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    立足數(shù)學(xué)題組教學(xué) 提升學(xué)生思維品質(zhì)

    2022-05-30 10:48:04魏杰君
    關(guān)鍵詞:題組結(jié)論條件

    魏杰君

    [摘 ?要] 概述題組應(yīng)具備的特征,提出題組教學(xué)的有效路徑,讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)課的趣味性,在質(zhì)疑、探究中,活躍學(xué)生的思維,提高學(xué)生的合作精神與創(chuàng)新能力,從而達(dá)到提高學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

    [關(guān)鍵詞] 題組;結(jié)論;條件;思維

    題組是指以某一核心知識(shí)為中心,組合成的一組有梯度、內(nèi)容接近、前后連貫的數(shù)學(xué)問題. 題組設(shè)計(jì)應(yīng)注重問題間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別,通過一組問題的解決,達(dá)到鞏固知識(shí),形成解題技能,優(yōu)化思維,獲得問題本質(zhì)的目的. 在題組教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn),讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)課的趣味性,在質(zhì)疑、探究中,活躍學(xué)生的思維,提高學(xué)生的合作精神與創(chuàng)新能力,從而達(dá)到提高學(xué)生核心素養(yǎng)的目的[1].

    題組教學(xué)的有效路徑

    習(xí)題教學(xué)中,設(shè)計(jì)的題組應(yīng)具備問題性、啟發(fā)性、創(chuàng)新性,以有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地看待世界,思考世界,表達(dá)世界,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值,形成批判性思維與理性精神. 以下筆者對(duì)題組教學(xué)路徑作了以下有益探索.

    1. 相似結(jié)論題組,在提煉總結(jié)中發(fā)展創(chuàng)新思維

    在習(xí)題教學(xué)中,對(duì)于典型性習(xí)題,要用活用好,通過保留條件改變結(jié)論的形式設(shè)計(jì)題組,可以使學(xué)生可以從中提煉解題路徑與方法,讓典型題不再孤單. 這就需要教師精心選題巧妙設(shè)計(jì),充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,在探究中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維[2].

    案例1如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于點(diǎn)A(1,5)與點(diǎn)B(n,1). 求△AOB的面積.

    在典型習(xí)題的教學(xué)中,教師要明確命題者的意圖,要最大限度地發(fā)揮典型習(xí)題的輻射功能,通過習(xí)題講評(píng),學(xué)生一方面要獲得這個(gè)問題的解決方法,另一方面還要引導(dǎo)學(xué)生將試題拓展延伸,舉一反三,拓寬學(xué)生的思維空間,為此,筆者設(shè)計(jì)了如下題組訓(xùn)練.

    探究1:如圖2所示,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=(n>0)的圖像交于點(diǎn)A(1,5)與點(diǎn)B(n,1). 已知點(diǎn)D的坐標(biāo)是(-1,0),直線AD交雙曲線另一支于點(diǎn)C,連接BC,求△ABC的面積.

    探究2:如圖3所示,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=(n>0)的圖像交于點(diǎn)A(1,5)與點(diǎn)B(n,1). M是線段AB下方反比例函數(shù)y=圖像上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線,與一次函數(shù)y=ax+b的圖像交于點(diǎn)P,連接OP,OM,求△POM的面積的最大值.

    通過題組的訓(xùn)練,學(xué)生牢固掌握了基礎(chǔ)知識(shí),了解了知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,同時(shí),通過探索相似的三個(gè)結(jié)論,發(fā)現(xiàn)了在函數(shù)問題中如何求三角形的面積,如何求三角形的最大面積,提升了學(xué)生的辯證思維,發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維,使學(xué)生體驗(yàn)了學(xué)習(xí)帶來的創(chuàng)新感以及成功的愉悅.

    2. 相似條件題組,在比較異同中激活學(xué)生思維.

    當(dāng)試題的條件比較接近時(shí),教師一方面要引導(dǎo)學(xué)生挖掘其中的隱含條件,整合信息,把要解決的問題與原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系;另一方面要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮聯(lián)想,由事物之間的聯(lián)系與相似,推出相似事物也具有某一特性,這也是解決條件相似問題的有效途徑.

