非線性非自制系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性

席 敏

(貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)于信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

一個(gè)自動(dòng)系統(tǒng)要能正常工作，必須是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。因此，對于一個(gè)系統(tǒng)來說，研究穩(wěn)定性是很有意義的。所謂穩(wěn)定性指的就是當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然它的平衡被破壞，但在外擾消失以后，它仍有能力恢復(fù)或者接近原來的狀態(tài)工作。非線性系統(tǒng)指的就是系統(tǒng)不滿足齊次性和可加性，即不滿足疊加性的系統(tǒng)。而非自治系統(tǒng)指的就是系統(tǒng)與時(shí)間相關(guān)，系統(tǒng)是時(shí)變的。在實(shí)際工程中遇到的一些系統(tǒng)是非線性非自治的，因此研究非線性非自制系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重要意義。

對于非自治系統(tǒng)判斷其全局一致漸近穩(wěn)定以及全局漸近穩(wěn)定的方法主要是運(yùn)用Lyapunov構(gòu)造能量函數(shù)法，即第二方法，但其分析系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性只是充分條件，因此，本文主要引出K類函數(shù)來增加條件，由此將能量函數(shù)尋找的范圍縮小。

1 非線性非自制系統(tǒng)的定義及其穩(wěn)定性的判定定理

設(shè)非線性非自制系統(tǒng)的方程為：

(1)

(2)

設(shè)函數(shù)滿足||f(t,x)-f(t,y)||≤L||x-y||(L>0)是滿足Lipschitzt條件的，且函數(shù)是逐段連續(xù)的。由此(1)的解唯一。

1.1 相關(guān)定義

定義2定義系統(tǒng)

設(shè)D為原點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域，如果對于任何x∈D，當(dāng)x≠0時(shí)，有標(biāo)量函數(shù)V(x)>0且V(0)=0，則稱V(x)為正定函數(shù)。

定義4K類函數(shù)

一個(gè)連續(xù)函數(shù)l(t)：l(t):[0,l)→[0,∞)[0,l]稱之為K類函數(shù)，滿足

(1)該函數(shù)是嚴(yán)格遞增函數(shù)；(2)該函數(shù)滿足l(0)=0.

1.2 穩(wěn)定性判定定理

Lyapunov研究運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定有兩種方法，即第一方法和第二方法。第一方法是將非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近線性化，然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值或者極點(diǎn)分布及穩(wěn)定性來討論原來系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。第二方法是定義一個(gè)能量函數(shù)V和根據(jù)擾動(dòng)方程的計(jì)算直接判斷穩(wěn)定性[1]，第二方法相較第一方法運(yùn)用的更廣，是研究穩(wěn)定性的主要方法。

(1)V(x)是正定的，V(0)=0;

筆者認(rèn)為鄉(xiāng)村旅游的可持續(xù)發(fā)展重點(diǎn)在于游客對目的地的依戀與重游，持續(xù)不斷的市場需求是其發(fā)展的源泉與動(dòng)力，關(guān)鍵在于鄉(xiāng)愁情懷的培育與維護(hù)?！班l(xiāng)”本是一個(gè)地理概念，更是鄉(xiāng)愁的物質(zhì)載體，根植于人的內(nèi)心，在特定的時(shí)間空間條件下產(chǎn)生特定的記憶，凝聚一個(gè)地方的生活，是對文化認(rèn)同的情感投射，更是返璞歸真的心靈慰藉[10]15。從鄉(xiāng)愁到鄉(xiāng)居最后到鄉(xiāng)思的情感依戀造就了鄉(xiāng)村旅游的靈魂，推動(dòng)著鄉(xiāng)村旅游的可持續(xù)發(fā)展。

Ⅰ：k1·||x||p≤V(t,x)≤k2||x||p

Ⅰ：

L1(||x||)≤V(t,x)≤L2(||x||)

L1(?)，L2(?)是K類函數(shù)，對于所有(?x∈Rn,?t≥0)都成立。

L3(?)為K類函數(shù)，對于所有x∈Rn,?t≥0都成立。則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為全局漸近穩(wěn)定。

2 總結(jié)

本文對運(yùn)用Lyapunov函數(shù)第二法對非線性非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判定，但Lyapunov第二法分析系統(tǒng)穩(wěn)定在實(shí)際過程中有很大的難度，因?yàn)長yapunov函數(shù)是很難找到的。由此本文引出K類函數(shù)，將能量函數(shù)的構(gòu)造難度減小。