AANA序列加權(quán)和的完全收斂性及完全矩收斂性

何其慧

完全收斂性是概率極限理論中非常重要的一個研究內(nèi)容，它不但可以通過B-C引理建立隨機變量的強大數(shù)律，也可以得到隨機變量加權(quán)和的收斂性質(zhì)及收斂速度.完全收斂性的概念由文獻［1］提出.文獻［2］引入了關(guān)于完全矩收斂性的概念.而且完全矩收斂是比完全收斂更強的一種收斂性質(zhì).

在古典概率論中，專家學者們大多假設(shè)隨機變量之間具有相互獨立的關(guān)系.在獨立關(guān)系下，關(guān)于隨機變量的完全收斂性和完全矩收斂性的研究已日趨完善.然而隨著經(jīng)濟社會的發(fā)展和研究的進一步深入，學者們發(fā)現(xiàn)這種假設(shè)在實際應(yīng)用中是不合理的，大多數(shù)據(jù)之間都存在一定的相依關(guān)系.因此，專家學者們相繼提出各種相依隨機變量的概念，其中比較著名的是由文獻［3］提出的負相協(xié)（NA）隨機變量.在此假設(shè)條件下，文獻［4］建立了關(guān)于NA 隨機變量加權(quán)和的完全收斂性的結(jié)果.

由上述結(jié)果可以得到隨機變量加權(quán)和的強大數(shù)律，因此，很多文獻都對其進行了推廣.如文獻［5-7］分別將定理中α＞γ，α=γ及α＜γ的情形推廣到ρ*-混合隨機變量序列；文獻［8］將定理推廣到NSD 序列下的情形.文獻［9］提出了漸近幾乎負相協(xié)（AANA）隨機變量的概念.稱隨機變量序列{ }Xn,n≥1 為AANA的，同時文獻［9］也給出了滿足AANA但不是NA的例子.

在適當?shù)臈l件下，本文將該定理的結(jié)果推廣到AANA 序列，得到更強的完全矩收斂性的結(jié)果，同時得到了關(guān)于AANA序列加權(quán)和的強大數(shù)律.在本文中，C代表正常數(shù)，在不同的地方可以取不同值，logx=lnmax(x,e)，其中，I(A)表示事件A的示性函數(shù)，a+=aI(a≥0) 且a+=-aI(a＜0).

1 預(yù)備知識

則對任意的ε＞0，都有

引理1［7］令{ani,1 ≤i≤n,n≥1} 為滿足（1）式的常數(shù)陣列，X為隨機變量.令其中常數(shù)γ＞0.則

引理2［7］令為滿足（1）式的常數(shù)陣列，X為隨機變量.令其中常數(shù)γ＞0.若q＞max(α,γ)，則

引理3［10］令為AANA 隨機變量序列，其混合系數(shù)為假設(shè)f1,f2,…都為單調(diào)非降（或非增）的連續(xù)函數(shù)，則仍然為AANA 隨機變量序列，且其混合系數(shù)為{u(n),n≥1} .

引理4［10］令{Xn,n≥1} 為均值為0的AANA隨機變量序列，其混合系數(shù)滿足存在q∈(3 ?2k-1,4 ?2k-1)，使得，其中k為正整數(shù).則存在僅依賴于q的正常數(shù)使得對所有的n≥1，

2 主要結(jié)果

定理2 令{X,Xn,n≥1} 為同分布的AANA序列，其混合系數(shù)滿足存在常數(shù)q∈(max{3 ?2k-1,2γ/α},4 ?2k-1)，使得，其中k為正整數(shù).{ani,1 ≤i≤n,n≥1} 為滿足（1）式的常數(shù)陣列，其 中0 ＜α≤2.記，其中γ＞0.當1 ＜α≤2 時，假設(shè)EX=0.如果（2）式成立，則對任意的ε＞0，（3）式成立.

由引理3 可知，{Yni,1 ≤i≤n,n≥1} 是混合系數(shù)仍然為{u(n),n≥1} 的AANA 隨機變量陣列.容易驗證

利用概率的次可加性，由Markov 不等式及引理1，得到

故下面只需證明I2＜∞.首先驗證

如果0 ＜α≤1，則由Markov 不等式，（1）式及（2）式，可得

如果1 ＜α≤2 ，則由EXi=0 ，（1）式及（2）式，可得

因 此（4）式 成 立，從 而 當n充 分 大 時

選取q∈(max{3 ?2k-1,2γ/α},4 ?2k-1)，其中k為正整數(shù).由Markov 不等式，引理4，Cr 不等式及Jensen不等式，可得

注意到q＞max(α,γ)，由Markov 不等式，引理1及引理2，可得

最后將證明I22＜∞.由（1）式，Markov 不等式，α≤2 及q＞2γ/α可得

注1：注意到若u(n)=0，條件顯然成立，此時定理2依然包含定理1的結(jié)果.在α＞γ和α=γ的情形下，關(guān)于混合系數(shù)的條件也只需滿足存在q∈(3,4) ，使得成立.

定理3 令{X,Xn,n≥1} 為同分布的AANA序列，其混合系數(shù)滿足存在常數(shù)q∈(max{3 ?2k-1,2γ/α},4 ?2k-1)，使得，其中k為正整數(shù)，{ani,1 ≤i≤n,n≥1} 為滿足（1）式的常數(shù)陣列.記，其中γ＞0.當1 ＜α≤2時，假設(shè)EX=0.如果（2）式成立，則對任意的ε＞0，

證明 不失一般性，假設(shè)ani≥0.注意到

由定理2 可知J1＜∞.因此要證明（5）式，只需要證明J2＜∞.對任意t≥1，記

由引理3 可知，{Zni,1 ≤i≤n,n≥1} 是混合系數(shù)仍然為{u(n),n≥1} 的AANA 隨機變量陣列.注意到

故

由概率的次可加性，引理1及（2）式，可得

對于J22，首先證明

如果0 ＜α≤1，則由Markov 不等式，（1）式及（2）式，可得

如果1 ＜α≤2 ，則由EXi=0 ，（1）式及（2）式，可得

因此當n充分大時，對任意的t≥1 ，都有

取q∈(max{3 ?2k-1,2γ/α},4 ?2k-1) ，其 中k為正整數(shù)，類似I2的處理可得

注意到

注意到q＞max(α,γ)，由引理2，得

由引理1得J?221＜∞，以及

最后證明J222＜∞.注意到αq/2γ＞1，由Cr不等式，Markov不等式及（1）式可得

注2：注意到

定理4 令{X,Xn,n≥1} 為一同分布的AANA序列，其混合系數(shù)滿足存在常數(shù)q∈(max{3 ?2k-1,2γ/α},4 ?2k-1)，使得，其中k為正整數(shù).為滿足的常數(shù)序列，0 ＜α≤2.記，其中γ＞0.當1 ＜α≤2 時假設(shè)EX=0.如果（2）式成立，則

證明 顯然由定理1的結(jié)果可得

從而由Borel-Cantelli引理，可得

另一方面，對任意的n≥1，總存在m，使得2m≤n＜2m+1，因而有

即（6）式成立.

3 結(jié)論

本文主要利用AANA 序列的極大值矩不等式，對AANA隨機變量加權(quán)和的完全收斂性進行了研究，并在相同的條件下進一步建立了完全矩收斂性的結(jié)果，改進且推廣了文獻［4］關(guān)于NA序列的結(jié)果.作為推論，還得到了AANA 序列加權(quán)和形式的強大數(shù)律，具有比較重要的理論意義和應(yīng)用價值.