考慮變應(yīng)力影響的粗糙裂縫油水兩相流動(dòng)能力數(shù)值模擬方法

王東英, 姚 軍, 宋文輝, 孫 海

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)石油工程學(xué)院,山東青島 266580)

低滲油藏、頁(yè)巖油藏等非常規(guī)油藏普遍發(fā)育裂縫[1-5],且一般需要進(jìn)行水力壓裂實(shí)現(xiàn)有效開(kāi)采[6-12]。裂縫的存在會(huì)改變儲(chǔ)層中流體的流動(dòng)特征[13-16],開(kāi)展裂縫中油水兩相相對(duì)滲透率及毛管力曲線(xiàn)的研究對(duì)指導(dǎo)裂縫性油藏開(kāi)發(fā)具有重要意義。Huo等[17]和廉培慶等[18]分別測(cè)量了不同有效應(yīng)力下,真實(shí)裂縫的油水相對(duì)滲透率曲線(xiàn);Watanabe等[19]通過(guò)測(cè)量裂縫中油水的相對(duì)滲透率曲線(xiàn),發(fā)現(xiàn)真實(shí)裂縫中兩相流動(dòng)存在較強(qiáng)的相互干擾性,提出了“V”型相對(duì)滲透率曲線(xiàn)。不少學(xué)者也已建立了描述單條裂縫中兩相流體流動(dòng)能力的解析模型。如Romm[20]提出的“X”型相滲模型;Brooks等[21]基于多孔介質(zhì)推導(dǎo)的考慮兩相間相互干擾的相滲模型;Fourar等[22-23]根據(jù)理想管流模型提出的考慮黏性力的相對(duì)滲透率解析模型。以上模型所依據(jù)的物理模型忽略了真實(shí)裂縫的復(fù)雜性,不能直接應(yīng)用于數(shù)值模擬研究。較成熟的求解相對(duì)滲透率的解析模型,如Burdine模型[24]及Mualem模型[25],可用于考慮開(kāi)度分布的粗糙裂縫相對(duì)滲透率曲線(xiàn)的求解[26],但過(guò)分依賴(lài)于模型參數(shù)取值,直接用于相對(duì)滲透率曲線(xiàn)的計(jì)算缺乏普適性。侵入逾滲模型考慮毛管力主導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)驅(qū)替/吸吮過(guò)程[27-28],已被不少學(xué)者應(yīng)用到裂縫的兩相流動(dòng)模擬中[17, 29-30]。其中Ye等[30]采用侵入逾滲模型研究了裂縫中的兩相流體相滲曲線(xiàn),但模擬過(guò)程為吸吮,且模型沒(méi)有考慮裂縫所受有效應(yīng)力對(duì)流體流動(dòng)能力的影響。筆者基于侵入逾滲模型,模擬單條粗糙裂縫中油水兩相流體流動(dòng)的穩(wěn)態(tài)驅(qū)替過(guò)程,并討論不同有效應(yīng)力對(duì)裂縫開(kāi)度分布及油水兩相流動(dòng)能力的影響,揭示真實(shí)裂縫在變化應(yīng)力下的流動(dòng)規(guī)律。

1 模擬方法

1.1 基本原理

侵入逾滲模型最初用于模擬孔隙網(wǎng)絡(luò)模型孔隙及喉道中的驅(qū)替及吸吮過(guò)程[28],其中驅(qū)替過(guò)程取決于其喉道的大小,而吸吮過(guò)程由孔隙大小控制[31-32]。筆者著眼于低滲透油藏中重要的滲流通道——裂縫,基于侵入逾滲模型對(duì)單條粗糙裂縫內(nèi)油水兩相流動(dòng)的毛管力和相對(duì)滲透率曲線(xiàn)進(jìn)行研究。

采用蒙特卡洛模擬方法,在服從一定高斯分布規(guī)律的前提下,隨機(jī)分布單條粗糙裂縫中的局部開(kāi)度,流體流動(dòng)為穩(wěn)態(tài)驅(qū)替過(guò)程且遵循達(dá)西定律。初始時(shí)刻,裂縫被濕相流體飽和,逐步提高驅(qū)替壓力注入非濕相流體,使非濕相逐漸進(jìn)入更多的裂縫空間驅(qū)替濕相流體。本研究選取水相為濕相流體,油相為非濕相流體。

