離散數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度檢測方法研究

姚永輝 陸雨

摘要：在大型工程計算分析當(dāng)中，最難解決的是構(gòu)建的計算數(shù)學(xué)模型與實際系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)聯(lián)問題，以及如何對離散數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修改?；谝陨蠁栴}，設(shè)計離散數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度檢測算法，構(gòu)建出一個檢測離散數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度的方法。通過對比實驗證明，設(shè)計的檢測方法能夠更加精準(zhǔn)的檢測出離散數(shù)學(xué)模型的關(guān)聯(lián)度，且通過檢測方法對模型進(jìn)行改進(jìn)能夠得出與實際系統(tǒng)關(guān)聯(lián)度更高的最優(yōu)模型。

關(guān)鍵詞：離散;數(shù)學(xué)模型;關(guān)聯(lián)度;檢測

中圖分類號：0158 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）06-0261-03

將一個實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型得到相應(yīng)的理論方程時，其主要的目的是為了讓理論數(shù)學(xué)模型可以對實際問題進(jìn)行具體的分析以及運(yùn)算。離散數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是在某一特定的前提條件下提出的，且在構(gòu)建過程中不考慮其非線性問題的存在，僅僅利用線性完成對模型的構(gòu)建。伴隨著現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對于客觀事實的計算能力已經(jīng)得到了質(zhì)的飛躍，因此具備了構(gòu)建離散數(shù)學(xué)模型的能力，并且能夠通過數(shù)學(xué)模型做到對實際系統(tǒng)的模擬，以此可以在最大限度上，滿足實際工程中的應(yīng)用需求。

1檢測算法設(shè)計

1.1相空間重構(gòu)算法設(shè)計

在力學(xué)當(dāng)中，相空間是一種抽象的數(shù)學(xué)空間。在動力系統(tǒng)當(dāng)中，相空間是由一組一階方程構(gòu)成，系統(tǒng)中每一個分量的改變都會與其他分量產(chǎn)生相互的作用。在對離散數(shù)學(xué)模型的關(guān)聯(lián)度進(jìn)行檢測時，最重要的一步是將檢測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)矢量，即相空間重構(gòu)。選擇同一時間間隔對數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣其時間序列可表示為：

公式（1）中，x（t）表示為在t時刻，數(shù)學(xué)模型的動態(tài)學(xué)性能;e表示為數(shù)學(xué)模型嵌入空間的維數(shù);τ表示為數(shù)學(xué)模型的延遲時間。通過公式（1）的計算，可建立由相空間R^E到對應(yīng)的R^e的映射。通過對相空間重構(gòu)的結(jié)果進(jìn)行分析，可以看出在數(shù)學(xué)模型中保留了其中原有的動力學(xué)性質(zhì)以及幾何性質(zhì)。因此可以說明，相空間的重構(gòu)是時間序列當(dāng)中的基礎(chǔ)。相空間重構(gòu)的方法有很多，本文選用一種延遲坐標(biāo)的方法對相空間進(jìn)行重構(gòu)。其重構(gòu)的主要因素是利用對數(shù)學(xué)模型延遲時間r和嵌入維數(shù)e兩個因素決定。選取延遲坐標(biāo)完成對數(shù)學(xué)模型的重構(gòu)，嵌入維數(shù)e表示為能夠完成在狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中構(gòu)成的最小吸引子的維數(shù)大小。在進(jìn)行實際檢測的過程當(dāng)中，周圍環(huán)境產(chǎn)生的噪聲會對重構(gòu)結(jié)果造成一定的影響，而時序中的噪聲水平越高越會對重構(gòu)效果造成更大的影響。假設(shè)d表示為生成時序向量X（t）數(shù)學(xué)模型的一個分維數(shù)，在重構(gòu)環(huán)境中存在噪聲的情況下，要保證重構(gòu)的相空間e滿足e≥2d+l，該公式表示為嵌入維數(shù)大于吸引子維數(shù)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)。因此通過上文研究，從數(shù)學(xué)角度上，證明了狀態(tài)空間重構(gòu)的有效性。