    案例2如圖4所示,在△ABC中,∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P,請(qǐng)?zhí)骄俊螾與∠A的關(guān)系,并說明理由.

    此題主要探究三角形一條內(nèi)角平分線與外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系,通過師生共同研究發(fā)現(xiàn):它們是半角關(guān)系. 在探究過程中,學(xué)生自然聯(lián)想:如果把三角形改為四邊形,也是一條內(nèi)角平分線與外角平分線的夾角與其他兩個(gè)角是什么關(guān)系呢?基于學(xué)生的提問,筆者推出了以下兩個(gè)探究.

    探究1:如圖5所示,在四邊形ABCD中,設(shè)∠A=α,∠D=β,∠P為四邊形ABCD的內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠DCE的平分線所在直線相交而形成的銳角.若α+β>180°,直接寫出∠P的度數(shù). (用α,β的代數(shù)式表示)

    探究2:如圖6所示,在四邊形ABCD中,設(shè)∠A=α,∠D=β,∠P為四邊形ABCD的內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠DCE的平分線所在直線相交而形成的銳角.若α+β<180°,直接寫出∠P的度數(shù).(用α,β的代數(shù)式表示)

    在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),聯(lián)想是溝通已知與未知的紐帶,通過條件相似的題組訓(xùn)練,可以起到多題一法的效果. 在解決探究1與探究2時(shí),筆者引導(dǎo)學(xué)生思考,兩個(gè)探究問題與案例2有何相似之處,能否用案例1的解題策略解決探究1與探究2呢?學(xué)生觀察題目的條件設(shè)置,分析條件的相同點(diǎn)與不同點(diǎn),經(jīng)過充分地思考,化異為同,找到了解決問題的方案. 通過題組訓(xùn)練,促進(jìn)了學(xué)生知識(shí)的融會(huì)貫通,拓寬了學(xué)生解題視野,使學(xué)生體會(huì)到了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    3. 改編條件題組,在由點(diǎn)到面中提升思維

    在探究條件相似中,培養(yǎng)了學(xué)生的審題能力,在比較條件的細(xì)微差異中,增加學(xué)生的辨別能力. 改編條件,一題多變也是一條可創(chuàng)新的教學(xué)路徑,有利于學(xué)生溝通知識(shí)間的聯(lián)系,掌握解題規(guī)律,在不斷地探索與總結(jié)中,實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造性學(xué)習(xí).

    案例3 ?已知關(guān)于x的分式方程+=,若方程有增根,求m的值.

    關(guān)于分式方程解的問題,歷來是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),考查了學(xué)生全面考慮問題的能力,如果已知分式方程的解直接代入即可,但是已知方程的增根不能直接代入,只能代入去分母后的整式方程. 如果分式方程無解,那么需要分類考慮兩種情況的無解. 為了突破這個(gè)難點(diǎn),讓習(xí)題教學(xué)更有效,筆者設(shè)計(jì)了如下題組訓(xùn)練.

    探究1:已知關(guān)于x的分式方程+=,若方程無解,求m的值.

    探究2:已知關(guān)于x的分式方程+=,若方程的解是正數(shù),求m的值.

    探究3:已知關(guān)于x的分式方程+=,若分式方程的解是負(fù)數(shù),求m的值.

    探究4:已知關(guān)于x的分式方程+=1+只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求k的值.

    探究5:已知關(guān)于x的分式方程x2-2x+=3-2k有四個(gè)不同的實(shí)根,求k的取值范圍.

    教學(xué)中,筆者改編條件,列舉了關(guān)于分式方程的解的種種情況,師生共同歸納了每種情況下相應(yīng)的解題策略,激發(fā)了學(xué)生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的熱情,學(xué)生靈活地掌握了知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,以及分類討論與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,錘煉了學(xué)生思維的廣闊性與深刻性,靈活性與獨(dú)創(chuàng)性.

