礦區(qū)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中病態(tài)矩陣與坐標(biāo)粗差的處理算法

余凱 梁爽 王德高

摘要：礦區(qū)GPS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至國(guó)家坐標(biāo)時(shí)，病態(tài)矩陣與重合點(diǎn)坐標(biāo)粗差經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)換坐標(biāo)精度低，致使礦區(qū)缺乏高精度的坐標(biāo)基準(zhǔn)，造成安全風(fēng)險(xiǎn)。利用廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則解決系數(shù)矩陣病態(tài)問(wèn)題，將抗差估計(jì)算法用于解決重合點(diǎn)坐標(biāo)粗差問(wèn)題。通過(guò)具體算例表明，廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則與抗差估計(jì)理論能分別克服礦區(qū)GPS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)病態(tài)矩陣及坐標(biāo)粗差問(wèn)題，得到高精度的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)值，為礦區(qū)安全生產(chǎn)提供精確、可靠的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，病態(tài)矩陣，粗差，廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則，抗差估計(jì)

中圖分類號(hào)：P226.3?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?文章編號(hào)：2095-5383（2020）01-0065-04

Abstract：When GPS coordinate of the mining area are transformed into the state coordinate，the morbidity matrix and the coordinates gross error of coincident points often lead to the low accuracy of the converted coordinates.?As a result，there is a lack of high precision coordinate datum in mining area，which results in safety risk.?The generalized cross-checking criterion was used to solve the ill-conditioned problem of the coefficient matrix，and the robust estimation algorithm was used to solve the problem of coordinates gross error of the coincident points.?Specific examples show that the generalized cross-checking criterion and robust estimation theory can overcome the problem of ill-conditioned matrix and coordinates gross error during GPS coordinate conversion in mining areas，obtain high-precision converted coordinate values，and provide accurate and reliable reference data for safe production in mining areas.

Keywords：coordinate transformation，morbidity matrix，gross error，generalized cross-checking criterion，robust estimation

礦區(qū)GPS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至國(guó)家坐標(biāo)時(shí)，若誤差方程的系數(shù)矩陣條件數(shù)很大，法方程矩陣解算便會(huì)出現(xiàn)病態(tài)現(xiàn)象[1]，致使產(chǎn)生低精度的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)。且在礦區(qū)環(huán)境下，地表沉降、變形的幅度非常劇烈，導(dǎo)致控制點(diǎn)實(shí)際位置與坐標(biāo)數(shù)據(jù)的不吻合現(xiàn)象十分嚴(yán)重，導(dǎo)致控制點(diǎn)坐標(biāo)出現(xiàn)粗差，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的最小二乘解偏離。傳統(tǒng)的LC曲線法容易受到擬合曲線光滑度的影響，導(dǎo)致其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換穩(wěn)定性較差[1]。本文將廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則與抗差估計(jì)理論相結(jié)合，能夠分別解決礦區(qū)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)的病態(tài)矩陣及重合點(diǎn)坐標(biāo)粗差的問(wèn)題，進(jìn)而達(dá)到獲取高精度、穩(wěn)定性好的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)的目的。

1?轉(zhuǎn)換模型與算法

1.1?布爾莎模型

布爾莎模型[2]是較常用的三維轉(zhuǎn)換模型：

1.2?廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則（GCV）

GCV函數(shù)為[1]：

取GCV（α）最小值對(duì)應(yīng)的α為正則參數(shù)，然后利用式（3）求解參數(shù)值。

1.3?抗差估計(jì)的應(yīng)用

抗差估計(jì)[3]法的思想是利用Tukey[4]、IGGI[5]或IGGIII[6]等抗差權(quán)函數(shù)降低重合點(diǎn)中粗差坐標(biāo)的權(quán)重，從而降低其在參數(shù)解算時(shí)的作用，提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

該算法用于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的步驟為：

1）根據(jù)式（4）確定初始權(quán)陣P [7]，

其中：D1、D2為重合點(diǎn)坐標(biāo)在GPS級(jí)國(guó)家控制網(wǎng)下的各自的協(xié)方差矩陣。

2）結(jié)合式（1）轉(zhuǎn)換模型，利用最小二乘準(zhǔn)則計(jì)算初始轉(zhuǎn)換參數(shù)Xi=（BTPB）BTPL（i=0，B為系數(shù)矩陣）及殘差絕對(duì)值vi。

3）利用計(jì)算出的殘差絕對(duì)值vi，選擇適當(dāng)?shù)目共顧?quán)函數(shù)編寫程序進(jìn)行迭代計(jì)算。若前后2次迭代得出的轉(zhuǎn)換參數(shù)差值絕對(duì)值均小于給定限差ε（即Xi-Xi-1，i≥1）時(shí)，停止迭代，得出最終的等價(jià)權(quán)陣，求出最終的轉(zhuǎn)換參數(shù)（dx，dy，dz，εx，εy，εz，K），將得出的轉(zhuǎn)換參數(shù)代入式（1）便可求解國(guó)家坐標(biāo)系下坐標(biāo)值（XT，YT，ZT），否則需要繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算。

