迭代學(xué)習(xí)在音圈電機(jī)軌跡跟蹤中的應(yīng)用研究

賀云波，曾志強(qiáng)，張 昌

（廣東工業(yè)大學(xué) 微電子精密制造技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510006）

1 引言

音圈電機(jī)是直線電機(jī)的一種，特點(diǎn)表現(xiàn)為體積小、結(jié)構(gòu)簡單、推動(dòng)力大、高速度、高加速度（＞20g），正是因其以上特性，故常用于高精度、高加速性能等性能要求的精密定位系統(tǒng)當(dāng)中[1]。焊線機(jī)焊線過程具有高速、高加速、高精度定位的特點(diǎn)，正因音圈電機(jī)上述特性，所以焊線機(jī)邦頭模塊采用音圈電機(jī)。焊線機(jī)的焊線過程包括：電子打火形成金球，音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)劈刀高速下降到鍵合點(diǎn)并接觸檢測進(jìn)行焊線，隨后進(jìn)行拉弧操作，最后重復(fù)搜尋鍵合點(diǎn)和焊線的過程[2]?？梢钥闯龊妇€過程是一個(gè)高精度、運(yùn)動(dòng)性質(zhì)重復(fù)的過程，其中最關(guān)鍵是其對(duì)位置搜尋和拉弧的過程，也即對(duì)于規(guī)劃軌跡跟蹤的能力。

為提高控制系統(tǒng)的軌跡跟蹤能力，文獻(xiàn)[2]等針對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤提出前饋+模糊反饋控制算法，其控制效果相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)反演控制有所改善，但其模糊規(guī)則表的制定依賴過多的先驗(yàn)條件。文獻(xiàn)[4]所采用的自適應(yīng)神經(jīng)滑模控制消除了抖振現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)在軌跡跟蹤過程的魯棒性。上述方法對(duì)于軌跡跟蹤的誤差減小效果有限、且收斂到預(yù)期軌跡的速度緩慢又或是過程過于復(fù)雜導(dǎo)致設(shè)計(jì)變量過多。而帶遺忘因子的PD型迭代學(xué)習(xí)控制算法非常適用于這類高重復(fù)性的高精密運(yùn)動(dòng)過程，而且理論上可以實(shí)現(xiàn)高精度的軌跡無誤差跟蹤。

2 音圈電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)線圈通電時(shí)，線圈電流I產(chǎn)生電磁力F帶動(dòng)音圈電機(jī)動(dòng)子運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)線圈切割磁感線運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)U2，U2大小可以由以下公式得：U2=Blv （1）式中：B—磁場強(qiáng)度；l—磁場中導(dǎo)體的有效長度；v—電機(jī)的運(yùn)行

速度。音圈電機(jī)中的等效電路，如圖1所示。

圖1 音圈電機(jī)等效電路圖Fig.1 Equivalent Circuit Diagram of Voice Coil Motor

圖中：U—音圈電機(jī)兩端電壓；R—電樞回路電路；I—回路中的電流；L1—電感；U1—電感兩端的電壓；U2—反電動(dòng)勢(shì)。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，可以得到如下的電壓平衡方程：

焊線機(jī)上的音圈電機(jī)是在Z軸上下運(yùn)動(dòng)的，依靠電磁力作為驅(qū)動(dòng)力，當(dāng)電磁力大到可以克服電機(jī)動(dòng)子的靜摩擦力時(shí)才能使得電機(jī)產(chǎn)生直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)子運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦力即是動(dòng)摩擦力，其方向與驅(qū)動(dòng)力反向?？梢缘玫饺缦碌牧ζ胶夥匠蹋篎=ma+cv （3）式中：F—電機(jī)中的磁場力；c—阻尼系數(shù)；a—加速度。

其中v，a的表達(dá)式如下：

則有上述方程可整理得如下：

消去中間變量并進(jìn)行拉氏變換得輸入電壓和輸出位移之間的傳遞函數(shù)：

根據(jù)上式可得出音圈電機(jī)的數(shù)學(xué)模型框圖，如圖2所示[5]。

圖2 音圈電機(jī)數(shù)學(xué)模型框圖Fig.2 Mathematical Model Block Diagram of Voice Coil Motor