    4. 相似結(jié)構(gòu)題組,在歸納推理中開拓思維

    何謂歸納推理?其實(shí)是指由特殊到一般,由部分到整體的推理[3]. 問題的結(jié)構(gòu)特征是進(jìn)行歸納推理的有效切入口. 在相似結(jié)構(gòu)的題組訓(xùn)練中,學(xué)生通過觀察類比,猜想驗(yàn)證,用統(tǒng)一簡(jiǎn)潔的形式呈現(xiàn),掌握了分析問題的方法并達(dá)到了靈活運(yùn)用.

    案例4 ?觀察下列等式:①32-12=8×1;②52-32=8×2;③72-52=8×3;④92-72=8×4;⑤______;⑥______.

    (1)請(qǐng)你寫出⑤⑥兩個(gè)等式;

    (2)根據(jù)以上式子的規(guī)律,請(qǐng)你寫出第n(n為正整數(shù))個(gè)式子.

    (3)利用這個(gè)規(guī)律計(jì)算20212-20192的值.

    此種類型題要找到共同的特征,如每個(gè)算式中底數(shù)之間的關(guān)系,算式的結(jié)構(gòu)形式,結(jié)果中相同的部分,不同的部分,從而找到第n個(gè)算式,為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力,筆者為學(xué)生設(shè)計(jì)了如下題組訓(xùn)練.

    探究1:①22=1×3+1;②32=2×4+1;③42=3×5+1;④52=4×6+1;⑤______;⑥______.

    (1)請(qǐng)你寫出⑤⑥兩個(gè)等式;

    (2)根據(jù)以上式子的規(guī)律,請(qǐng)你寫出第n(n為正整數(shù))個(gè)式子.

    探究2:觀察下面各式的規(guī)律. 12+(1×2)2+22=(1×2+1)2;22+(2×3)2+32=(2×3+1)2;32+(3×4)2+42=(3×4+1)2;…

    (1)寫出第2021個(gè)式子;

    (2)寫出第n個(gè)式子,并驗(yàn)證你的結(jié)論.

    問題的結(jié)構(gòu)特征是進(jìn)行歸納推理的有效切入口,筆者設(shè)計(jì)相似結(jié)構(gòu)的題組訓(xùn)練,學(xué)生嘗試進(jìn)行歸納推理,深入挖掘知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),在探究新結(jié)論中,開拓了學(xué)生的思維.

    題組教學(xué)的感悟

    1. 設(shè)計(jì)題組,化學(xué)生的盲點(diǎn)為探究點(diǎn)

    習(xí)題教學(xué)中,教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的盲點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn),通過題組的設(shè)計(jì),化學(xué)生的盲點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)為探究點(diǎn),讓學(xué)生在問題的比較中構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系,在問題比較中深化對(duì)某一內(nèi)容的理解與掌握,在問題比較中避免學(xué)習(xí)的思維定式,進(jìn)而充分發(fā)揮題組的功效,讓教學(xué)走向高效.

    2. 設(shè)計(jì)題組,培養(yǎng)學(xué)生反思與診斷能力

    習(xí)題教學(xué)中,題組的設(shè)計(jì),要定位精準(zhǔn),以鞏固知識(shí),提升思維能力為目標(biāo),在辨析相似題組時(shí),引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的關(guān)鍵,善于質(zhì)疑辨析,總結(jié)經(jīng)驗(yàn),提煉方法與思想,學(xué)會(huì)解后反思,解后總結(jié),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的升華.

    參考文獻(xiàn):

    [1]楊愛芳. “題組教學(xué)法”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)教學(xué)參考,2020(20):13-14.

    [2]江同營(yíng). 初中數(shù)學(xué)新課復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)中“題組教學(xué)”的實(shí)踐與思考[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué),2017(10):38-39.

    [3]沈岳夫. 注重?cái)?shù)學(xué)題組設(shè)計(jì) ?提升學(xué)生思維品質(zhì)[J]. 教學(xué)月刊(中學(xué)版),2012(07):38-40.

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