如何攻克高考復(fù)習中的難點
——以高中數(shù)學平面向量為例

■天津市實驗中學 張維佳

在多年的高考復(fù)習實踐中，筆者一直在探索“如何攻克高考復(fù)習中的難點——平面向量”，并且越發(fā)體會到其積極的教育教學意義。因為在深化普通高中課程改革的背景下，每個知識內(nèi)容的學習都要服務(wù)于學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標的有效落實，那么建立平面向量的教學與數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，可以發(fā)揮數(shù)學學科在落實立德樹人根本任務(wù)和發(fā)展素質(zhì)教育中的獨特價值。

一、認清難點，分析成因

（一）平面向量的教學被公認為難點

數(shù)學學科核心素養(yǎng)中涉及數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體。筆者發(fā)現(xiàn)運用“平面向量”的基礎(chǔ)知識、基本方法解決問題，要求學生適度整合自身具備的六大核心素養(yǎng)，也正是由于這樣的融合性對于教學而言便構(gòu)成了難點。

（二）平面向量的復(fù)習被公認為難點

就解決平面向量問題需要的知識、方法、技能、素養(yǎng)而言，要求學生知識、方法綜合性強，思維水平、數(shù)學素養(yǎng)程度高的特點。因此，在高三數(shù)學復(fù)習課中進行平面向量的復(fù)習，不僅需要考生明確復(fù)習中溫故的基本意圖（即熟識平面向量基礎(chǔ)知識、基本方法），而且需要達到復(fù)習后知新的預(yù)設(shè)目的（即提升考生數(shù)學能力層次以及數(shù)學素養(yǎng)水平）。

在高考復(fù)習中，攻克“平面向量”這一難點所實施的教學，不僅可以幫助考生在考場上贏得分數(shù)和信心，而且可以契合數(shù)學學科的育人功能，發(fā)展學生必備的數(shù)學素養(yǎng)。

二、策略復(fù)習，精準克難

（一）回歸教材，筑牢基礎(chǔ)知識

高考復(fù)習中回歸教材，理清知識發(fā)展脈絡(luò)，有助于幫助考生運用平面向量解決數(shù)學問題。歷年的高考真題、各區(qū)的模擬題目表述中用語嚴謹、考點清晰，而且分析出這類題目的共同特點是：從考查的內(nèi)容到解決問題的思路，點點滴滴都是教材知識方法的再現(xiàn)和重組。

大量的平面向量問題是以學生熟悉的平面圖形為載體，清晰地描述了向量之間的線性關(guān)系，從而提出問題。筆者建議，教師可以選擇市區(qū)級學業(yè)測試中的題目作為復(fù)習例題，避免簡單重復(fù)地機械訓練，它們在形式和內(nèi)容上都區(qū)別于課本中已有的例題、習題。這樣，既可以讓考生在新的背景下進行直觀想象、數(shù)學抽象、推理運算的訓練，又可以落實關(guān)于“用圖形探索解決問題的思路，形成數(shù)形結(jié)合的思想”的課程理念。

此外，運用平面幾何知識對于具有共線關(guān)系的向量直接表示，可以提高解題效率，贏得考場上寶貴的解題時間。因此，在復(fù)習課中，不僅需要依托基本內(nèi)容訓練考生熟練掌握通法，而且需要積極引導考生深入細致地分析圖形中幾何元素之間的關(guān)系，發(fā)展他們空間想象能力和抽象概括能力，提升其數(shù)學素養(yǎng)。

（二）研討真題，熟識基本方法

研討高考真題（指普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學卷中的試題），把題目訓練的意圖和解決問題過程中呈現(xiàn)的思維特征附加上明確的標志，可以喚醒考生重新認識和掌握基本方法，促使他們主動選擇、運用適切的方法解決問題。

1.一題多解，提供縱向?qū)Ρ?，?yōu)化認知結(jié)構(gòu)。

例如：在2016 年天津卷中，平面向量問題是以等邊三角形中位線為基礎(chǔ)圖形建立的數(shù)學模型，學生在解決問題時，由于個體所熟識的基礎(chǔ)知識、基本方法存在的差異，就會萌生不一樣的解題思路，分別選擇定義法、基底法、坐標法進行求解。這樣，教師在復(fù)習課中，不僅需要訓練考生熟練地將幾何圖形與實數(shù)的巧妙結(jié)合，即通過對數(shù)的關(guān)系與空間形式的抽象，實現(xiàn)數(shù)學抽象素養(yǎng)的有效培養(yǎng)，而且需要幫助考生不斷地甄別這三種方法各自的優(yōu)長，明確這三種思路的意義，熟練地進行各種方法之間的轉(zhuǎn)換與變通。運用發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，進行探索，形成論證思路，進行數(shù)學推理，從而在復(fù)習課中以知識為載體，幫助考生形成直觀想象。

