螺旋定理在曲柄搖桿機構(gòu)中的應用研究

陶 赫，阿達依·謝爾亞孜旦

（新疆大學機械工程學院，新疆 烏魯木齊 830047）

1 引言

機械設備所具有的功能是由其機構(gòu)所決定的，因此，各國的相關(guān)學者從拓撲結(jié)構(gòu)，演化脈絡等方面對機構(gòu)學做了大量的研究工作，促進了機構(gòu)學從平面向空間，從單自由度向多自由度、從剛性向柔性、從串聯(lián)向并聯(lián)的發(fā)展與應用[1]，使機構(gòu)學成為現(xiàn)代機械裝備的功能、結(jié)構(gòu)設計等方面的依據(jù)，同時也成為衡量一個國家裝備設計水平和提升國際競爭力的重要基礎(chǔ)學科之一。

然而，基于圖、文描述的螺旋演化[2]、TRIZ理論[3]、運動副性質(zhì)改變[4]以及機架變更等機構(gòu)演化的傳統(tǒng)方法促進了機構(gòu)的發(fā)展與應用，但仍有一些方面的不足。如曲柄搖桿機構(gòu)到曲柄滑塊機構(gòu)演化過程的數(shù)學工具的應用使用的相對較少。盡管矢量法、矩陣法等方法對單自由度機構(gòu)的動力學，運動學特性的分析起到了很大的促進作用，但并沒有涉及到演化過程，如四桿機構(gòu)的演化過程。

近十幾年來，螺旋定理的推出促進了柔順機構(gòu)，仿生機構(gòu)等多自由度機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)，動力學分析，運動學特性的研究與運用，顯現(xiàn)出螺旋定理在機構(gòu)學分析的重要性。例如螺旋定理在并聯(lián)機構(gòu)2-RPU/UPR研究上的應用[5]。因此，以矩陣的形式并基于螺旋定理探究曲柄搖桿機構(gòu)向曲柄滑塊機構(gòu)的演化過程。這既為機構(gòu)演化方面的研究提供了新的探究思路，又可以方便計算機演繹機構(gòu)演化的過程，還能夠讓計算機分析機構(gòu)演化的過程。

2 線矢量的Plücker坐標

機構(gòu)是由構(gòu)件通過動聯(lián)接構(gòu)成的，構(gòu)件的長度及其姿態(tài)決定機構(gòu)的空間位置與運動特性。由于機構(gòu)是用來傳遞與變換運動和力的可動裝置，因此，機構(gòu)中任何一構(gòu)件均可視為一有向線段或向量，如圖1所示。

其中，P=y1N-z1M；Q=z1L-x1N；R=x1M-y1L

圖1 構(gòu)件的Plücker坐標Fig.1 Plücker Coordinate of Component

根據(jù)S與S0的表達式可知，一組滿足S≠0且S⊥S0條件的向量S與S0所表達的、可視為有向線段的構(gòu)件的位置、姿態(tài)就被確定。基于線矢量的定義可知，向量S與S0所表達的有向線段為線矢量。此外，以標量λ構(gòu)成的λS及λS0仍滿足線矢量的定義，因而，S與S0是齊次坐標。故線矢量可寫成齊次坐標或Plücker坐標$=（S；S0）=（L M N；P Q R）的形式，其中，S 稱為 Plücker坐標的原部，而 S0稱為 Plücker坐標的對偶部[6]。

因此，線矢量的齊次坐標形式或者Plücker坐標不僅可以描述研究對象的長度和位置，而且還準確地描述研究對象的姿態(tài)信息。

3 四桿機構(gòu)運動副的Plücker坐標

3.1 轉(zhuǎn)動副的Plücker坐標

一平面四桿機構(gòu)，如圖2所示。由于具有平面特性，因此，為建立Plücker坐標，可以在平面四桿機構(gòu)所處的平面的法線方向任意拉伸。為研究方便，取Z軸為平面的法線，并在該方向取拉伸的長度為單位1，即桿件在Z軸方向的寬度皆為1。因此，可得到各轉(zhuǎn)動副線矢量的模長皆為1，由于所以，轉(zhuǎn)動副線矢的 Plücker坐標的原部皆為（0，0，1）。

結(jié)合圖2中的幾何關(guān)系以及式（1）和式（2）可知，利用矢量和矢量的叉乘關(guān)系，即可求得轉(zhuǎn)動副線矢量的 Plücker坐標對偶部為 S0=（asinθ1-acosθ10），其中：

圖2 曲柄搖桿機構(gòu)Fig.2 Crank-Rocker Mechanism

基于上述分析，可得轉(zhuǎn)動副B的Plücker坐標表達式為$B=（0 0 1；asinθ1-acosθ10）

同理可以求出轉(zhuǎn)動副A，C，D的Plücker坐標表達式：$A=（0 0 1；0 0 0），$C=（0 0 1；c-d 0），$D=（0 0 1；0-d，0）

