一次函數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題分析

摘 要：一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他函數(shù)的基礎(chǔ)。近年來(lái)，一次函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象以及和現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合的一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題一直是中考的熱點(diǎn)。文章主要對(duì)學(xué)生解答一次函數(shù)問(wèn)題時(shí)常見(jiàn)問(wèn)題予以剖析，希望對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù);常見(jiàn)問(wèn)題;數(shù)形結(jié)合思想

中圖分類號(hào)：G633.6 ? ? ??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ??文章編號(hào)：2095-624X（2020）05-0062-02

引 言

數(shù)學(xué)對(duì)于我們?nèi)粘Ｉ钜约翱茖W(xué)研究的影響不言而喻，衣食住行都與數(shù)學(xué)息息相關(guān)。數(shù)學(xué)是一門抽象化、復(fù)雜化、邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師通常會(huì)結(jié)合實(shí)際利用多種數(shù)學(xué)思想方法來(lái)簡(jiǎn)化和具體化教學(xué)內(nèi)容。

一、分類討論思想的應(yīng)用

分類討論思想應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域是指在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，涉及的研究對(duì)象比較多，不能統(tǒng)一研究，所以需要結(jié)合實(shí)際，將研究對(duì)象以某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行區(qū)分，然后分別獨(dú)自進(jìn)行探究，最后得出整體結(jié)論的解題思想。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一般分作以下幾步進(jìn)行：①明確分類對(duì)象;②明確分類標(biāo)準(zhǔn);③逐步分類，分別得到階段性的結(jié)果;④用最初的標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)篩選結(jié)果;⑤歸納得出結(jié)論。與此同時(shí)，運(yùn)用分類討論的思想也要遵循一定的原則，即按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不重不漏，按照等級(jí)先后順序進(jìn)行。

例1：已知直線y=kx+b，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，0）且與y軸交點(diǎn)為Q，若直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為2，求這條直線的函數(shù)表達(dá)式。

學(xué)生常見(jiàn)的解題方法如下：已知三角形面積表達(dá)式為面積=1/2×底×高，而直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形為直角三角形，因此三角形的底和高就分別是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，其中OP=1，—×1×OQ=2，因此，OQ=4，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），再將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b中，可得k=-4，b=4，所以，這條直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-4x+4。

雖然解題思路正確，但是學(xué)生在得出Q點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，思考并不全面。OQ代表的是三角形的底或高，是一條線段，因此OQ一定大于零，意味著Q點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離為4，而Q點(diǎn)極有可能在y軸正半軸上，也可能在y軸負(fù)半軸上。學(xué)生憑借OQ=4>0，就判斷Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）是片面的，Q點(diǎn)坐標(biāo)還可能為（0，-4），因此在后續(xù)解答時(shí)，要進(jìn)行分類討論。當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）時(shí)，將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b中，可得k=-4，b=4，此時(shí)這條直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-4x+4。當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）時(shí)，將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b中，可得k=4，b=4，此時(shí)這條直線的函數(shù)表達(dá)式為y=4x+4。

例2：已知一次函數(shù)y=（n-1）x+n+1的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，求m的取值范圍。

筆者整理了一下，學(xué)生常見(jiàn)的解題方法如下。已知一次函數(shù)y=（n-1）x+n+1的圖象經(jīng)過(guò)第三象限，那么其函數(shù)圖象會(huì)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，而當(dāng)一次函數(shù)ykx+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限時(shí)，k<0，b>0。因此n-1<0，n+1>0，聯(lián)合解得-1

同樣，學(xué)生在判斷一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限時(shí)，缺乏考慮，因此圖象不經(jīng)過(guò)某個(gè)象限，并不表示其一定會(huì)經(jīng)過(guò)其他三個(gè)象限，還可能會(huì)經(jīng)過(guò)其他兩個(gè)象限。即上題應(yīng)考慮圖象只經(jīng)過(guò)第二、四象限的情況，此時(shí)b=0，即n+1=0，n=-1。