2.多題一解，著眼橫向關(guān)聯(lián)，搭建互通解題平臺。

近年來，許多平面向量問題在呈現(xiàn)方式上都明確了圖形中已知的角、已知的向量數(shù)量積關(guān)系，要求考生會求得其中的參量。

例如：2013、2014、2017 年天津卷中，像這種共性突出的題目復(fù)現(xiàn)，為教學提供了多題一解的復(fù)習素材。在教學中，教師注重幫助考生能夠把幾何語言轉(zhuǎn)換成代數(shù)語言，運用函數(shù)與方程的數(shù)學思想，可以深化數(shù)學思維的訓練，同時以高考真題為復(fù)習背景，創(chuàng)設(shè)適宜的情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，可以幫助考生識破考題真相，抓住重點，了解知識關(guān)聯(lián)，搭建合理的解題平臺，實現(xiàn)準確、快捷的解題目的。這種在事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學語言予以表征的過程也正是數(shù)學抽象素養(yǎng)的再提升。

（三）突顯核心，提升數(shù)學素養(yǎng)

在高考復(fù)習中，教師要突出平面向量復(fù)習的載體功能，體現(xiàn)數(shù)學學科的核心素養(yǎng)。通過系統(tǒng)的復(fù)習訓練和知識方法應(yīng)用的過程，逐步形成、發(fā)展和優(yōu)化考生的數(shù)學思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，積累從形到數(shù)、再從數(shù)到形的活動經(jīng)驗，養(yǎng)成以簡馭繁思考問題的習慣，訓練考生熟練地使用數(shù)學語言表達問題，提高科學地運用數(shù)學方法解決問題的素養(yǎng)。

例如：2018 年天津卷試題：如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1。若點E為邊CD上的動點，則→· →的最小值為（ ）

從題目圖形的呈現(xiàn)方式和問題解決的路徑選擇上都顯得格外靈活有趣、綜合復(fù)雜，解決此題需要考生數(shù)學地抽象出本質(zhì)特征，形成理性的思維，準確地理解題意，清晰地表達解決過程，在有序多級的解題系統(tǒng)中解決問題。

三、素養(yǎng)導向，系統(tǒng)落實

面對新課程，數(shù)學教學改革在即。高考數(shù)學的評價不僅關(guān)注學生知識技能的掌握，而且關(guān)注數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。因為，數(shù)學核心素養(yǎng)的形成不僅是學生自主學習和教師教學活動的要求，而且是相應(yīng)考試命題的依據(jù)。這樣，教師在高考復(fù)習中就不該單純地指向提高考生的學業(yè)成績，而是應(yīng)該把握高考復(fù)習的過程，在幫助學生提高數(shù)學素養(yǎng)上下功夫，從而幫助考生在完成高中數(shù)學課程學習后收獲優(yōu)秀的學業(yè)表現(xiàn)，更加有利于充分挖掘數(shù)學學科的育人價值，全面落實立德樹人的根本任務(wù)。

數(shù)學核心素養(yǎng)體現(xiàn)在“情境與問題”“知識與技能”“思維與表達”“交流與反思”四個方面，它們也是教與學過程中相互作用相互依賴的四個要素。筆者以上述的四個方面為主線，以復(fù)習高中數(shù)學平面向量為例，進行了攻克復(fù)習難點、落實數(shù)學核心素養(yǎng)的粗淺探索。

結(jié)合高中數(shù)學平面向量的復(fù)習策略的研究探討，筆者建議教師在組織高考復(fù)習中要關(guān)注幾個重點操作：一是精選關(guān)聯(lián)情境。教師要在適當?shù)那榫诚?，引導學生識別、抽象出數(shù)學問題；二是耐心鼓勵學生。教師要把問題交給學生的同時，交給學生解決問題的主動權(quán)，不做知識方法的代言人，要促成學生積極自主地構(gòu)建相關(guān)數(shù)學知識之間的聯(lián)系，選擇和運用適切的數(shù)學方法解決問題；三是善于開放課堂。教師要有意識地把課堂還給學生，舍得把時間還給他們思考，把空間留給他們交流，為學生提供表達的平臺，捕捉他們思維的火花，在不斷試錯糾錯的打磨中使學生形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，學會精準地運用數(shù)學語言進行表達，在交流中主旨明確語言規(guī)范。

因此，在數(shù)學學科的高考復(fù)習中，以數(shù)學學科素養(yǎng)為復(fù)習導向，通過制定科學合理的高考復(fù)習質(zhì)量要求，可以促進考生在不同復(fù)習內(nèi)容中實現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的達成；通過扎實牢靠的考前系統(tǒng)訓練，幫助考生攻克難點，把知識技能的掌握與數(shù)學學科核心素養(yǎng)的達成進行有機結(jié)合。