非均勻噪聲環(huán)境下基于矩陣補全的DOA 估計方法

費瑩娜，黃龍庭，吳云韜*，胡超普

1.智能機器人湖北省重點實驗室（武漢工程大學(xué)），湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430205；3.武漢理工大學(xué)信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430070

空間信號波達方向（direction-of-arrival，DOA）估計是陣列信號處理中至關(guān)重要的問題之一。在理想情況下，即噪聲為服從高斯分布的白噪聲時，許多傳統(tǒng)的空間譜估計算法已具有很好的性能，只需通過對陣列協(xié)方差矩陣進行特征分解，便能直接得到信號子空間和噪聲子空間。然而在實際中，噪聲環(huán)境在空間分布上往往是不均勻的，傳感器所接收到的信號中所包含的噪聲為非均勻噪聲［1-2］，這使得特征分解存在明顯的子空間泄漏問題，即部分真實信號子空間位于估計的噪聲子空間中，從而導(dǎo)致嚴重的性能惡化甚至失效［3-4］。

一般而言，相關(guān)色噪聲的協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)是未知的。但是，當陣列為稀疏陣列時，其相關(guān)色噪聲可以進行簡化。假設(shè)每個陣列元素之間的噪聲為不相關(guān)的空間白噪聲，噪聲只影響陣列協(xié)方差矩陣主對角線上的元素，所以噪聲協(xié)方差矩陣是對角矩陣，其對角元素不等且未知［5］。

針對非均勻噪聲背景下的DOA 估計問題，一些學(xué)者提出利用低秩矩陣恢復(fù)理論［6］，通過包含噪聲采樣模型的自相關(guān)矩陣中未被污染的元素值來精確重構(gòu)原矩陣。其中，Candès 等［7］在2009 年提出的矩陣補全（matrix completion，MC）理論，證明了在不相關(guān)假設(shè)條件下，當矩陣規(guī)模和采樣率（觀測稀疏度）滿足一定條件時，大多數(shù)低秩矩陣恢復(fù)可以通過求解簡單的凸優(yōu)化問題，即半定規(guī)劃來完成。并且進行了改進，使得該MC 算法在觀測到的部分元素被少量噪聲破壞時，結(jié)果仍然是準確的［8-9］。雖然該算法是基于壓縮感知理論［10-11］，但又與其通過原始信號的向量稀疏性來對數(shù)據(jù)進行重構(gòu)的方法不同，MC 算法是利用矩陣的低秩性，將矩陣秩優(yōu)化問題松弛為核范數(shù)優(yōu)化問題，從而完成對缺失數(shù)據(jù)的補全。由于除去對角線元素的陣列協(xié)方差矩陣與無噪聲協(xié)方差矩陣相等。因此，從MC 算法的角度，有可能從非對角項中恢復(fù)無噪聲協(xié)方差矩陣，這也意味著噪聲協(xié)方差矩陣可以同時確定［12］。

最大似然（maximum likelihood，ML）算法作為DOA 估計的幾種常用算法之一，自提出以來已經(jīng)出現(xiàn)了許多改進算法。如，Ollier 等［13］提出了基于ML 的迭代算法，該算法能夠在傳感器具有未知增益的環(huán)境下，用于聯(lián)合標定和DOA 估計；Fang 等［14］提出了一種基于ML 的二維DOA 估計算法，該算法通過參數(shù)的迭代估計和對濾波過程的干預(yù)，從而來提高估計精度。但它的實現(xiàn)基于較為復(fù)雜的迭代過程，計算量龐大。所以，使用了結(jié)合交替投影（alternating projection，AP）的ML 算法［15］，通過引入矩陣投影的更新公式來降低算法每次迭代的運算量。

本文所提出的結(jié)合MC 算法和最大似然交替投影（alternating proiection maximization，APM）算法的DOA 估計方法，是在信號數(shù)目小于傳感器數(shù)目，即無噪聲協(xié)方差矩陣為低秩矩陣時，通過MC算法進行協(xié)方差矩陣的重構(gòu)，并應(yīng)用APM 算法來完成DOA 的估計。仿真結(jié)果驗證了該算法在定位精度上取得的性能改進。

