研究高考試題的視角與案例

嚴(yán)豪東　劉成龍　鐘夢(mèng)圓

[摘? 要] 文章提出了研究高考試題的八個(gè)視角：試題評(píng)析、分布、立意、背景、解法、變式、推廣和優(yōu)化，并以2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科試題為例進(jìn)行了說明.

[關(guān)鍵詞] 高考試題;視角;案例

高考涉及千家萬戶的利益和萬千學(xué)子的夢(mèng)想. 因此，高考一直是人們討論的熱門話題. 如何應(yīng)對(duì)高考是一線教師關(guān)注和思考的焦點(diǎn)問題. 為解決這一問題，首要任務(wù)是認(rèn)識(shí)到試題是選拔學(xué)生的載體，是構(gòu)成高考試卷的單元. 于是，對(duì)高考的研究要轉(zhuǎn)移到研究試題上來.[1]如何研究試題呢？首先應(yīng)明確研究的視角. 在結(jié)合高考命題實(shí)際、綜合研究因素的情形下，結(jié)合具體案例，我們提出了研究試題的8個(gè)視角：試題評(píng)析、分布、立意、背景、解法、變式、推廣和優(yōu)化.文中以2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ（下文簡稱全國卷Ⅰ）理科試卷為例進(jìn)行說明.

試題評(píng)析

試題評(píng)析即試題評(píng)價(jià)與分析.對(duì)試題評(píng)析有利于整體把握高考命題動(dòng)態(tài)、感受高考命題原則，領(lǐng)會(huì)高考命題精神. 全國卷Ⅰ理科試卷嚴(yán)格按照《考試說明》以及《課程標(biāo)準(zhǔn)》命制，繼續(xù)貫徹“有利于高校選拔人才、有利于中學(xué)素質(zhì)教育”的指導(dǎo)思想[2]，始終堅(jiān)持穩(wěn)中求變、穩(wěn)中創(chuàng)新、立足基礎(chǔ)、突出能力、滲透文化、考查素養(yǎng)的命題原則. 具體來講，第10、11題以三角函數(shù)、圓錐曲線、向量為載體，考查問題解決的通法通解;第12、16題著重考查邏輯推理、閱讀等數(shù)學(xué)能力;第18題解答入口寬，考查學(xué)生的空間想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng);等等. 通過分析，不難領(lǐng)悟全國卷Ⅰ所傳達(dá)的明確信號(hào)：重視教材、扎實(shí)基礎(chǔ)、關(guān)注通法、注重能力、落實(shí)素養(yǎng)和發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).

試題分布

試題分布即試題的分配與布局.包括內(nèi)容、分值、難度等的分配與布局.研究試題的分布有利于認(rèn)識(shí)試題考什么、怎么考、考到什么程度. 對(duì)試題分布的研究需要結(jié)合題序、分值、內(nèi)容、難度這四個(gè)要素展開. 下面先給出2019年全國卷Ⅰ試題分析，再結(jié)合2017、2018年全國卷Ⅰ分析試題分布.

1. 試題分布（見表1、表2）

2. 信息分析

比較2017、2018年試題，2019年試題在題型、題量上保持不變，但考點(diǎn)與考查形式略有改動(dòng)，難度要求上有所變化.

（1）復(fù)數(shù)、集合、數(shù)列、向量板塊考查難度不變，分值占比不變.

（2）概率統(tǒng)計(jì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何占全卷分值比不變，難度有變化.具體來講，解析幾何解答題仍在19題呈現(xiàn)，中等難度，但由兩道較易選擇題減為一道，增加了一道填空壓軸題，總體難度上升;函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊，仍有兩道較易選擇題，解答題部分由壓軸題變?yōu)橹须y度試題，總體難度下降;概率與統(tǒng)計(jì)板塊由兩道較易選擇題降為一道，增加一道中難度填空題，解答題上升為壓軸題，難度總體上升.

（3）立體幾何與三角函數(shù)板塊全卷分值占比對(duì)調(diào)，難度基本不變.

（4）出現(xiàn)創(chuàng)新應(yīng)用性試題.

試題立意

試題立意即試題的主題思想. 試題立意是命題者命題意圖的集中體現(xiàn)，是命題思維過程的開端.命題者基于考查意圖，選擇適當(dāng)?shù)目疾閮?nèi)容、擬定恰當(dāng)?shù)目疾樾问健⒃O(shè)置合理的數(shù)學(xué)問題.試題立意的角度很多，比如：考查“雙基”;考查數(shù)學(xué)思想方法;考查數(shù)學(xué)能力;考查新課程理念;考查數(shù)學(xué)文化;考查核心素養(yǎng);等等. 高考命題立意先后經(jīng)歷了“雙基”立意、能力立意、學(xué)科素養(yǎng)立意等過程，立意的變化體現(xiàn)了命題指導(dǎo)思想的優(yōu)化.把握試題立意不僅是透過題目表象看本質(zhì)的過程，更是再現(xiàn)命題者思維智慧的過程[1]. 全國卷Ⅰ理數(shù)中很多試題立意深刻，獨(dú)具匠心.

例1：（全國卷Ⅰ理數(shù)第19題）已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.

（Ⅰ）若AF+BF=4，求l的方程.

（Ⅱ）若=3，求AB.