二、具有現(xiàn)實(shí)意義的一次函數(shù)問(wèn)題

在利用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常忽視題目中函數(shù)所代表的實(shí)際意義，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

例3：已知某客車在離開車站5km后，以30km/h的速度勻速行駛，求客車離開車站后的距離L與其行駛時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出其圖象。

學(xué)生常見(jiàn)的解題方法如下：設(shè)L=kt+b，由題意可知當(dāng)t=0時(shí)，L=5，當(dāng)t=1時(shí)，L=5+30=35，因此將兩組數(shù)據(jù)分別代入L=kt+b中，可得L=30t+5，并畫出函數(shù)圖象為一條經(jīng)過(guò)第一、二、三象限的直線。雖然這道題目比較簡(jiǎn)單，但是學(xué)生亦很容易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。首先一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線的前提條件是自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，而進(jìn)一次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合在一起時(shí)，其取值范圍往往不是全體實(shí)數(shù)，以此題為例，自變量x的取值范圍是x≥0，因此函數(shù)表達(dá)式為L(zhǎng)=30t+5（t≥0），其函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第三象限。

例4：小剛在探究彈簧長(zhǎng)度與外力的變化規(guī)律時(shí)，得到一組數(shù)據(jù)，見(jiàn)下表。

假設(shè)砝碼質(zhì)量為x，彈簧總長(zhǎng)度為y，根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)信息，寫出函數(shù)表達(dá)式，并指出其函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第幾象限。

這道題目的表述簡(jiǎn)單，已知兩函數(shù)圖象上兩點(diǎn)坐標(biāo)，求函數(shù)的表達(dá)式，學(xué)生通常會(huì)做出如下解答。設(shè)y=kx+b，將x=0，y=5和x=550，y=14代入其中，求得y=—x+5，由k>0，b>0，因此函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限。殊不知，這種解題方式是錯(cuò)誤的，學(xué)生忽視了彈簧的現(xiàn)實(shí)意義，當(dāng)彈簧被拉伸到一定長(zhǎng)度，即外力超過(guò)彈性限度時(shí)，彈簧不會(huì)再因外力變化而伸長(zhǎng)，因此后兩組數(shù)據(jù)并不能作為函數(shù)表達(dá)式中的已知量，而且無(wú)論是砝碼的質(zhì)量還是彈簧總長(zhǎng)度都是一直大于零，因此，其函數(shù)圖象只會(huì)在第一象限。正解為：設(shè)y=kx+b，將x=0，y=5和x=350，y=14，代入一次函數(shù)表達(dá)式中，可得y=—x +5，圖象經(jīng)過(guò)第一象限。

三、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非;切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫分離?！睌?shù)與形分別體現(xiàn)了事物的兩種不同方向的屬性，但是在一定條件下，數(shù)形之間可以有機(jī)結(jié)合在一起，甚至相互轉(zhuǎn)化，這種思維的方式就是數(shù)形結(jié)合的思想。

例5：已知一次函數(shù)y=kx+b，和坐標(biāo)圖象上三點(diǎn)A（5，y1）、B（10，y2）、C（-4，y3），其中30，b<0知，該一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，得出y3

結(jié) 語(yǔ)

分類討論具有較強(qiáng)的邏輯思維性質(zhì)，是一種學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常要用到的常規(guī)解題思路，學(xué)生利用分類討論思想解決一次函數(shù)問(wèn)題可以使學(xué)生解題思路更加清晰且具有條理性和全面性。

學(xué)生在解決與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合的一次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意考慮函數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義。

利用數(shù)形結(jié)合思想解決一次函數(shù)問(wèn)題有利于學(xué)生理解復(fù)雜和抽象的數(shù)學(xué)題目，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

一次函數(shù)是初中代數(shù)的重要組成部分，也是解決生活實(shí)際問(wèn)題的重要模型，教師在教學(xué)中要善于幫助學(xué)生梳理總結(jié)，以便學(xué)生掌握解題技巧與方法。

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作者簡(jiǎn)介：奉徽德（1972—），男，瑤族，廣西富川人，中學(xué)一級(jí)教師，本科，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。