3 前饋控制

由于焊線機(jī)邦頭模塊是高精度、高速運(yùn)動(dòng)模塊，所以如果僅采用反饋控制器沒辦法保證其高加速度情況下的足夠快的響應(yīng)速度，即會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯[2]。而單純的前饋控制，只能補(bǔ)償指定的擾動(dòng)量，并不能改善控制系統(tǒng)存在的偏差。故采用前饋和反饋相結(jié)合的二自由度控制系統(tǒng)[6]，相對(duì)于反饋控制一定有誤差而言，前饋控制在理論上可以做到系統(tǒng)的完全無誤差控制。所以前饋控制器的設(shè)計(jì)對(duì)軌跡跟蹤問題的意義重大，以下主要闡述關(guān)于前饋控制器的設(shè)計(jì)[7-8]。

3.1 前饋控制器的設(shè)計(jì)

焊線機(jī)邦頭的運(yùn)動(dòng)不僅要求有高響應(yīng)能力，其軌跡的跟蹤能力對(duì)于焊線質(zhì)量的好壞也有較大的影響?？刂埔笞詈媚茏龅狡谕壽E的完全跟蹤，迭代學(xué)習(xí)即是一種能滿足軌跡完全跟蹤的良好控制方法。

迭代學(xué)習(xí)主要可以分為開環(huán)和閉環(huán)以及開閉環(huán)三種學(xué)習(xí)算法[9]。采用的是閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制其數(shù)學(xué)描述如下：

上式為閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制的通式，式中：uk+1（t）—當(dāng)前的控制輸入；uk（t）—前次的控制輸入；?！獙W(xué)習(xí)律；ek+1（t）—當(dāng)前次的誤差。迭代學(xué)習(xí)效果的好壞與迭代學(xué)習(xí)控制律密切相關(guān)，其中PD型迭代學(xué)習(xí)控制律是十分經(jīng)典的控制學(xué)習(xí)律。則帶遺忘因子的PD型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制的數(shù)學(xué)描述如下：

式中：Φc—比例學(xué)習(xí)矩陣參數(shù)；Γc—微分學(xué)習(xí)矩陣參數(shù)；α—遺忘因子；ek+1（t）—此次迭代的誤差，且其計(jì)算式如下：

而且當(dāng)t=0時(shí)應(yīng)保證誤差為0。

前饋控制器中加入帶遺忘因子的PD型迭代學(xué)習(xí)控制算法后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖可以表示，如圖3所示。

其中虛線方框內(nèi)為音圈電機(jī)的速度環(huán)控制。P*（t）—期望軌跡輸入；Pk+1（t）—實(shí)際軌跡輸出；ek+1—本次實(shí)際輸出與期望輸出的誤差；uk—前一次的控制輸入量；α—遺忘因子。

圖3 系統(tǒng)控制框圖Fig.3 System Control Block Diagram

3.2 系統(tǒng)描述

式中：k—系統(tǒng)的迭代次數(shù)；t∈［0，T］—時(shí)間變量；Xk（t）—系統(tǒng)的狀態(tài)變量；yk（t）—系統(tǒng)的輸出量；uk（t）—系統(tǒng)的輸入量；A、B、C—常系數(shù)矩陣。

由上述系統(tǒng)框圖可考慮如下線性系統(tǒng)：

假設(shè)系統(tǒng)滿足如下條件：

（1）在周期T內(nèi)存在理想輸入ud（t）使得系統(tǒng)能夠達(dá)到理想輸出yd（t）。

（3）［I+ΓcCB］-1為可逆矩陣

3.3 收斂性分析

定理：滿足假設(shè) 1～3的線性系統(tǒng)（10），采用式（8）的帶遺忘因子PD型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)算法，若滿足ρ［（1-α）I-ΓcCB］＜1且ρ（1-α）＜1時(shí)，則當(dāng)k→∞時(shí)，在周期T內(nèi)系統(tǒng)的迭代輸出yk（t）收斂于理想軌跡yd（t）。

證明[10]：

由式（8）可得第K+1次控制輸入的誤差為：

其中：

由式（10）解出Xd（t）與Xk+1（t）的表達(dá)式代入式（12）得：

因假設(shè)初值條件2得：

對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)可得：

將式（13）和（14）代入式（11）可得：

為表達(dá)簡便：

令 Q=（1-α），W=ΦcC+CAΓc

對(duì)式（15）兩端取范數(shù)，由三角不等式得：

4 仿真研究

在控制系統(tǒng)基礎(chǔ)上進(jìn)行仿真分析，比較開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制和無迭代學(xué)習(xí)控制的軌跡跟蹤效果，如圖3所示。