立意分析：（1）以知識(shí)立意：本例考查拋物線定義、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí);

（2）以思想方法立意：本例考查點(diǎn)差法、設(shè)而不求等基本方法，考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等;

（3）以核心素養(yǎng)立意：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的[3]. 例1考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

試題背景

試題的背景即試題中所隱含的知識(shí)、模型、結(jié)論和思想方法等素材[1]. 研究試題的背景，有利于把握試題本質(zhì)、剖析試題內(nèi)涵、拓展試題解法. 常見的試題背景有教材背景、數(shù)學(xué)史背景、高等數(shù)學(xué)背景、研究成果背景等. 全國卷Ⅰ試題具有豐富的背景.

例2：（全國卷Ⅰ理數(shù)第10題）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn). 若AF2=2F2B，AB=BF1，則C的方程為（? ）

A. +y2=1 B. +=1

C. +=1 D. +=1

注：例2含有研究成果背景——橢圓焦點(diǎn)弦定點(diǎn)分比結(jié)論：過橢圓焦點(diǎn)F且傾斜角為θ的直線交橢圓+=1（a>b>0）于A，B兩點(diǎn)，AB為橢圓的焦點(diǎn)弦，則稱焦點(diǎn)分的比叫做橢圓焦點(diǎn)弦的定點(diǎn)分比，且=.[4]

試題解法

從系統(tǒng)論來看，一個(gè)數(shù)學(xué)問題就是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的處理（解題）就是把系統(tǒng)中一個(gè)個(gè)零散的信息按照一定順序串在一起形成一個(gè)有機(jī)整體. 一題多解是解法研究的基本形式，體現(xiàn)的是信息組合的多樣性和思維策略的靈活性[5]. 全國卷Ⅰ中很多試題解答視角寬，是解法研究的良好素材.

試題變式

變式是指相對(duì)于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使事物的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而事物的本質(zhì)屬性保持不變的變化方式. 變式能有效控制題海戰(zhàn)術(shù)，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

例5：（2019全國卷Ⅰ理數(shù)第16題）雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn). 若=，·=0，則C的離心率為__________.

視角1：變?cè)囶}求解目標(biāo)

變式1：雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1（-1，0）的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若=，·=0，則雙曲線方程為__________.

視角2：變?cè)囶}條件

變式2：雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，過F1的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn). 若=，OA∥F2B，則C的離心率為__________.

視角3：變?cè)囶}背景及條件

變式3：橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過左焦點(diǎn)F1的直線l1與過右焦點(diǎn)F2的直線l2交于B點(diǎn). A為l1上的一點(diǎn)，若=，·=0，F(xiàn)1F2=2F2B，則C的離心率為__________.

視角4：變?cè)囶}內(nèi)涵及條件

變式4：雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過左焦點(diǎn)F1的直線l1與雙曲線兩支分別交于A，B兩點(diǎn). 若3=，·=0，則C的離心率為__________.

試題優(yōu)化

試題命制是一個(gè)嚴(yán)肅而充滿創(chuàng)造的系統(tǒng)工程. 命題既要關(guān)注知識(shí)、能力、素養(yǎng)的考查，又要注重合適的難度、有效的信度和適當(dāng)?shù)膮^(qū)分度的設(shè)置，更要關(guān)注試題的嚴(yán)謹(jǐn)性. 嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)的基本特征，它要求數(shù)學(xué)試題內(nèi)容科學(xué)、表述準(zhǔn)確、條件相容、問題明確等等[6]. 盡管高考試題經(jīng)過無數(shù)次打磨，但遺憾的是個(gè)別高考試題存在瑕疵. 面對(duì)這些瑕疵，我們?cè)诎莸耐瑫r(shí)，更應(yīng)具有反思的行動(dòng)和優(yōu)化的策略，以此督促命題工作的完善.

例6：（2019全國卷Ⅰ理數(shù)第4題）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也為黃金分割比. 若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（? ）

A. 165cm B. 175cm

C. 185cm D. 190cm

此題存在著命題內(nèi)容上的缺陷，便于說明，這里先看一個(gè)網(wǎng)紅解法：

首先，維納斯是女性，排除C，D;其次，東方女性理想身高是165，西方女性是175，維納斯是外國人，排除A，選B.

網(wǎng)紅解法從常識(shí)的角度得到了試題正確的答案. 歪打正著背后，實(shí)質(zhì)上是命題上的重大失誤所致. 華南師大何小亞教授指出：“由于此題存在著命題內(nèi)容上的缺陷，加上26、105、165、175、185、 190這幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)設(shè)置技術(shù)的不到位，此題很難考出命題者想考的東西.”因此，我們有必要對(duì)試題進(jìn)行優(yōu)化：將選項(xiàng)改為：

A. 171cmB. 173cm

C. 175cmD. 178cm

評(píng)注：數(shù)學(xué)是講理的.數(shù)據(jù)優(yōu)化后可以很好地考查學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)、模型素養(yǎng)、推理能力和數(shù)據(jù)分析能力，能有效抑制歪打正著.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 劉成龍，余小芬. 研究高考試題的視角與案例[M]. 成都：四川大學(xué)出版社，2018.

[2]? 朱恒元. 聚焦核心素養(yǎng) 打造優(yōu)質(zhì)課堂——2018年全國各地高考數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)及啟示[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2018（Z4）.

[3]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[4]? 顧日新. 圓錐曲線焦點(diǎn)分弦的一個(gè)統(tǒng)一結(jié)論[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2009（09）.

[5]? 鄭云升，向婉詩，劉成龍. 《怎樣解題表》指導(dǎo)下的解題實(shí)踐——以2012年成都中考第24題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（05）.

[6]? 鐘夢(mèng)圓，劉成龍，董萬平. 一道條件相互矛盾的中考試題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（18）.