淺析高中數(shù)學(xué)“錯誤”資源的開發(fā)與利用

■江蘇省徐州市泉山區(qū)第三十六中學(xué) 郁茜茜

問題的提出：在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題過程中，學(xué)生出現(xiàn)一些錯誤是在所難免的。面對錯誤，有的教師僅僅抱學(xué)生怎么會犯這種錯誤，有的教師沒有給予充分的關(guān)注，有的教師會對學(xué)生進(jìn)行批評，從而扼殺學(xué)生的創(chuàng)造性思維。我想通過本次探討，改變一些教師對學(xué)生所犯“錯誤”的原有認(rèn)識，重新審視學(xué)生的“錯誤”。在認(rèn)知心理學(xué)的發(fā)展下，大家已經(jīng)逐步認(rèn)識到學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中“錯誤”的合理性，但是我認(rèn)為，僅認(rèn)識其合理性遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，其實學(xué)生的很多“錯誤”是有價值的。在教學(xué)過程中，給學(xué)生機會充分展示其思維過程，呈現(xiàn)出“錯誤”的閃光點，并順著學(xué)生的思路將合理的成分激活，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“錯誤”，對自己的思維過程進(jìn)行修正，那么“錯誤”就成了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的寶貴資源。

一、善待“錯誤”——激發(fā)學(xué)生的探究欲望

布魯納曾說：“探索是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生命線，沒有探索就沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展?！笨梢娞剿鞯闹匾院捅匾裕板e誤”也就有其存在的合理性了。因此，我們對待學(xué)生的“錯誤”要寬容，在教學(xué)中，我們要允許學(xué)生出錯，給學(xué)生營造探究的氛圍，讓學(xué)生在寬容中分析錯誤、發(fā)現(xiàn)錯誤、改正錯誤，不僅能讓錯誤得到升華，并能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

我在教學(xué)中曾遇到這樣一個案例。一道數(shù)學(xué)題如下：

“在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓

，點A是x軸上的一個動點，AP,AQ分別切圓C于P,Q兩點，則線段PQ的取值范圍是什么？”正確答案是但一位同學(xué)給的答案是他是從特殊位置考慮的，并堅持認(rèn)為能取到，E如果作者從形的角度解釋他想象不到，理解不了，于是建議其從數(shù)的角度來推導(dǎo)。先讓同學(xué)們獨立思考，然后小組討論，展示交流，同學(xué)們給了我很大的驚喜，在短短的幾分鐘內(nèi)給出了三種解法圖。見右圖：

方法一：設(shè)AC=x，則x≥3，由PC⊥AP可 知AP=因 為AC垂直平分PQ，所以PQ=所 以 當(dāng)x= 3時，PQ取得最小值，所以，所以PQ的取值范圍是

方法二：設(shè)A(a,0 )，由A、P、C、Q四點共圓得圓的方程為x2+y2-ax-3y=0，與圓C的方程相減得到PQ所在直線方程為ax-3y+7=0，求出圓心C( 0,3)到直線ax-3y+7=0的距離為d，由求出線段PQ長的取值范圍是

方法三：設(shè)∠PAQ=α，則∠PCQ=π-α，在△PCQ中由余弦定理得得PQ的取值范圍是

在同學(xué)們從數(shù)的角度探究之后，剛才給出不同答案的同學(xué)恍然大悟，對之前的錯誤有了新的認(rèn)識，而同學(xué)們?yōu)榱俗C明他的想法是錯誤的，有著很高的探究熱情。面對學(xué)生的錯誤，給予寬容的態(tài)度，輕松的范圍，探究的機會，保護好學(xué)生的創(chuàng)新思維，并讓學(xué)生的認(rèn)識得到了升華，感嘆“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好”。