3.2 移動副的Plücker坐標

移動副的運動特點是直線運動，而直線運動可以視為是圓周運動的特例，即半徑r趨向于∞的運動軌跡。由于構(gòu)成運動副的構(gòu)件可視為剛體，所以，可以把剛體作為研究對象，如圖3所示。因此，可以由轉(zhuǎn)動副的 Plücker坐標或（ω；r×ω）[7]推導出移動副的Plücker坐標。剛體處于初始t=0時刻的狀態(tài)，如圖3（a）所示。剛體質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸的距離 r=r0，r0∈（0，∞）；與此同時，r與水平線的夾角為 α，α∈（0，2π）；初始角速度為 α/t0，t0大于 0。圖 3（b）描繪了處于平面復合運動狀態(tài)下的剛體，假設剛體的線速度大小為v，剛體質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸中心的距離r以m的速度在增加。隨著時間的推移，當r→∞時沒有實際意義，因此，若使剛體或移動副的線速

圖3 剛體的運動演化過程Fig.3 Process of Evolution About the Movement of Rigid Body

因此，當ω=α/（t+t0）時，隨著時間的推移，ω→∞-1且r-1與ω滿足同階無窮小，則剛體的線速度為：

由式（3）可知，當 r→∞，如圖 3（c）所示。剛體的運動軌跡必然趨于直線，與此同時，由于r-1與ω滿足同階無窮小，因此，剛體的線速度v趨向于一個穩(wěn)定值mα，其次，式（3）同時也描述了剛體由圓周運動轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€運動的過程，即：相對于觀察者的無窮遠處的剛體運動表面上處于靜止狀態(tài)。但靜止是相對的，運動是永恒的。因此，移動副或剛體直線運動的Plücker坐標的表達式為偶量 $=（0；v）=（0；S0）。

圖4 曲柄滑塊機構(gòu)Fig.4 Crank-Slider Mechanism

3.3 基于矩陣運算的轉(zhuǎn)動副到移動副轉(zhuǎn)化的表達式

當Plücker坐標系A(chǔ)xyz變換到Oxyz時，如圖5所示。則線矢量到線矢量的位置變換可以用下面的矩陣式進行描

圖5 Plücker坐標系的映射Fig.5 Mapping ofPlücker Coordinate System

圖6 四桿機構(gòu)的演化過程Fig.6 Process of Evolution About Four-Bar Mechanism

其中，對偶矩陣T[9]$為：

T$表述了Plücker坐標系的一般變換中的旋轉(zhuǎn)，平移等。在T$中，］表示坐標系A(chǔ)xyz對于Oxyz的方向余弦矩陣；而矩陣表示O點相對于A點在x軸、y軸、z軸方向上平移的量分別為OAx、OAy、OAz。即：

因此，可運用式（4）描述四桿機構(gòu)中的轉(zhuǎn)動副$D=（0 0 1；0-d 0）到移動副的演變過程。

為方便計算，假設CD桿延長的長度以d/t0的速度在增加，因此，R=-d·t/t0。在CD桿在變長的同時，CD桿在Z軸方向的厚度以函數(shù)L=t0/（t+t0）的比例在變小?；谏鲜龇治?，曲柄搖桿機構(gòu)到曲柄滑塊機構(gòu)演化過程的矩陣表達式為：

由于時間的推移，R→-∞，因此：

因此，$D1=（0 0 0；-d 0 0）

4 應用實例

當構(gòu)件 CD 在變小的同時，由于$B=（0 0 1；asinθ1-acosθ10）在x軸，y軸方向上所經(jīng)過的位移的分量分別為acosθ2-acosθ1，asinθ2-asinθ1，因此，結(jié)合式（5）可知，可運用矩陣關(guān)系式$B1=T2$B來刻畫其演化過程，因而，矩陣T2為：

根據(jù)圖4的三角形ΔA1B1C1的幾何關(guān)系可以求得：

5 結(jié)論

（1）基于螺旋定理建立了四桿機構(gòu)轉(zhuǎn)動副與移動副的Plücker坐標，并在此基礎(chǔ)上利用螺旋定理探討曲柄搖桿機構(gòu)到曲柄滑塊機構(gòu)的演化過程，得出其演化過程的矩陣表達式。這既顯示出螺旋定理涵蓋矢量法并兼具矩陣法的優(yōu)點，又揭示了轉(zhuǎn)動副與移動副的內(nèi)在聯(lián)系，同時，也為機構(gòu)演化的研究開辟了新的途徑。（2）曲柄搖桿機構(gòu)到曲柄滑塊機構(gòu)定量演化的數(shù)學方法可能不止存在這一種形式，因此，其它描述其演化途徑的數(shù)學方法有待進一步的研究。