半?yún)?shù)模型在開采沉陷預(yù)計(jì)中的應(yīng)用

成 樞 朱玉明 馬衛(wèi)驕 高秀明 劉忠偉

（1.山東科技大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東青島266590；2.山東省核工業(yè)二四八地質(zhì)大隊(duì)，山東青島266041；3.山東泰豐控股集團(tuán)有限公司王家寨煤礦，山東泰安271204）

由于參數(shù)模型具有很強(qiáng)的假設(shè)性，需要滿足一些假設(shè)條件，比如：觀測(cè)誤差中只有偶然誤差，平差模型線性化后的微小量可忽略不計(jì)等。所以，當(dāng)參數(shù)假定與實(shí)際偏差較大時(shí)，平差模型的參數(shù)估值精度降低。由于參數(shù)模型的局限性，相關(guān)學(xué)者引入非參數(shù)模型理論。非參數(shù)模型取消了變量之間在函數(shù)關(guān)系形式上的假設(shè)，其函數(shù)模型表示任意的函數(shù)關(guān)系，因此放寬了函數(shù)形式的限制［1-3］，但是非參數(shù)模型的模型解釋能力較低且觀測(cè)數(shù)據(jù)的維度受到限制。因此，針對(duì)參數(shù)模型與非參數(shù)模型各自的局限性，相關(guān)學(xué)者將二者結(jié)合到一起構(gòu)建了半?yún)?shù)模型。

在20世紀(jì)80年代，Engle等針對(duì)氣候條件改變對(duì)電力需求變化的影響提出了半?yún)?shù)模型［4-6］。半?yún)?shù)模型作為一種重要的統(tǒng)計(jì)模型，數(shù)學(xué)模型中包含參數(shù)部分與非參數(shù)部分，克服了單一的參數(shù)模型與非參數(shù)模型的不足［7］。當(dāng)觀測(cè)值中存在無法忽略的模型誤差時(shí)，半?yún)?shù)模型在數(shù)學(xué)模型方面相對(duì)于參數(shù)模型更符合客觀實(shí)際；在數(shù)值求解方面可以分別求解參數(shù)向量、非參數(shù)向量和偶然誤差，因此被廣泛應(yīng)用于測(cè)量數(shù)據(jù)處理中。

本研究采用礦區(qū)地表沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型，考慮到模型誤差問題，灰色Verhulst 模型的時(shí)間響應(yīng)序列的系數(shù)求取可以采用半?yún)?shù)模型，根據(jù)半?yún)?shù)模型估值準(zhǔn)則設(shè)計(jì)不同計(jì)算方案構(gòu)建半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型，求解時(shí)間響應(yīng)序列中的參數(shù)，并進(jìn)行沉降預(yù)計(jì)結(jié)果對(duì)比和精度分析。

1 半?yún)?shù)灰色Verhulst模型

1.1 半?yún)?shù)模型

通常影響觀測(cè)值的因素有很多，然而經(jīng)典平差模型不考慮系統(tǒng)誤差與粗差的影響。當(dāng)模型誤差無法忽略且其性態(tài)十分復(fù)雜時(shí)，可以在函數(shù)模型中加入一個(gè)待定量，用來描述觀測(cè)量與影響因素之間函數(shù)關(guān)系不明確的部分，這種平差模型即為半?yún)?shù)模型［4，7］。

半?yún)?shù)模型的函數(shù)模型和隨機(jī)模型分別為

式中，L 為n 維觀測(cè)向量；X 為t 維參數(shù)向量；B 為列滿秩設(shè)計(jì)矩陣；S 為n 維非參數(shù)向量；Δ 為n 維誤差向量；為方差因子；P為Δ的權(quán)矩陣。

半?yún)?shù)模型在函數(shù)模型表達(dá)式中添加了非參數(shù)部分，相對(duì)于參數(shù)模型而言，在模型誤差無法忽略時(shí)，半?yún)?shù)模型具有更大的優(yōu)越性：在模型建立方面，數(shù)學(xué)模型與客觀實(shí)際更為接近；在數(shù)值解算方面，可求出模型誤差與偶然誤差。

由式（1）可知，半?yún)?shù)模型的誤差方程為

在最小二乘準(zhǔn)則VTPV=min 下構(gòu)造條件極值函數(shù)得到的法方程為

由于待定參數(shù)個(gè)數(shù)多于誤差方程個(gè)數(shù)，因此基于最小二乘準(zhǔn)則構(gòu)建的半?yún)?shù)模型的法方程唯一解不存在，需要在VTPV=min基礎(chǔ)上附加最優(yōu)化準(zhǔn)則，構(gòu)成補(bǔ)償最小二乘法則［8］：

