透視全國卷真題，再攀解析幾何高峰

王先斌

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點和難點，在高考中占有重要地位.從以往多年高考的內(nèi)容來看，無論是大題還是小題都有對解析幾何的考查;從考試的難度來看，壓軸題都是以解析幾何題為主. 可以說，解析幾何題是學(xué)生高考的“攔路虎”，是學(xué)生在攀登解析幾何高峰的過程中的一大障礙. 下面，筆者介紹幾種具有針對性和簡潔性的解題方法與策略.

一、利用重要結(jié)論解決相關(guān)問題

在解析幾何部分中，高考全國卷不考查橢圓與雙曲線的第二定義，這使得拋物線的定義變得更加重要.那拋物線的定義在全國卷中又是如何考查的呢？筆者通過仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，高考全國卷中通常以過焦點的直線與拋物線相交所得的焦點弦或焦半徑問題進行考查. 如果同學(xué)們能熟記相關(guān)結(jié)論并靈活運用，那么解答也將變得得心應(yīng)手.

結(jié)論一：拋物線y2=2px（ p>0），過焦點F的弦AB所在直線傾斜角為θ.可得上焦半徑，下焦半徑，弦長.

拋物線x2=2py（ p>0），過焦點F的弦AB所在直線傾斜角為θ. 可得左焦半徑，右焦半徑，弦長.關(guān)于拋物線另外兩種標(biāo)準(zhǔn)方程下的結(jié)論，利用對稱性可以求解. 以上就是拋物線中焦半徑、焦點弦與直線傾斜角之間的公式，我們把它稱為結(jié)論一.

下面我們來看高考真題應(yīng)用：

【例1】（2017全國卷Ⅰ）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）

A.16 ? ? ? B.14 ? ? ? C.12 ? ? ? D.10

【解析】設(shè)直線l1的傾斜角為α，運用結(jié)論一可得：，則，|AB|+|DE|=

.

所以|AB|+|DE|

. 答案為A.

關(guān)于拋物線的焦半徑和焦點弦問題，還有其他的一些結(jié)論和運用，下面我們從真題出發(fā)，探尋此類問題的重要推論.

結(jié)論二：在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程下，以焦半徑為直徑的圓與不過焦點的坐標(biāo)軸相切. 類似地，以焦點弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.

【例2】（2013全國卷Ⅱ）設(shè)拋物線C：y2=2px（ p>0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則拋物線C的方程為（ ）

A.y2= 4x或y2= 8x ? ? ? ?B.y2= 2x或y2= 8x

C.y2= 4x或y2= 16x ? ? ?D.y2=2x或y2= 16x

【解析】設(shè)（0，2）為點N，該圓的圓心為點D，則點D為M、F中點. 由題意知該圓半徑為，，準(zhǔn)線方

程為，|MF|=5.則由拋物線的定義可知，，所以由中點坐標(biāo)公式得. 我們發(fā)現(xiàn)圓心D到y(tǒng)軸距離為，與該圓半徑相等，所以該圓與y軸相切. 以上推導(dǎo)方法具有一般性. 利用該結(jié)論可知N（0，2）為切點，所以DN與y軸垂直，可得，所以，代入拋物線方程可得p=2或p=8. 答案為C.

【例3】（2018全國卷Ⅲ）已知點M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點. 若∠AMB=90°，則k= ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

【解析】因為∠AMB=90°，所以點M在以AB為直徑的圓上. 又因為點M在準(zhǔn)線上，且該圓與準(zhǔn)線相切，所以點M為切點. 設(shè)線段AB中點為N（該圓圓心），則中點N的縱坐標(biāo)與點M縱坐標(biāo)相同. 通過點差法可得.

在例3中我們用到了點差法，這是一種解決中點弦問題的普遍方法，下面筆者進行重點講解.

結(jié)論三：橢圓與斜率為k （k≠0）的直線l相交于不同的兩點A，B，其中AB的中點為M.設(shè)原點O與M連線的斜率為kOM，則.（點差法）

當(dāng)上述橢圓C的方程變?yōu)闀r，利用點差法按同樣方式運算可得相似的結(jié)論：.當(dāng)上述條件中的橢圓變?yōu)殡p曲線時，結(jié)論為：;當(dāng)雙曲線方程為時，結(jié)論為：.接下來我們看看高考真題中點差法的應(yīng)用.

【例4】（2018全國卷Ⅲ）已知斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB的中點為M（1， m）（m>0）. 證明：.

【解析】寫出“點差法”的演算步驟可得，所以，. 由題設(shè)可知點M在橢圓內(nèi)部且在x軸上方，所以，故.

利用點差法，我們能快速地找到弦中點、弦斜率及曲線方程間的聯(lián)系，從而簡化運算，快速而準(zhǔn)確地解題.

二、距離問題與點坐標(biāo)問題的互化

處理距離問題，關(guān)鍵在于將斜向的距離問題轉(zhuǎn)化為橫向或縱向的距離問題，這樣的轉(zhuǎn)化才能方便坐標(biāo)與距離之間的相互表達，從而使題目的運算變得更簡單.

【例5】（2016全國卷III）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點. P為C上一點，且PF⊥x軸. ?過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（ ）

A. ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? D.

【解析】題目中動點較多，相似三角形也較多，多數(shù)線段長度不定并且表達復(fù)雜.但我們應(yīng)該注意到A、F、O、B是定點且能寫出坐標(biāo)，由此可以利用坐標(biāo)快速地寫出這四個點相互間所成線段的長度.解題的思路就是利用三角形的相似性，將其余線段的長度關(guān)系轉(zhuǎn)到A、F、O、B所成線段的長度關(guān)系上.

設(shè)O、E中點為Q，易知△AFM∽△AOE，△BOQ∽

△BFM. 所以，，可得. ?答案為A.