1 信號模型

考慮由M 個陣元組成的均勻線陣接收P 個窄帶遠場源信號，并且波達角度分別為得到信號模型：

式（1）中，空間矩陣的導(dǎo)向矢量陣表示為：

則陣列協(xié)方差矩陣為：

式（5）中

表示規(guī)模為M×M 的無噪聲協(xié)方差矩陣，且G=E{s(t)sH(t)}，由于信號的數(shù)目小于傳感器的數(shù)目，所以rank(X)=P ＜M。

在快拍數(shù)N 有限的情況下，根據(jù)上述信號模型可以得到陣列信號協(xié)方差矩陣的估計值：

2 MC 算法

MC 是基于壓縮感知理論的一種算法，通常應(yīng)用于低秩矩陣。但壓縮感知是根據(jù)矩陣元素的稀疏性，通過采樣矩陣的已知元素來恢復(fù)原始矩陣。而MC 算法則是利用了矩陣秩的稀疏性。從數(shù)學(xué)層面上講，MC 可描述為一個仿射秩最小化問題，表示如下：

眾所周知，矩陣秩優(yōu)化問題是一個NP 難問題，而且已知的用于求解該問題的算法的時間需求都是呈指數(shù)級增長，但可利用凸松弛，通過核范數(shù)最小化來逼近秩的最小化。因此，可以通過交替解決如下問題來進行求解：

式（10）中||X||*為核范數(shù)，是矩陣的奇異值之和。由于X 為一個hermitian 矩陣，則

根據(jù)式（11），可以將式（10）中問題的約束等價表示為如下形式：

式（13）中σ ＞0，當采樣數(shù)N 越大時，協(xié)方差矩陣估計值與X 越接近，σ 值越小。

3 DOA 估計

APM 算法是一種結(jié)合了交替優(yōu)化方法和投影矩陣分解的方法。交替優(yōu)化是多維優(yōu)化問題的一種簡單的求解方法，是通過迭代實現(xiàn)的。在迭代的每一步，均相對于一個參數(shù)進行優(yōu)化，而其他參數(shù)保持不變。于是的第(i+1)次迭代，可以通過下面的一維優(yōu)化問題得到：

式（14）中，arg max(f(θ))是使得f(θ)取得最大值所對應(yīng)的變量θ，θ 為入射角；為補全后的自相關(guān)矩陣；YA(Θ)=A(Θ)(AH(Θ))-1AH(Θ)為交替投影矩陣；表示P-1 維已計算出的參數(shù)矢量：

該算法在對每個參數(shù)優(yōu)化時均能沿著該參數(shù)的軸向找到其似然函數(shù)的一個極值點，而搜索速度則取決于似然函數(shù)在峰值附近的特性。由于在每次迭代中都執(zhí)行最大化，因此最大化后函數(shù)的值不會減少，該算法必然收斂到局部最大值。根據(jù)初始條件的不同，局部最大值可能是全局最大值，也可能不是全局最大值。初始化步驟對全局收斂至關(guān)重要，是此算法的關(guān)鍵。

下面以兩個信號源的情況描述交替投影迭代算法：

Step1 估計單一信源方向：

Step2 假設(shè)第一個信號源參數(shù)是θ1，求解第二個信號源：

雖然，上述方法已將復(fù)雜的多維搜索過程簡化至多個一維搜索問題，大大降低了運算量，但由于涉及矩陣求逆和乘法，每次迭代的計算量仍然很大。為進一步簡化每次迭代的計算，下面引入了投影矩陣的一個基本性質(zhì)，即投影矩陣更新公式，表示為：

將式（19）代入式（14）得到：

通過引入一個歸一化矢量，其公式表示如下：

將式（21）代入式（20），得：

則關(guān)于初始值的問題可簡化為：

APM 算法流程如下：

步驟2：通過式（23）計算得到P 個估計信號的初始值；

步驟3：將初始值代入式（22），進行一次一維搜索，判斷是否滿足搜索精度

步驟4：若所得結(jié)果滿足精度條件則停止，否則重復(fù)步驟3。

4 數(shù)值仿真

為了驗證本文提出的基于矩陣補全的最大似然交替投影（MC-APM）算法的性能，進行以下仿真對比實驗，測試信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）、快拍數(shù)和陣元數(shù)對算法性能的影響。