式中，R 為正則矩陣；α 為正則化參數(shù)（或稱為平滑因子），其主要作用是在極小化過程中，在二次型VTPV和起到平衡作用［9-10］。

根據(jù)式（2）和式（4）以及構(gòu)造條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)為

式中，λ1為拉格朗日常數(shù)。

由式（6）可得：

結(jié)合式（2）和式（7），可得到基于補(bǔ)償最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則的半?yún)?shù)模型誤差方程的法方程：

由于矩陣R為正定矩陣，因此基于補(bǔ)償最小二乘估計(jì)構(gòu)建的法方程是正定可逆矩陣，法方程有唯一解，對(duì)式（8）求解可得：

式中，M為光滑矩陣；H為帽子矩陣。

正則矩陣選取根據(jù)實(shí)際情況，構(gòu)造方法一般有時(shí)間序列法、距離法和樣條函數(shù)法等；正則矩陣選取一般有L曲線法、信噪比值法、效率法等［7，12］。

當(dāng)法方程系數(shù)矩陣接近奇異時(shí)，應(yīng)當(dāng)采用半?yún)?shù)嶺估計(jì)準(zhǔn)則：

式中，k 是在X 與V 的正則化參數(shù)，稱為嶺參數(shù)，嶺參數(shù)的構(gòu)造方法一般有L曲線法［7，13］、U曲線法［14-15］等，參數(shù)求解方法與式（6）相同，在此不做贅述；Q一般取單位矩陣。

1.2 灰色Verhulst模型

設(shè)原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列為

通過原始數(shù)據(jù)累加弱化原始數(shù)據(jù)序列的波動(dòng)性和隨機(jī)性，生成1-AGO序列

根據(jù)GM（1，1）模型的建模方法，得到灰色Verhulst模型的一階白化非線性微分模型為

式中，a,b為灰色Verhulst模型待計(jì)算參數(shù)。

若按最小二乘法，解得待求參數(shù)估值為

將參數(shù)估值a,b 代入微分方程求解得到灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)序列［16］：

最后還原數(shù)列得到模型的預(yù)測(cè)值：

從測(cè)量平差的角度分析，式（14）求取待求參數(shù)與參數(shù)平差的法方程求解形式相同。在只考慮偶然誤差的情況下，可以采用最小二乘準(zhǔn)則求解灰色Verhulst 模型一階白化非線性微分方程中的參數(shù)最優(yōu)估值。若模型誤差不可忽略，可考慮采用半?yún)?shù)模型求解一階白化非線性微分方程的參數(shù)估值，進(jìn)而建立半?yún)?shù)灰色Verhulst模型進(jìn)行預(yù)計(jì)。

1.3 半?yún)?shù)灰色Verhulst模型檢驗(yàn)

建立半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型時(shí)應(yīng)當(dāng)進(jìn)行模型檢驗(yàn)，驗(yàn)證所建立的模型是否符合實(shí)際情況。半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型檢驗(yàn)主要包括采用半?yún)?shù)模型求解一階白化非線性微分方程中參數(shù)估值的假設(shè)檢驗(yàn)以及灰色模型的精度檢驗(yàn)。其中，半?yún)?shù)模型檢驗(yàn)采用線性假設(shè)法［17］，灰色模型精度檢驗(yàn)結(jié)果等級(jí)劃分如表1所示［18］。

?

2 算例分析

2.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

以某礦區(qū)地表沉降監(jiān)測(cè)為例，跟據(jù)相關(guān)設(shè)計(jì)，礦區(qū)九采區(qū)共有5 個(gè)回采工作面，其中，7265 工作面回采走向長(zhǎng)度D1=909 m，傾向長(zhǎng)度D2=186 m，煤層厚度m=4.15 m，煤層傾角θ=0～12°（平均7°），傾斜面積168 334 m2，工業(yè)儲(chǔ)量106 萬t，工作面標(biāo)高-678～-743 m，地面高程34.1～37.5 m，2017年2月中旬開采，2018 年1 月12 日回采結(jié)束，回采量88.2 萬t，回采率85%。

依據(jù)《測(cè)量規(guī)程》和“三下”開采規(guī)范，結(jié)合九采區(qū)的覆巖巖性，選取巖移角值參數(shù)布設(shè)觀測(cè)線。

7265 工作面觀測(cè)期間，觀測(cè)站97 號(hào)測(cè)點(diǎn)具有最大下沉速度Vmax，最大下沉值達(dá)到Wmax=1 241 mm。選取97 號(hào)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)的14 期觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的累計(jì)沉降值W（表2）建立預(yù)計(jì)模型。以原始數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)建立預(yù)計(jì)模型，并以最后4期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)計(jì)值與實(shí)際值對(duì)比，作為精度檢核依據(jù)。

?