1.2動力系統(tǒng)算法設(shè)計

2離散數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度檢測方法設(shè)計

2.1相空間重構(gòu)參數(shù)設(shè)定

通過對離散數(shù)學(xué)模型進(jìn)行上述計算得出相應(yīng)的響應(yīng)數(shù)據(jù)，再將其與實際的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)對比，構(gòu)建一個新的相空間，從而獲取到兩個序列結(jié)構(gòu)的向量，通過對動力信息的數(shù)據(jù)進(jìn)行提取以及對離散數(shù)學(xué)模型與實際結(jié)構(gòu)進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析，從而完成對離散型數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度的檢測。數(shù)學(xué)模型數(shù)據(jù)序列的主要特征包括：在同一個動力系統(tǒng)當(dāng)中，數(shù)據(jù)序列的響應(yīng)能夠代表一個動力系統(tǒng)在某一特定的狀態(tài)，從理論角度分析該狀態(tài)屬于一個無窮的序列，但在實際檢測的過程中數(shù)據(jù)序列的數(shù)目是有限的。同時，該數(shù)據(jù)序列與數(shù)學(xué)模型的離散程度有著密切的聯(lián)系;其次，在數(shù)據(jù)序列當(dāng)中，其本身隱藏著一個與該動力系統(tǒng)具有密切聯(lián)系的信息，并且在信息當(dāng)中還含有大量的噪聲影響因素;在數(shù)學(xué)模型當(dāng)中的向量與從數(shù)據(jù)序列中選擇的起始點有關(guān)，因此需要添加一步位移運(yùn)算將其消除。

對于一個數(shù)學(xué)模型的時間序列a1，a2，a3，…，an+（e-1）通過重構(gòu)相空間算法，計算出引人恰當(dāng)?shù)那度刖S數(shù)和時間延遲，構(gòu)成一個完整的矩陣或向量。其表達(dá)式為：

公式（2）中，A表示為構(gòu)造向量;e表示為嵌入維數(shù);τ表示為時間延遲。通過該表達(dá)式對被檢測的數(shù)據(jù)固定時間進(jìn)行延遲，從而構(gòu)成一個多維度狀態(tài)的空間。通過不斷的重復(fù)提取出在不同時刻下各個延遲量，從而產(chǎn)生對e維相空間相點的變化軌跡。對數(shù)學(xué)模型的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行關(guān)聯(lián)度檢測方法流程設(shè)計圖，如圖1所示。

在對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行瞬態(tài)激勵作用下，動態(tài)響應(yīng)的是數(shù)學(xué)模型整體的動態(tài)信息，因此維數(shù)要盡可能選用數(shù)值較大的，才能保證恢復(fù)其實際的動力系統(tǒng)信息，同時也可以有效保證數(shù)據(jù)模型數(shù)據(jù)的噪聲干擾以及結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)信號完整。

2.2有限元結(jié)構(gòu)動力分析方法設(shè)計

有限元結(jié)構(gòu)的基本前提是將連續(xù)的求解域進(jìn)行離散處理，從而構(gòu)成一個有限個數(shù)單元的組合體。通過構(gòu)建的組合體，可以對數(shù)據(jù)模型的區(qū)域進(jìn)行求解。而另一種方法，是利用每一個單元中的假設(shè)近似函數(shù)，將其表示為全部待求解的未知函數(shù)。離散數(shù)學(xué)模型的有限元分析可分為如下幾個步驟：

第一步，對數(shù)據(jù)模型中的連續(xù)區(qū)域進(jìn)行離散處理;

第二步，根據(jù)數(shù)據(jù)模型中的數(shù)據(jù)樣本構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)牟逯岛瘮?shù);

第三步，構(gòu)建一個具有單元特性的矩陣，一個具有數(shù)學(xué)模型整體特性的矩陣;

第四步，將整個數(shù)學(xué)模型的運(yùn)行方程導(dǎo)出，其方程可表示為：

方程（3）中，[M]表示為質(zhì)量矩陣;[c]表示為阻尼矩陣;[K]表示為剛度矩陣;[P（t）]表示為整個數(shù)學(xué)模型的運(yùn)行模式;

第五步，通過計算，求出數(shù)學(xué)模型的運(yùn)行方程。

2.3有限元結(jié)構(gòu)動力分析具體流程

利用有限元結(jié)構(gòu)動力分析方法對數(shù)學(xué)模型中的有限元動力響應(yīng)進(jìn)行求解，求解方法如下所示：

在進(jìn)行求解前，首先要在程序中構(gòu)建一個全新的文件，并將其對應(yīng)的初始參數(shù)設(shè)置為0，從而為后續(xù)的計算保留出足夠的計算空間和存儲空間。

步驟1：在處理分析程序的初始模塊中，計算出數(shù)學(xué)模型中所有的有限單元，同時預(yù)設(shè)計算過程中的相關(guān)參數(shù)，再利用有限元結(jié)構(gòu)動力分析軟件中的建模工具，構(gòu)建一個與其相符的數(shù)學(xué)模型，對于造成數(shù)學(xué)模型影響不大的條件，例如載荷、約束等，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕Ｒ运璺治龅膯栴}作為基礎(chǔ)，選取合適的網(wǎng)格劃分方法，對該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行劃分處理，在完成一系列操作后，退出該模塊;