2?轉(zhuǎn)換算例

從某礦區(qū)控制網(wǎng)中選出16個(gè)同時(shí)具備兩套坐標(biāo)系下坐標(biāo)的重合點(diǎn)參與算例驗(yàn)證，16個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)值見(jiàn)表1[8]，控制網(wǎng)見(jiàn)圖1。

選取其中1、5、7、9、11、14、16等7個(gè)分布較均勻的點(diǎn)作為重合點(diǎn)，此外的9個(gè)點(diǎn)作為外部精度檢核點(diǎn)。

2.1?廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則的應(yīng)用

本算例中條件數(shù)為11.9×1025，系數(shù)矩陣存在嚴(yán)重病態(tài)，擬分別采用直接最小二乘法與廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將2種算法計(jì)算得出的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)值分別與已知的北京54坐標(biāo)值進(jìn)行比較，得出其誤差絕對(duì)值，見(jiàn)表2。

由表2得出結(jié)論：

1）因系數(shù)矩陣條件數(shù)過(guò)大，矩陣存在嚴(yán)重病態(tài)，最小二乘解誤差過(guò)大，轉(zhuǎn)換誤差最高達(dá)27 mm，

2）廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則解決了系數(shù)矩陣病態(tài)問(wèn)題，各點(diǎn)轉(zhuǎn)換誤差最高僅4 mm，且穩(wěn)定性較好。

2.2?抗差估計(jì)法在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

在廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則法基礎(chǔ)上，運(yùn)用抗差估計(jì)法抵抗重合點(diǎn)坐標(biāo)粗差對(duì)轉(zhuǎn)換精度的影響。運(yùn)用直接最小二乘及抗差估計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行比較計(jì)算。

1）直接最小二乘法：求取轉(zhuǎn)換7參數(shù)為：平移參數(shù)dx=2.035 m，dy=-1.988 m，dz=3.424 m，尺度比K=0.999 713 277，旋轉(zhuǎn)參數(shù)εx=0.000 016 822 6，εy=0.000 017 073 04，εz=0.000 017 515 80。

由表3可知，由于重合點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)粗差存在，x、y、z 3個(gè)方向坐標(biāo)轉(zhuǎn)換最大誤差僅為2 mm。

2）本算例人為地在11號(hào)重合點(diǎn)的x坐標(biāo)上加入2 cm的粗差，利用最小二乘準(zhǔn)則計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)得：平移參數(shù)dx=3.564 m，dy=-2.274 m，dz=1.140 m，尺度比K=0.694 724 12，旋轉(zhuǎn)參數(shù)εx=0.015 211 2，εy= 0.022 522，εz= 0.142 525 3，重合點(diǎn)坐標(biāo)粗差的存在導(dǎo)致解算出的7個(gè)未知轉(zhuǎn)換參數(shù)等與重合點(diǎn)無(wú)粗差時(shí)相比，誤差均較大，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度均較差（詳見(jiàn)表4）。

3）抗差估計(jì)法：當(dāng)11號(hào)點(diǎn)x坐標(biāo)有2 cm粗差時(shí)，結(jié)合廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則法與抗差估計(jì)法計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)：平移參數(shù)dx=2.036 m，dy= -1.987 m，dz=3.425 m，尺度比K=0.999 713 275，旋轉(zhuǎn)參數(shù)εx=0.000 016 822 5，εy=0.000 017 073 02，εz= 0.000 017 515 80。

為了說(shuō)明比較直接最小二乘法與抗差估計(jì)法的抗差效果，分別將直接最小二乘法與抗差估計(jì)算法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得出的三維坐標(biāo)與已知坐標(biāo)進(jìn)行比較，計(jì)算兩種算法的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與已知坐標(biāo)差值絕對(duì)值（詳見(jiàn)表4）。經(jīng)過(guò)對(duì)比可以看出，利用抗差估計(jì)算法解決了11號(hào)點(diǎn)x坐標(biāo)2 cm粗差的影響，轉(zhuǎn)換參數(shù)與無(wú)粗差時(shí)的基本相同，且坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度亦較高。

由表3、4看出：

1）由于11號(hào)重合點(diǎn)的x坐標(biāo)存在2 cm粗差，最小二乘解轉(zhuǎn)換誤差最高達(dá)34 mm，

2）抗差估計(jì)法能較好地抵抗重合點(diǎn)粗差坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的影響，轉(zhuǎn)換誤差最差僅1 mm。

3?結(jié)論

由論述及轉(zhuǎn)換算例說(shuō)明，廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則能較好解決其法方程矩陣的病態(tài)問(wèn)題，抗差估計(jì)法通過(guò)選權(quán)迭代方式降低粗差坐標(biāo)的影響，較精確地實(shí)現(xiàn)高精度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。在實(shí)際的礦區(qū)控制測(cè)量中可將廣義交叉檢驗(yàn)準(zhǔn)則與抗差估計(jì)算法結(jié)合編寫轉(zhuǎn)換程序，解決轉(zhuǎn)換過(guò)程中矩陣病態(tài)與重合點(diǎn)坐標(biāo)粗差導(dǎo)致轉(zhuǎn)換失敗的問(wèn)題，為礦區(qū)的安全生產(chǎn)及地面變形監(jiān)測(cè)提供精確的國(guó)家坐標(biāo)。

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