采用侵入逾滲模型來(lái)描述穩(wěn)態(tài)驅(qū)替過(guò)程與規(guī)律,為求取油水兩相相滲曲線(xiàn),需先確定不同驅(qū)替壓力下的油水界面移動(dòng)過(guò)程及飽和度分布。編制程序搜尋某驅(qū)替壓力下,與入口端相連的驅(qū)替相連通團(tuán)的位置及編號(hào)得到油水兩相分布,利用有限差分法分別數(shù)值求解水相與油相流體的壓力場(chǎng),最終,通過(guò)驅(qū)替過(guò)程中兩相流體的有效滲透率與單相流動(dòng)時(shí)絕對(duì)滲透率的比值獲得兩相流體的相對(duì)滲透率。

1.2 模型假設(shè)

基于CT掃描得到的真實(shí)裂縫圖像獲得裂縫開(kāi)度數(shù)據(jù)[33],圖1是由真實(shí)裂縫數(shù)據(jù)重構(gòu)而成的粗糙裂縫形態(tài)及開(kāi)度分布規(guī)律。經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn),裂縫開(kāi)度服從均值為580 μm、標(biāo)準(zhǔn)差為230 μm的高斯分布。

圖1 真實(shí)單條粗糙裂縫形態(tài)及開(kāi)度分布Fig.1 Real single rough fracture pattern and aperture distribution

為簡(jiǎn)化模型,考慮粗糙度的單條裂縫如圖2所示。將裂縫區(qū)域進(jìn)行離散,裂縫局部采用蒙特卡洛模擬方法隨機(jī)賦予一定開(kāi)度值,并使其整體服從高斯分布,同時(shí)認(rèn)為離散后每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)部開(kāi)度一致。出、入口端定壓力,上下兩端封閉,驅(qū)替過(guò)程流體流動(dòng)方向從左至右,

(1)

式中,f(b)為單條粗糙裂縫開(kāi)度服從的高斯分布函數(shù);μ為裂縫開(kāi)度分布均值,m;δ為裂縫開(kāi)度分布標(biāo)準(zhǔn)差,m;b為裂縫局部開(kāi)度,m。

圖2 單條粗糙裂縫模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of single rough fracture model

同時(shí),模型假設(shè):考慮二維平面流動(dòng),忽略垂向流動(dòng)及重力的作用;油水兩相不相溶,流動(dòng)遵循達(dá)西定律;流體不可壓縮,裂縫受有效應(yīng)力作用可壓縮;考慮裂縫內(nèi)部的非均質(zhì)性。

1.3 數(shù)學(xué)模型

首先,采用立方定律描述裂縫內(nèi)局部滲透率,即

(2)

式中,kf_local(f=o,w)為裂縫內(nèi)部局部滲透率,m2。

油相的連續(xù)性方程為

(3)

水相的連續(xù)性方程為

(4)

式中,ρo和ρw分別為油相和水相密度,kg/cm3;μo和μw分別為油相和水相的黏度,Pa·s;po和pw分別為油相和水相壓力，Pa。

輔助方程為

(5)

So+Sw=1.

(6)

式中,pcow為油水兩相之間的毛管力,Pa;σ為油水界面張力,N/m;θ為水相接觸角;So為油相飽和度;Sw為水相飽和度。

初始條件為

p0(x,y)=pi.