二、誘導(dǎo)“錯誤”——拓寬學(xué)生的思維空間

學(xué)生某些知識時，學(xué)生在探究過程中不容易出錯，但是，這并不代表學(xué)生對這些知識掌握得就深刻、靈活、透徹，在解決相關(guān)問題時候卻特別容易出錯。此外，有的問題學(xué)生會特別容易出錯，反復(fù)出錯。針對這兩種情況，教師可以嘗試有意設(shè)置一些陷阱，引誘學(xué)生犯錯。在教學(xué)中，學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而作出函數(shù)的圖象這類題，如一個函數(shù)在[ 2,+ ∞)上先增后減，遞減的那部分圖象很多學(xué)生不加分析就會穿過x軸。每次錯了一分析就注意到，再遇到時又出錯。針對這種情況，我在教學(xué)中就會特意設(shè)置一些帶陷阱的函數(shù)模型，并且在分析作圖的時候也故意忽略判斷是否穿過x軸的情況，讓學(xué)生提出異議，發(fā)現(xiàn)問題所在，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在問題的發(fā)生、發(fā)展、探索過程中拓寬了學(xué)生的思維空間。例如：已知函數(shù)求f(x)的零點個數(shù)。有反應(yīng)快的同學(xué)立刻回答有三個，分析其過程，第一段一次函數(shù)在( -∞,1 )上顯然有一個零點，第二段函數(shù)求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)其在( 1,e)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且f( 1 )= 0，第二段有兩個零點，共三個零點。我贊美其分析得很好，思路很清楚。這時，有同學(xué)說：老師，不對，有問題。我追問：你發(fā)現(xiàn)了什么問題？同學(xué)答：雖然第二段函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，但遞減時不能穿過x軸，因為分子分母都是大于0 的，圖象是逼近x軸，所以第二段函數(shù)只有1個零點。教室傳來一片贊同聲。我乘勝追擊，問同學(xué)們通過這道題有何收獲？同學(xué)們能否自己再找一些類似的函數(shù)模型？在后續(xù)的教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)確實收效甚好。

三、巧用“錯誤”——培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

教學(xué)中的一個案例：關(guān)于x的不等式x2-ax+2a＜0的解集為A，若集合A中恰有兩個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。幾乎所有的同學(xué)都是設(shè)方程x2-ax+2a=0的兩個根為x1,x2，則有x1+x2=a，x1x2=2a，2＜進(jìn)而求出a的范圍。我反問學(xué)生：是否只要滿足2＜|x1-x2|≤3 這個條件，集合A中就一定恰有兩個整數(shù)解？若不是舉出反例。學(xué)生紛紛舉出了反例。那么我們犯了一個怎樣的錯誤？同學(xué)答：轉(zhuǎn)化不等價，必要不充分條件等。這給我們以后做題帶來怎樣的啟發(fā)？同學(xué)答：問題的轉(zhuǎn)化要等價。那么這題該如何思考呢？有同學(xué)想到不等式、方程、函數(shù)之間的關(guān)系，從方程根的角度不好研究，就從函數(shù)的角度來研究。給學(xué)生探究的時間，然后讓他們交流討論，展示成果。一同學(xué)代表發(fā)言：若滿足題意，其對應(yīng)方程x2-ax+ 2a= 0必有兩個不等的實數(shù)根，則Δ=a2-8a＞0，得到a＜0或a＞8。研究函數(shù)2a，當(dāng)a＜0時，對稱軸小于，結(jié)合圖象可知集合A中的兩個整數(shù)為-1,0，剩下問題就迎刃而解了，a＞8時的情況同理可得。在教學(xué)中，巧用學(xué)生的“錯誤”，抓住教學(xué)契機，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，

四、經(jīng)歷“錯誤”——增進(jìn)學(xué)生的情感體驗

在教學(xué)中曾有這樣一道題目：若將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，向上的點數(shù)紙之和為6的概率是多少。有一些同學(xué)答案是他們認(rèn)為向上的點數(shù)之和為6 包含的基本事件個數(shù)是6 個，分別為（1，5）、（5，1）、（2，4）、（4，2）、（3，3）、（3，3），明白的同學(xué)都會很奇怪，怎么會有兩個（3，3）。但是深陷其中的同學(xué)就是在自己的理論中醒悟不了，和理解正確的同學(xué)爭執(zhí)不休，這時，讓他們把所有基本事件一一列出來，他們發(fā)現(xiàn)竟然真的是一個（3，3），與之所想不同。在經(jīng)歷了“錯誤”之后，他們由困惑到豁然開朗，學(xué)生如釋重負(fù)，心情特別愉悅，增進(jìn)了情感體驗，激發(fā)了學(xué)習(xí)熱情。

泰戈爾曾說“：如果你對一切錯誤關(guān)上了門，那么真理也將將你關(guān)在門外?！睂τ阱e誤，我們不應(yīng)該退避三舍，而應(yīng)該遵循發(fā)現(xiàn)錯誤、分析錯誤、找出錯誤、解決錯誤的處理步驟“。錯誤”是一種寶貴的教學(xué)資源，我們要加以收集，并正確、合理地加以開發(fā)、利用，使學(xué)生在知識、能力、情感、態(tài)度等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。