【例6】（2014全國卷II）設(shè)F1， F2分別是橢圓C：的左右焦點，M是第一象限內(nèi)C上一點，且MF2⊥x軸，直線MF1與C的另一個交點為N.若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a， b.

【解析】本題的關(guān)鍵在于怎么處理條件，如果采用弦長公式進行求解，運算量極大.可作NN'⊥x軸于點N，注意到△NN'F1∽△MF2F1，由可得，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可將這組斜向線段之比轉(zhuǎn)為兩組橫向、縱向線段之比（橫向、縱向線段的長度方便用坐標(biāo)表示），即. 然后，可以從這些線段的關(guān)系得到點N的坐標(biāo)并代入橢圓方程，這樣整個運算將大大簡化，解答如下.

記直線MN與y軸交點為D，則MF2//OD且O為F1F2中點，所以MF2=2OD =4，而①，作NN'⊥x軸于點N，則有△NN'F1∽△MF2F1.

由可得.

所以點N的坐標(biāo)為，代入橢圓方程C可得②，又因為c2=a2-b2③，聯(lián)立①②③可解得.

三、利用數(shù)形轉(zhuǎn)化

解析幾何的核心就是用代數(shù)方法研究幾何問題，解題過程中的一大難點就是如何將具體的幾何問題進行代數(shù)轉(zhuǎn)化，并且使得代數(shù)轉(zhuǎn)化后的運算盡量簡潔.下面我們就來探討幾種高考中常見的數(shù)形轉(zhuǎn)化.

類型一：對于已知直徑的圓，點與圓位置關(guān)系的向量表達.

【例7】（2017全國卷III）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標(biāo)原點O在圓M上.

【解析】對于本題，我們可以聯(lián)立直線與拋物線的方程并利用韋達定理得到圓心，再通過弦長公式算出直徑，進而寫出圓的方程，最后將原點坐標(biāo)代入圓的方程看是否成立. 這種解法的好處是不需過多的思考，使同學(xué)們能夠單刀直入地解題. 但“人無遠慮，必有近憂”，此種解法的計算量極大，不僅耗費時間，而且出錯的概率大大增加. 仔細(xì)審題，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)原點與A，B不重合，再思考圓上點的性質(zhì)，能得到原點O在圓M上等價于∠AOB=90°. 關(guān)于此問題我們可以借助于向量或斜率的知識進行轉(zhuǎn)化，使整個代數(shù)運算大大簡化.

設(shè)直線l：x=my+2，A（x1， y1），B（x2， y2）.由，

可得y2-2my-4=0，y1+y2=2m，y1y2=-4，所以

.

因為O與A、B不重合，所以O(shè)A⊥OB，故坐標(biāo)原點O在圓M上.

總結(jié)：在以AB為直徑的圓上，C是不同于A、B的點，則點C在圓內(nèi)，圓上，圓外分別等價于，，.

【例8】（2015全國卷I）已知M（x0， y0）是雙曲線C：

上的一點，F(xiàn)1， F2是C上的兩個焦點，若，則y的取值范圍是（ ）

A.（，） ? ? ? ? ? ?B.（，）

C.（，） ? ? ? ?D.（，）

【解析】本題與例7正好形成反向轉(zhuǎn)化，由可知M在以F1， F2為直徑的圓的內(nèi)部.

由C：，可得F1，F(xiàn)2為直徑的圓的方程為.

由，可得;由可知M在以F1，F(xiàn)2為直徑的圓的內(nèi)部，所以.答案為A.

類型二：利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系進行數(shù)形轉(zhuǎn)化.

【例9】（2015全國卷I）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：與直線y = kx+a（a>0）交于M，N兩點. y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

【解析】本題的關(guān)鍵在于解決“怎么用代數(shù)形式表達∠OPM=∠OPN？”這一幾何問題，因為點P是y軸上的點，所以當(dāng)∠OPM=∠OPN時，直線PM、PN關(guān)于y軸對稱.由此可知，直線PM、PN的傾斜角互補，故直線PM、PN的斜率互為相反數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)為求證直線PM、PN的斜率相加為零的簡單代數(shù)問題.

證明：設(shè)P（0，b）為符合題意的點，M（x1， y1），N（x2， y2），直線PM，PN的斜率分別為k1， k2. 將y=kx+a代入C的方程整理得x2+4kx-4a = 0，所以x1+ x2= 4k，x1 x2=-4a.則.當(dāng)b= -a時，有k1+ k2=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，又因為點P在y軸上，所以∠OPM=∠OPN，P（0， -a）符合題意.

【例10】（2017全國卷II）過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M（M在x的軸上方），l為C的準(zhǔn)線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（ ）

A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ? D.

【解析】因為直線的斜率為，所以傾斜角為60°，又因為MN與準(zhǔn)線垂直，所以MN與x軸平行，所以∠NMF=60°. 由拋物線定義可知，故△NMF為等邊三角形.根據(jù)前文介紹的焦半徑與傾斜角公式，在邊長為4的等邊△NMF中可得M到直線NF的距離為.

點評：本題是對直線斜率與傾斜角關(guān)系、拋物線定義、焦半徑公式三個內(nèi)容的完美應(yīng)用.

通過以上內(nèi)容，我們從三個方面總結(jié)了解析幾何的解題方法和策略. 從中我們可以體會到，解析幾何的解題不光只是復(fù)雜的計算，它還有很多有趣的結(jié)論和美妙的轉(zhuǎn)化.有了這些方法和策略，我們的解題可以變得高效又富有樂趣. 當(dāng)然，奇妙的解析幾何中還有很多有趣的問題，還有很多的好結(jié)論、好技巧和好方法，希望同學(xué)們不斷努力、繼續(xù)開拓！