2.2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比及分析

若根據(jù)礦區(qū)沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型，首先要判定系數(shù)矩陣B 的復(fù)共線性［19-20］。經(jīng)計(jì)算，系數(shù)矩陣B 存在較強(qiáng)的復(fù)共線性，因此半?yún)?shù)模型中估值準(zhǔn)則只需要考慮半?yún)?shù)嶺估計(jì)準(zhǔn)則。

基于半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型在無粗差數(shù)據(jù)時(shí)設(shè)計(jì)了以下3種計(jì)算方案：①灰色Verhulst模型；②半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型，其中正則矩陣采用時(shí)間序列一階差分法；③半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型，其中正則矩陣采用時(shí)間序列二階差分法。正則化參數(shù)按Xu函數(shù)法確定取值α=2.436，嶺參數(shù)按U 曲線法確定取值k=0.334。經(jīng)過不同方案計(jì)算，并以最后4 期的實(shí)測(cè)值作為預(yù)計(jì)效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，得到了不同平差模型的預(yù)計(jì)結(jié)果以及殘差值如表3所示。

?

由表3可知：通過采用不同半?yún)?shù)回歸模型對(duì)97號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行累計(jì)沉降預(yù)計(jì)時(shí)，方案1預(yù)計(jì)誤差絕對(duì)值的最大值為33 mm，方案2 預(yù)計(jì)誤差絕對(duì)值的最大值為15 mm，方案3 預(yù)計(jì)誤差絕對(duì)值的最大值為34 mm，3 種方案的均方誤差經(jīng)計(jì)算分別為37.68 mm、14.82 mm 和35.92 mm。因此方案2 建立的半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型求取時(shí)間響應(yīng)式參數(shù)的精度最高，在3 種方案中的均方誤差最小，相應(yīng)的預(yù)計(jì)下沉曲線更加符合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)。

由表3 中方案2 和方案3 對(duì)比可知：當(dāng)正則矩陣采用時(shí)間序列法確定時(shí)，方案2得到的預(yù)計(jì)結(jié)果優(yōu)于方案3。因此，本次實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中采用半?yún)?shù)模型的估值準(zhǔn)則計(jì)算灰色Verhulst 模型一階白化非線性微分方程的待求參數(shù)時(shí)，應(yīng)選擇時(shí)間序列一階差分法確定的正則矩陣。

在上述分析的基礎(chǔ)上，本研究進(jìn)一步對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行半?yún)?shù)模型檢驗(yàn)與灰色模型精度檢驗(yàn)。由線性假設(shè)法計(jì)算可知，統(tǒng)計(jì)量F=87.642。由F分布表可知：F ＞F0.05( 14, 13 )＞F0.05( 15, 13 )=2.53，因此非參數(shù)向量S 為非零向量。同時(shí)，經(jīng)計(jì)算相對(duì)誤差q=0.032，方差比C=0.394，小誤差概率P=0.615，對(duì)照灰色模型精度檢驗(yàn)表（表1）可知：灰色模型精度滿足Ⅱ級(jí)（優(yōu)）標(biāo)準(zhǔn)。因此，礦區(qū)地表沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)適用于構(gòu)建半?yún)?shù)灰色Verhulst模型。

3 結(jié) 語

采用礦區(qū)沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型的算法驗(yàn)證，基于半?yún)?shù)模型理論和礦區(qū)沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立了半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型。針對(duì)灰色Verhulst 模型的時(shí)間響應(yīng)序列的系數(shù)求取問題，根據(jù)正則矩陣、正則化參數(shù)以及嶺參數(shù)的選取方法，設(shè)計(jì)了多種方案計(jì)算半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型的參數(shù)估值，并進(jìn)行了沉降預(yù)計(jì)結(jié)果對(duì)比和精度分析。在上述分析的基礎(chǔ)上，采用模擬數(shù)據(jù)與礦區(qū)沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了模型檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果表明：礦區(qū)沉降實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)適用于半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型。實(shí)際應(yīng)用中，關(guān)于地表沉陷動(dòng)態(tài)預(yù)計(jì)的時(shí)間函數(shù)還有Knothe時(shí)間函數(shù)、Logistic 時(shí)間函數(shù)等，對(duì)于不同地表沉陷動(dòng)態(tài)預(yù)計(jì)的時(shí)間函數(shù)可進(jìn)行進(jìn)一步討論。