(7)

邊界條件為

p(0,y)=pentry,

(8)

p(Lx,y)=pexit,

(9)

(10)

(11)

式中,p0(x,y)為初始時(shí)刻裂縫各處對(duì)應(yīng)的壓力,Pa;pi為裂縫初始?jí)毫?Pa;p(0,y)為裂縫模型左端(入口)壓力,Pa;pentry為入口壓力,Pa;p(Lx,y)為裂縫模型右端(出口)壓力,Pa;pexit為出口壓力值,Pa;Lx為單條裂縫模型長(zhǎng)度,m;Ly為單條裂縫模型寬度,m。

綜上所述，初中教師在開(kāi)展化學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，有目的、有意識(shí)的提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)是非常必要的。在此模式下，不僅可以展現(xiàn)出學(xué)科價(jià)值，使得化學(xué)教學(xué)更有意義，也能推動(dòng)學(xué)生的全面、綜合發(fā)展，為其后續(xù)的深入性學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。雖然，在當(dāng)前，部分教師在此方面的意識(shí)還比較淡薄，但我確信只要在大家的持續(xù)努力下，一定能改善這一現(xiàn)狀，促使我國(guó)的教育事業(yè)得以更加持續(xù)、穩(wěn)定的發(fā)展下去。

基于侵入逾滲模型,判斷不同驅(qū)替壓力下的油水兩相分布情況,此時(shí)含水飽和度與驅(qū)替壓力關(guān)系即為毛管力曲線(xiàn)。采用有限差分方法數(shù)值求解上述方程得到油水兩相流體的壓力場(chǎng)分布,分別計(jì)算兩相流體流量,得到相對(duì)滲透率,

(12)

(13)

(14)

式中,下標(biāo)f為o或w;kabs_f為絕對(duì)滲透率,m2;Qf為油或水單相流動(dòng)時(shí)的流量,m3/s;μf為油或水的黏度,Pa·s;A為單條粗糙裂縫的橫截面積,m2;keff_f為油或水的有效滲透率,m2;qf為驅(qū)替過(guò)程中,油水兩相流動(dòng)時(shí)油或水的流量,m3/s;Kr_f為油或水的相對(duì)滲透率。

2 模型可靠性檢驗(yàn)

2.1 模型構(gòu)建

根據(jù)真實(shí)粗糙裂縫開(kāi)度的高斯分布結(jié)果構(gòu)建概念模型。單條粗糙裂縫物理尺寸為0.1 m×0.1 m,橫截面積為5.86×10-5m2,模型中網(wǎng)格數(shù)為100×100,如圖3所示。假設(shè)裂縫表面親水,水相接觸角為60°,界面張力取值0.048 N/m,油水兩相黏度分別為15和1 mPa·s,模型整體處于大氣壓力環(huán)境,入口與出口壓力差為10 Pa。

2.2 計(jì)算結(jié)果

結(jié)合侵入逾滲模型及上述基本參數(shù)對(duì)粗糙裂縫中油驅(qū)水過(guò)程的兩相流體流動(dòng)進(jìn)行模擬。

圖3 粗糙裂縫模型開(kāi)度分布示意圖Fig.3 Local aperture distribution of single rough fracture model

圖4為驅(qū)替過(guò)程中的油水兩相分布,其中紅色代表油相,藍(lán)色代表水相。驅(qū)替相即油相首先會(huì)進(jìn)入連續(xù)的具有較大局部開(kāi)度的位置驅(qū)替濕相流體,隨著驅(qū)替壓力逐漸提高,才侵入裂縫中更多開(kāi)度較小的位置。

圖5為數(shù)值求解得到的毛管力曲線(xiàn)和油水兩相的相對(duì)滲透率曲線(xiàn)。由求得的相對(duì)滲透率曲線(xiàn)可以看出,對(duì)于考慮粗糙度的真實(shí)裂縫,若采用傳統(tǒng)“X”型光滑裂縫相滲曲線(xiàn)來(lái)描述油水兩相流動(dòng)特征會(huì)造成較大誤差。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)含水飽和度較高即驅(qū)替初始時(shí),由于水相占據(jù)較大孔隙并連通,使之滲透率較高,而油相很大程度上為不連續(xù)相,因此滲透率極低。隨著驅(qū)替過(guò)程的進(jìn)行,油相滲透率升高,水相滲透率不斷減小。當(dāng)含水飽和度減小到一定值后,水相滲透率極低,這是由于裂縫表面親水,水相被圈閉在不連續(xù)的極小孔隙中,不再具有流動(dòng)能力。

