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    關(guān)于可解群是超可解群的一個(gè)結(jié)論

    2020-04-28 08:21:04曾利江
    關(guān)鍵詞:子群同構(gòu)結(jié)論

    曾利江

    (遵義師范學(xué)院 黔北文化與經(jīng)濟(jì)研究院,貴州 遵義 563006)

    有限群的性質(zhì)是極其豐富的,眾所周知,它在各個(gè)自然科學(xué)中起到了極其重要的作用,本文將討論滿足一定條件的一類可解群是超可解群的這一重要結(jié)論。

    群G為冪零的充要條件是G的每個(gè)極大子群在G內(nèi)正規(guī)[1-5]。將“正規(guī)”改為“擬正規(guī)”,“極大”改為“2-極大”,也可得到關(guān)于超可解群的類似結(jié)論,借助于次正規(guī)子群的性質(zhì)[6-8],證明了當(dāng)2-極大子群均為擬正規(guī)時(shí),群G是超可解的,當(dāng)群G的階的素因子個(gè)數(shù)不小于3時(shí),群G還是冪零的。當(dāng)然,這些術(shù)語下面都要給予確切的定義。

    1 定義及其討論

    定義1群G之子群H若與G的每個(gè)Sylow子群Gp可交換(即HGp=GpH),就叫H為G的擬正規(guī)子群。

    引理1設(shè)H為G的擬正規(guī)子群。于是

    (1)若θ為G的同態(tài)映射,則Hθ為Gθ的擬正規(guī)子群;

    (2)G≥K≥H,則H也是K的擬正規(guī)子群。

    證明(1)令N=kerθ,則Gθ?G/N,于是若ψ∈Sylp(Gθ),則因P∈Sylp(G)時(shí)?PN/N∈Sylp(G/N),故有τ∈Sylp(Gθ)使得在同構(gòu)關(guān)系Gθ?G/N中有τ?PN/N,然而因?yàn)榇嬖趃θ∈Gθ使得ψ=τgθ=(gθ)-1τgθ,而在同構(gòu)關(guān)系Gθ?G/N中有g(shù)θ?gN故又得同構(gòu)對(duì)應(yīng)

    τgθ?(PN/N)gN=PgN/N=SN/N,

    使得有S=Pg∈Sylp(G),即ψ?SN/N,因而Sθ?SN/N說明了ψ=Sθ,即Gθ的任意Sylow子群可視為G的某Sylow子群S的象Sθ。

    因H擬正規(guī)于G?HS=SH,故(HS)θ=(SH)θ?HθSθ=SθHθ,說明Hθ與Gθ的任何西洛子群Sθ可交換,故Hθ擬正規(guī)于Gθ。

    (2)再令S1∈Sylp(K),由Sylow理論知?S∈Sylp(G)使得S1≤S,故S1≤K∩S,但K∩S又為K之一個(gè)p-子群,于是有S1=K∩S。然而H擬正規(guī)于G?HS為G的子群,故K∩HS=H(K∩S)=HS1為K的子群,因而HS1=S1H,說明H是K的擬正規(guī)子群。

    引理2設(shè)G是可解群,而H是G的擬正規(guī)子群,那么H/HG是冪零群。

    附注HG=∩{x-1Hx|x∈G},即為G中所有與H共軛的子群x-1Hx(x取遍G)之交。

    證明G?G/HG?H/HG為G/HG的擬正規(guī)子群(引理1(1))。于是當(dāng)HG≠1時(shí),令

    于是今后只需考慮HG=1的情況。這時(shí)要證明H為冪零群。

    (a)若R∈Sylpi(H)且x∈Ci,則必Rx≤H。

    (b)當(dāng)pi≠pj時(shí),HSi∩HSj=H。

    (c)對(duì)每個(gè)pi而言,H∩Si∈Sylpi(H)。

    |H∶H∩Si|=|HSi∶Si|說明|H∶H∩Si|與pi互素,但H∩Si又為H的pi-子群,故H∩Si∈Sylpi(H)。

    為了證明H的冪零性,只需每個(gè)H∩Si?H能被解決即可。于是只需證明每個(gè)x∈H∩Si與每個(gè)y∈H∩Sj可交換,即xy=yx。

    因?yàn)橐鸭俣薍G=1,故只需證[x,y]=x-1y-1xy∈HG。?g∈G=CiSi?g=γσ(γ∈Ci,σ∈Si),故g-1[x,y]g=σ-1(γ-1x-1γ)(γ-1y-1xyγ)σ。因H∩Si與y-1(H∩Si)y都是H的Sylowpi-子群,故γ-1x-1γ∈H及γ-1y-1xyγ∈H(利用了(a)),于是,g-1[x,y]g∈SiHHSi=HSi。同理,g∈G=CjSj?g-1[x,y]g∈HSj。因此有g(shù)-1[x,y]g∈HSi∩HSj=H(參見(b)),即[x,y]∈gHg-1,故由g的任意性有[x,y]∈HG。

    引理3設(shè)G是可解群,而H為G的擬正規(guī)子群,那未H在G內(nèi)是次正規(guī)的。

    當(dāng)Si∈Sylpi(G)時(shí),注意H∩Si∈Sylpi(H)(因?yàn)閇H∶H∩Si]=[HSi∶Si]),故從H的冪零性可知H∩Si?H,即H有唯一個(gè)Sylowpi-子群。于是?Pi∈Sylpi(G),由于H∩Pi∈Sylpi(H)有H∩Si=H∩Pi≤Pi,說明H的唯一個(gè)Sylowpi-子群是G的每個(gè)Sylowpi-子群的子群。故應(yīng)有H∩Si≤Opi(G),從而H∩Si≤Fit(G),即冪零群H的任何Sylow子群都是Fit(G)的子群,因之得H≤Fit(G),于是從Fit(G)的冪零性可知H為Fit(G)的次正規(guī)子群,故再由Fit(G)?G得H次正規(guī)于G。

    引理4設(shè)H為可解群G之?dāng)M正規(guī)子群。若H是G的極大子群,則H?G。

    證明H擬正規(guī)于G?H次正規(guī)于G,故有G的子群列

    H=K0

    使每個(gè)Ki?Ki+1。然而H在G內(nèi)的極大性說明在H與G之間再不能插進(jìn)真包含H的G之真子群,故必t=1,即H=K0

    2 定義及主要結(jié)論

    定義2如果H是群G的某極大子群M的極大子群,就把H叫做G的2-極大子群。也就是說在關(guān)系式H

    定理1設(shè)可解群G的每個(gè)2- 極大子群在G內(nèi)是擬正規(guī)的,那么G是超可解群。若這時(shí)|G|含有3個(gè)或更多個(gè)不同的素因數(shù),G還是冪零群。

    證明令|G|之素因數(shù)分解為

    就P1來說,有G的子群列如:

    H0=P1

    3 結(jié)語

    由上面的推導(dǎo)證明中可以看出,引入擬正規(guī)子群的定義后,可以深入挖掘出一系列的性質(zhì),2-極大子群的條件不是很苛刻,借助現(xiàn)存的次正規(guī)子群的性質(zhì),就可以證明2-極大子群很好的性質(zhì),不僅和超可解群聯(lián)系起來,還在群的階指數(shù)不小于3的多數(shù)情況下,和冪零群聯(lián)系起來。

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