4.1 SNR 和快拍數(shù)對本文算法性能的影響

考慮有三個不相關(guān)的窄帶信號分別以｛-10°，6°，17°｝為入射角度，入射至一個由10 個陣元組成的半波長單元間距的均勻線性陣列。假設(shè)接收到的信號中所攜帶的噪聲具有空間不均勻性，噪聲協(xié)方差矩陣表示為：

設(shè)仿真實驗中快拍數(shù)N 為500，σ 為5，SNR 的值用k 表示。在不同條件下，通過300 個蒙特卡羅（monte-carlo）統(tǒng)計實驗，計算了DOA 估計的均方根誤差（root-mean-square error，RMSE），RMSE 的值用R 表示。

圖1（a）為SNR 的值k 從-10 dB 變化到10 dB時，所求得的RMSE。由圖1（a）可見，只有在SNR足夠高的條件下，幾種算法的性能才較為相近。此時，噪聲對于信號子空間和噪聲子空間分離的影響可以忽略不計。在SNR 比較低的情況時，TLS-ESPRIT［16］算 法 表 現(xiàn) 很 差，基 于MC［7］的TLS-ESPRIT 算法和未結(jié)合MC 算法的APM 算法雖然也有較好性能，但與之相比，MC-APM 有更為顯著的性能改進。

圖1（b）是在SNR 為0 dB 條件下，將快拍數(shù)N從100 次增加至1 000 次，分別進行300 次monte-carlo 統(tǒng)計實驗。從仿真實驗觀測N 增加時RMSE 的變化。從圖1（b）中可以明顯看出，本文所用算法的性能隨著快拍數(shù)N 的增加迅速提高，并且始終優(yōu)于其他算法。

圖1 RMSE 對比圖：（a）SNR，（b）NFig.1 Comparison diagram of RMSE：（a）SNR，（b）N

4.2 相同SNR 情況下陣元數(shù)對本文算法性能的影響

信號模型與上文仿真相同，在SNR 為0 dB 的條件下，設(shè)快拍數(shù)N 為500，改變陣元數(shù)M 的大小，在10 至20 的范圍內(nèi)，分別進行300 次monte-carlo 統(tǒng)計實驗，觀測其算法性能。

圖2（a）為在此條件下進行DOA 估計的RMSE。由圖2（a）可得，在M 增大的過程中，本文所用算法能夠快速、穩(wěn)定地提升精度，并且在矩陣低秩性較差的情況下，已有了很好的性能。其他算法估計誤差都較高，而且穩(wěn)定性較差。

圖2（b）為在M 增大時，算法運算時間的變化，由于本文算法在進行DOA 估計過程中先使用了MC 算法，又加入了迭代過程，所以運算時間略高于其他算法，但在M 增加過程中，運行時間并未出現(xiàn)明顯增長，算法性能較為穩(wěn)定。

圖2 陣元數(shù)的變化對算法性能的影響：（a）RMSE，（b）運算時間Fig.2 Influence of array number on algorithm performance：（a）RMSE，（b）computation time

5 結(jié) 論

針對在非均勻噪聲條件下，傳統(tǒng)DOA 估計算法性能惡化問題，本文提出了一種結(jié)合MC 算法和APM 算法的DOA 估計方法。該方法利用MC 算法對信號協(xié)方差矩陣進行重構(gòu)，從而減小了非均勻噪聲的影響。在DOA 估計階段，本文使用了APM算法，并通過引入矩陣投影的更新公式來降低計算復(fù)雜度。與傳統(tǒng)的DOA 估計算法相比，該方法在非均勻噪聲條件下有效的解決了角度估計精度差和分辨率低的問題。仿真結(jié)果表明，MC 算法與APM 算法相結(jié)合的MC-APM 算法，能夠明顯抑制非均勻噪聲影響。在低信噪比、短快拍情況下，該方法仍具有較好的DOA 估計性能。