圖4 驅(qū)替過(guò)程兩相分布Fig.4 Two-phase distribution during displacement

圖5 毛管力及油水相對(duì)滲透率曲線(xiàn)Fig.5 Capillary pressure and oil-water relative permeability curves

2.3 模型驗(yàn)證

對(duì)比目前描述光滑裂縫相對(duì)滲透率的“X”型解析模型,Ye等[30]通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),Mualem模型可以考慮粗糙裂縫中的開(kāi)度分布,并將水相與油相的有效飽和度與裂縫開(kāi)度聯(lián)系起來(lái),從而對(duì)相對(duì)滲透率進(jìn)行描述,因此采用Mualem模型與本文中的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。根據(jù)Mualem模型,水相與油相的相對(duì)滲透率可表達(dá)為飽和度的冪律分布形式,

(15)

(16)

(17)

(18)

式中,Swe為水相有效飽和度;Swr為最小水相飽和度;Sws為最大水相飽和度;Soe為油相有效飽和度;Sro為最小油相飽和度;Sos為最大油相飽和度;Krw為濕相相對(duì)滲透率;Kro為非濕相相對(duì)滲透率;ηw為求解濕相流體相對(duì)滲透率時(shí)的經(jīng)驗(yàn)系數(shù),ηw=2.2;ηo為求解非濕相流體相對(duì)滲透率時(shí)的經(jīng)驗(yàn)系數(shù),ηo=2.1。

結(jié)合實(shí)例計(jì)算結(jié)果,將數(shù)值求解結(jié)果與上述Mualem模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,結(jié)果見(jiàn)圖6。由圖6可以看出,二者的計(jì)算結(jié)果表現(xiàn)出較好的一致性,驗(yàn)證了本文中數(shù)值模擬方法的正確性。

圖6 模型驗(yàn)證Fig.6 Model validation

3 有效應(yīng)力對(duì)裂縫內(nèi)油水兩相流體流動(dòng)的影響

3.1 有效應(yīng)力對(duì)裂縫開(kāi)度分布的影響

裂縫性油藏在壓裂及開(kāi)采的過(guò)程中所受應(yīng)力不斷變化,相應(yīng)的裂縫內(nèi)部流體的流動(dòng)也會(huì)受其影響。因此本文中采用Wu等[34]提出的描述單條裂縫開(kāi)度與裂縫所受有效應(yīng)力之間的解析關(guān)系,

b=bi+Δb=bi+(Δσ/κ) .

(19)

式中,κ為裂縫的剛度,κ=1×1011Pa/m;bi為裂縫初始局部開(kāi)度,m;Δb為裂縫在不同應(yīng)力條件下局部開(kāi)度的變化,m;Δσ為裂縫所受的有效應(yīng)力,Pa。

當(dāng)有效應(yīng)力為15和30 MPa時(shí),單條裂縫對(duì)應(yīng)的開(kāi)度變化分別為150和300 μm。研究不考慮應(yīng)力條件及有效應(yīng)力分別為15和30 MPa時(shí)裂縫開(kāi)度分布情況(其他參數(shù)取值均不變),由于裂縫開(kāi)度服從高斯分布,有效應(yīng)力變化后,裂縫開(kāi)度整體減小并出現(xiàn)部分閉合的現(xiàn)象,圖7、8分別為裂縫開(kāi)度變化趨勢(shì)及不同有效應(yīng)力條件下對(duì)應(yīng)的裂縫開(kāi)度分布情況。

圖7 不同有效應(yīng)力條件下單條粗糙裂縫開(kāi)度概率密度分布Fig.7 Aperture distribution in single rough fracture under varying effective stress

圖8 不同有效應(yīng)力條件下單條粗糙裂縫開(kāi)度分布Fig.8 Local aperture distribution in single rough fracture under varying effective stress