依據(jù)焊線機(jī)邦頭模塊的高精度要求，確定音圈電機(jī)的精度為0.1μm/count，各參數(shù)為線圈電阻R=2.3，線圈電感L1=0.9mH，阻尼系數(shù)c=4.2N*s*m-1，電機(jī)動(dòng)子質(zhì)量m=0.035kg，電機(jī)力常數(shù)km=9.7N/A，帶入可得音圈電機(jī)的數(shù)學(xué)模型：

將該電機(jī)數(shù)學(xué)模型代入圖3的系統(tǒng)框圖中。

經(jīng)多次仿真實(shí)驗(yàn)確定最佳軌跡跟蹤效果時(shí)的遺忘因子α取值為0.05，Φc取值為0.008，Γc取值為0.049?？紤]到邦頭模塊在實(shí)際工況下的位移距離與軌跡曲線，將仿真實(shí)驗(yàn)中的期望軌跡設(shè)為yd（t）=20000t2。將文中提出的帶遺忘因子的PD型迭代學(xué)習(xí)算法用于控制系統(tǒng)中，并與常見的PID反饋算法和開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)算法作對(duì)比。所得到的運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤效果，如圖4所示?？梢钥闯?，前饋中使用開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)算法可以提高系統(tǒng)的軌跡跟蹤能力，但收斂到規(guī)劃軌跡的速度較慢，提出的算法相對(duì)較優(yōu)，軌跡跟蹤誤差小且收斂速度快。

圖4 不同算法的跟蹤效果對(duì)比Fig.4 Comparison of Tracking Effects of Different Algorithms

通過誤差大小更直觀的觀察到，相同迭代次數(shù)下的開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)算法與這里算法的跟蹤效果差別，可以明顯看出迭代算法的誤差收斂速度更快，誤差收斂值也更小，如圖5所示。將算法應(yīng)用于控制系統(tǒng)后，隨迭代次數(shù)的增加，達(dá)到穩(wěn)定誤差的時(shí)間越短，如圖6所示。在無迭代時(shí)的最大誤差為8.4425μm，經(jīng)10次迭代后的最大誤差為5.4903μm，較無迭代減少了34.97%，在經(jīng)歷滯后響應(yīng)之后時(shí)間段誤差帶小于1.983μm。經(jīng)100次迭代后的最大誤差為2.1874μm，，較10次迭代減少了60.19%，且在滯后響應(yīng)之后誤差帶小于0.3024μm，相對(duì)10次迭代減少了86.18%，滿足了實(shí)際生產(chǎn)對(duì)邦頭定位的精度要求。為直觀說明遺忘因子在迭代學(xué)習(xí)中的作用，迭代次數(shù)相同時(shí)有無遺忘因子的跟蹤誤差比較結(jié)果，如圖7所示。圖7可以看出無遺忘因子時(shí)的跟蹤誤差波動(dòng)范圍較大且無法隨著迭代次數(shù)的增加而收斂到零的鄰域內(nèi)。

圖5 不同算法的跟蹤誤差對(duì)比Fig.5 Contrast Charts of Tracking Errors for Different Algorithms

圖6 不同迭代次數(shù)跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.6 Contrast Charts of Tracking Errors for Different Iteration Numbers

圖7 有無遺忘因子跟蹤誤差對(duì)比Fig.7 Comparison of Tracking Errors with or without Forgetting Factor

5 結(jié)論

提出的帶有遺忘因子的PD型迭代學(xué)習(xí)控制算法，在音圈電機(jī)的運(yùn)動(dòng)控制中可以提高系統(tǒng)的軌跡跟蹤能力，在增強(qiáng)響應(yīng)速度的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了位置誤差的可靠、快速收斂。控制回路的設(shè)計(jì)貼近實(shí)際應(yīng)用，在迭代初期出現(xiàn)偏差稍大的問題，但是隨著迭代次數(shù)的增加，位置誤差能控制在一定的范圍內(nèi)，對(duì)于音圈電機(jī)的位置跟蹤控制效果明顯增強(qiáng)。