Dirichlet 空間上一類乘法算子的相似性

秦春桃, 陳 泳

(1.西南交通大學(xué)希望學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 四川 成都 610400； 2.杭州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 浙江 杭州 311121)

0 引 言

令D是復(fù)平面的開單位圓盤，其邊界記為T，dA表示D上的正規(guī)化面積測度.Bergman空間是由全體D上的解析函數(shù)u組成的函數(shù)空間，滿足

‖u‖D=|u(0)|+‖u′‖.

可以知道，D是一個再生核函數(shù)空間，其再生核為：

令aj∈D(j=1,2,…,n)且γ∈T，稱形如

的有理函數(shù)為n階有限Blaschke積.記M為Dirichlet上的乘子代數(shù)，則易見以有限Blaschke積φ為符號的乘法算子Mφ∈M.

1 主要結(jié)果及證明

則fi=τif,其中i=1,…,n.

在此基礎(chǔ)上,我們可以在Dirichlet空間上建立類似的結(jié)果，即給出Dirichlet空間中函數(shù)的表示定理.首先需要下面的引理.

引理2 若f∈D,則τif∈D,其中i=1,…,n.

Ar={z∈:r<|z|<1}.

容易驗證存在一個r′(r

φ(βj(w))=w，j=1,…,n.

(1)

(ⅰ) 每個函數(shù)都滿足(1)式;

(ⅱ)βi(z)≠βj(z),z∈O(w,εw),i≠j;

根據(jù)引理1,每個多項式p可以表示為：

上式可改寫為：

根據(jù)Cramer法則可得,對任意的k(1≤k≤n)有：

(2)

其中，Vk(p)(w)表示n×n矩陣(βj(w)i-1)中第k列替換為：

(p(β1(w)),…,p(βn(w))T

(3)

O(w1,ε1),…,O(wN,εN)

其中，

而第4個不等式由下式得到：

(4)

易知D中的每個函數(shù)都滿足(4)式.

另一方面,存在一個常數(shù)C3滿足

將這個不等式與上述討論相結(jié)合可得：

(5)

此處K=C3(C1nN+C2nNM),C=C3C2nNM,兩者都只與φ有關(guān).

由上面結(jié)論即可得如下結(jié)果，此將引理1推廣到了Dirichlet空間情形.

定理1 若φ是一個n階有限Blaschke積,則存在D到D的有界算子τi使得

這種表示是唯一的,即如果在D中存在f1,…,fn滿足

(6)

則有fi=τif,i=1,…,n.

下面給出Dirichlet空間上有限Blaschke積符號乘法算子的相似性結(jié)果.

定理2 設(shè)φ是一個n階有限Blaschke積,則存在D到D?n的有界可逆算子S滿足SMφ=(Mz?In)S.進而對φ∈M,在Dirichlet空間上Mφ與Mzn相似當且僅當φ為n階有限Blaschke積.

證明設(shè)τ1,…,τn是如定理1所定義的算子,且對每一個f∈D,令

Sf=(τ1f,…,τnf).

根據(jù)定理1,容易驗證S是可逆的.而且有：

SMφ=(Mz?In)S.

實際上,對每個f∈D都有：

因此,通過唯一性有：

SMφf=(zτ1f,…,zτnf)=(Mz?In)Sf,

即SMφ=(Mz?In)S.

如果Mφ與Mzn相似,那么容易得到：

σe(Mφ)=σe(Mzn)=T.

由文獻[3]引理2.2得：

由此可知,|φ|=1在T上幾乎處處成立,即φ是D中的一個內(nèi)函數(shù).由于D中的內(nèi)函數(shù)只有有限Blaschke積,我們得到φ是一個有限Blaschke積.

余下的部分容易證得.證畢.