3.2 有效應(yīng)力對(duì)裂縫中毛管力及相對(duì)滲透率曲線(xiàn)的影響

圖9為不同有效應(yīng)力條件下的毛管力曲線(xiàn)和相對(duì)滲透率曲線(xiàn)。隨有效應(yīng)力的增加,毛管力曲線(xiàn)呈現(xiàn)整體抬升的趨勢(shì),其中平緩段由185 Pa增加到256和425 Pa,說(shuō)明由于應(yīng)力的增加,裂縫開(kāi)度減小,驅(qū)替過(guò)程變得更加困難。實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中,油藏孔隙壓力不斷減小,導(dǎo)致有效應(yīng)力增加。從圖9可以看出,裂縫作為致密及頁(yè)巖油藏的主要滲流通道,隨有效應(yīng)力不斷增加,其中水相的相對(duì)滲透率基本不變,而油相的相對(duì)滲透率會(huì)明顯減弱。

整體來(lái)看,有效應(yīng)力由初始條件增加到15和30 MPa,裂縫的開(kāi)度分別減小25.9%及51.7%,而油相的相對(duì)滲透率分別平均減小了10.7%和24.3%,裂縫所受有效應(yīng)力越大,油相滲透率減小幅度越明顯。這是因?yàn)榱芽p表面的親水性,導(dǎo)致水相主要占據(jù)相對(duì)較小的孔隙流動(dòng),受應(yīng)力影響表現(xiàn)不明顯,而油相主要在裂縫中較大開(kāi)度的孔隙流動(dòng),隨著有效應(yīng)力增加,油相的流動(dòng)通道明顯被壓縮,對(duì)應(yīng)的毛管力顯著增加,油相流動(dòng)阻力增大,因此油相相對(duì)流動(dòng)能力被削弱。另外,油驅(qū)水過(guò)程中,隨有效應(yīng)力的增加,油相開(kāi)始流動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的含水飽和度和水相基本喪失流動(dòng)能力所對(duì)應(yīng)的含水飽和度均略有減小。這是因?yàn)橛拖嗥毡樵谳^大孔隙中流動(dòng),應(yīng)力的作用使流動(dòng)通道明顯變窄,驅(qū)替初始時(shí),油相開(kāi)始連續(xù)并流動(dòng)所對(duì)應(yīng)的含水飽和度越小,即隨著生產(chǎn)的進(jìn)行,裂縫所受到有效應(yīng)力增大,油相越難以形成連續(xù)流動(dòng)通道;同時(shí),有效應(yīng)力增加導(dǎo)致裂縫部分閉合,油相作為驅(qū)替相侵入連續(xù)的位置更加困難,當(dāng)水相已基本無(wú)流動(dòng)能力時(shí),油相飽和度已達(dá)到較高水平,表現(xiàn)為相應(yīng)的含水飽和度減小。相比于無(wú)法考慮應(yīng)力變化對(duì)裂縫油水兩相流動(dòng)影響的光滑裂縫“X”型相滲模型[35-37],本文中提出的方法更能準(zhǔn)確反映變應(yīng)力條件下真實(shí)裂縫內(nèi)部油水兩相流動(dòng)規(guī)律。

圖9 不同有效應(yīng)力條件下的毛管力及油水相對(duì)滲透率曲線(xiàn)Fig.9 Capillary pressure and relative permeability curves of oil and water under varying effective stress

4 結(jié) 論

(1)對(duì)于單條粗糙裂縫中油水兩相流動(dòng),在初始含水飽和度降低階段,油相流動(dòng)能力極低,隨著驅(qū)替過(guò)程的進(jìn)行,油相流動(dòng)占主導(dǎo),水相基本失去流動(dòng)能力。

(2)隨著有效應(yīng)力的增加,單條粗糙裂縫被壓縮并出現(xiàn)局部閉合現(xiàn)象;裂縫毛管力曲線(xiàn)整體抬升;油相相對(duì)滲透率減小,且有效應(yīng)力越大,油相相對(duì)滲透率減小越明顯,而水相相對(duì)滲透率基本保持不變;同時(shí),油相開(kāi)始流動(dòng)對(duì)應(yīng)的含水飽和度和水相基本失去流動(dòng)能力時(shí)對(duì)應(yīng)的含水飽和度均隨有效應(yīng)力的增加而減小。