：

（1）函數(shù)在某鄰域有定義，同時保證當自變量x在x0取得增Δx（點x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)）.

（2）計算函數(shù)增量與自變量增量比值的極限.

（3）極限必須存在（當然在某點的導數(shù)是個具體的數(shù)值）.

關于導數(shù)的數(shù)學符號表示，牛頓的老師巴羅就曾在他的著作《微分三角形》中引用了a:e來表示，后來牛頓用x˙，y˙來表示，人們稱之為點主義［6］.后來萊布尼茲用不久又表示為而y′這種表示方法是由法國大數(shù)學家拉格朗日在1797 年第一個給出的，沿用至今.通過簡要的語言介紹導數(shù)的符號表示，可以讓學生感受數(shù)學符號發(fā)展的歷史，將數(shù)學文化的元素潤物無聲地浸透到數(shù)學課堂，使學生受到數(shù)學文化的熏陶，豐滿了數(shù)學教學的內(nèi)涵.

2.5 拓展導數(shù)的思想文化

在講述導數(shù)概念的過程中，可以穿插關于微積分發(fā)明權之爭的歷史事實.牛頓從運動學的角度給出導數(shù)的定義，萊布尼茲從幾何學的角度給出導數(shù)的概念.歷史上關于誰先發(fā)明了微積分引起了一場曠日持久的論戰(zhàn).牛頓、萊布尼茲以及他們的追隨者相互之間進行口誅筆伐，這一無為的論戰(zhàn)持續(xù)了二十多年.現(xiàn)在可以說，牛頓和萊布尼茲各自獨立地發(fā)明了微積分，這也印證了這句話，紫羅蘭在世界各地都能開放.牛頓更多地關心建立微積分的體系和基本方法，而萊布尼茲則致力于建立運算公式和創(chuàng)立微積分的符號.可惜，當時迷信牛頓的崇拜者，夾雜著狹隘的民族偏見，遲遲不接受萊布尼茲創(chuàng)造的符號及其方法，固步自封，不對外交流，阻礙了英國分析數(shù)學的發(fā)展，結果使得其本已領先的數(shù)學水平很快就落后于歐洲大陸.文明因交流而多彩，文明因互鑒而豐富，歷史證明盲目排外的做法是錯誤的.通過這個所謂維權之爭，讓學生明白道理，一個國家或個人離不開對一切先進科學技術、文化的學習和交流，培養(yǎng)學生的國際認同感，要有國際視野，本土情懷，這也是學生素養(yǎng)的一個重要組成部分.你吃的是豬，長出來的是你的肉，而不可能是豬肉；你喝的是牛奶，長出來的還是你的肉而不是牛肉.其中的道理值得人們思考.

3 通過極限運算強化導數(shù)概念的應用

學習概念的最終目的還是為了應用，在設計導數(shù)概念應用過程中，在注重計算之外（函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限），要重點圍繞導數(shù)概念的本質(zhì)，在實際問題中，凡是需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問題，即所謂函數(shù)的變化率問題，就是導數(shù)的用武之地.不管問題是物理上的或是數(shù)學上的以及其他方面的，這樣學生能清楚感受到導數(shù)概念應用的一般性，同時能更準確更深刻地理解導數(shù)概念的內(nèi)涵.

首先，按照導數(shù)的定義計算常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)，鞏固訓練學生對定義應用及其計算能力，這也是數(shù)學核心素養(yǎng)的一個方面.選取這些函數(shù)也是為后面的導數(shù)法則學習奠定基礎.

其次，對導數(shù)的幾何意義也要重點探究.因為它是導數(shù)概念在數(shù)學上的一個重要應用，也體現(xiàn)著數(shù)學上的數(shù)形結合思想，因此值得關注.

最后，應該設計一些實際問題，讓學生體會導數(shù)概念應用的具體情境.如，物體繞定軸旋轉，如果旋轉是非勻速的，如何求物體在某時刻的角速度問題；物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時，物體就不斷冷卻.物體的溫度與時間具有一種函數(shù)關系，如何求物體在某時刻的冷卻速度問題；工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的成本函數(shù)已知，如何求邊際成本問題等.

4 以極限思想為核心建立概念間聯(lián)系

對數(shù)學概念的認知應該把它放到一個知識系統(tǒng)中去貯存，建立概念之間的聯(lián)系，這樣才能更好地認識概念、貯存概念、提取概念.

對導數(shù)概念的學習也要建立它與其他相關概念之間的聯(lián)系.如，連續(xù)這個概念是通過極限來定義的，是通過函數(shù)的增量在自變量增量趨于零時的極限為零來定義的；導數(shù)的定義也是通過一個極限來定義的.它們之間是什么關系呢？經(jīng)過討論可以得出：對一元函數(shù)來說，可導必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導.以及與后面要學習的可微的關系.這樣就建立起如下概念之間的聯(lián)系：極限、連續(xù)、可導、可微.

一元函數(shù)可微?可導?連續(xù)?極限存在；反過來不一定成立，這樣就形成了一個相關概念的體系.

綜上所述，在進行導數(shù)概念教學時，既要注重傳統(tǒng)意義上的概念的引入、概念的形成、概念的應用，也要注重在教學過程中植入數(shù)學文化的元素；既要圍繞數(shù)學學科的核心素養(yǎng)進行設計，也要隱含正確的價值觀和必備品格的要素.把課程思政的內(nèi)涵自然巧妙的融入進課程內(nèi)容，達到教書育人，讓學生全面和諧地發(fā)展.