基于改進(jìn)的SOMP 水聲通信信道聯(lián)合估計(jì)方法

葛慧林，梁仕杰

(江蘇科技大學(xué)，江蘇 鎮(zhèn)江 212002)

0 引 言

壓縮感知（Compressive Sensing，CS）[1–3]理論作為一種新興的信號(hào)處理理論，當(dāng)信號(hào)在某個(gè)正交變換域內(nèi)具有稀疏性時(shí)，便可以以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣速率的頻率對其欠采樣，然后通過非線性重構(gòu)算法大概率恢復(fù)原始稀疏信號(hào)?；贑S 的信道估計(jì)方法是利用水聲信道多徑分布的稀疏特性，將信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為稀疏信號(hào)的重構(gòu)問題，通過CS 重構(gòu)算法可精確恢復(fù)信道響應(yīng)。已有不少學(xué)者將其應(yīng)用于通信系統(tǒng)的信道估計(jì)中。COTTER 和RAO 提出了應(yīng)用于單載波通信系統(tǒng)的基于匹配追蹤（Matching Pursuit，MP）算法[4]的稀疏信道估計(jì)[5–6]。WANG 等將上述基于MP 的稀疏信道估計(jì)方法拓展到MIMO-OFDM 多載波通信系統(tǒng)[7]。C.R 等在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上深入研究了基于CS 的稀疏

信道估計(jì)方法，提出了一種OFDM頻域信道估計(jì)算法并分析了各種稀疏重構(gòu)算法的優(yōu)劣。但是這類方法主要研究的是靜態(tài)稀疏信號(hào)，忽略了信號(hào)的動(dòng)態(tài)稀疏特性，對于時(shí)變信道的估計(jì)精度不高。靜態(tài)CS 理論唯有通過增加測量次數(shù)才能獲得靜態(tài)時(shí)的重構(gòu)效果，考慮到單次CS 重構(gòu)算法的復(fù)雜度，通常難以實(shí)際應(yīng)用。而分布式壓縮感知理論的提出，解決了傳統(tǒng)靜態(tài)CS 的局限性。它是一種動(dòng)態(tài)CS 理論，通過利用多個(gè)信號(hào)的共同稀疏性進(jìn)行聯(lián)合重構(gòu)，大大提高了稀疏重建性能，進(jìn)而提高了水聲信道估計(jì)的精度。因此本文在分布式壓縮感知理論的框架下，考慮到水聲通信信道具有時(shí)變稀疏性以及統(tǒng)計(jì)上的動(dòng)態(tài)性，對同步正交匹配追蹤算法進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)造一種時(shí)域聯(lián)合的信道估計(jì)方法，進(jìn)一步提高了水聲信道的信道估計(jì)性能。

1 分布式壓縮感知理論及聯(lián)合稀疏模型

DCS 理論的研究對象是具有聯(lián)合稀疏特性的信號(hào)集，通過挖掘各稀疏信號(hào)之間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，采取聯(lián)合恢復(fù)信號(hào)的策略，因此能夠獲得更好的稀疏信號(hào)重構(gòu)效果。聯(lián)合稀疏模型（Joint Sparsity Models，JSM）中常用的主要有JSM-1 型和JSM-2 型。

1）JSM-1 型

在JSM-1 型中，被觀測信號(hào)集中每個(gè)信號(hào)都由公共稀疏部分和各自獨(dú)立的稀疏部分組成。公共稀疏部分和各自獨(dú)立的稀疏部分都可以通過同一個(gè)稀疏基進(jìn)行稀疏表示。

2）JSM-2 型

與JSM-1 模型不同，JSM-2 模型中所有信號(hào)間都具有相同的稀疏支撐集而只是非零系數(shù)不同。在本模型中，所有原信號(hào)都可以通過同一個(gè)稀疏基構(gòu)造。SOMP 算法也是基于該模型。

2 基于聯(lián)合稀疏模型的CS 信道估計(jì)

2.1 系統(tǒng)模型

基于CS 的OFDM 信道估計(jì)方法，其核心思想是將OFDM 信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為稀疏信號(hào)重構(gòu)問題，通過CS 重構(gòu)算法加以解決。具體表示為：

式中：對于接收端來說， YP， XP， FP均已知，h 又滿足稀疏特性，因此是典型的CS 理論模型，可通過最小l1范數(shù)法或貪婪算法高概率重構(gòu)時(shí)域信道響應(yīng)h。

然而此類方式在解決問題時(shí)雖然簡單實(shí)用，但未充分考慮水聲通信信道的緩變特征且若能充分利用各時(shí)刻信道響應(yīng)的公共稀疏特性，則能進(jìn)一步提高OFDM 系統(tǒng)信道估計(jì)的性能。

基于此，相關(guān)文獻(xiàn)在DCS 理論框架下通過SOMP算法解決JSM-2 模型下的聯(lián)合稀疏恢復(fù)問題來實(shí)現(xiàn)水聲信道的信道估計(jì)問題。

由式（3），若考慮連續(xù)T 個(gè)OFDM 符號(hào)時(shí)間內(nèi)的信道估計(jì)，則

針對式（2）的聯(lián)合稀疏模型，構(gòu)造如下的優(yōu)化問題來求解聯(lián)合信道估計(jì)：

式中， ε為和噪聲有關(guān)的參量。上述優(yōu)化問題可通過JSM-2 模型對應(yīng)的聯(lián)合重構(gòu)算法解決。

2.2 基于改進(jìn)SOMP 算法的OFDM 信道估計(jì)

SOMP 算法作為一種在OMP 算法基礎(chǔ)上改進(jìn)的貪婪算法，主要應(yīng)用與JSM-2 模型。SOMP 算法在每次迭代中同樣僅選取與殘差最匹配的原子進(jìn)行支撐集的更新，通過多次快速迭代完成對信號(hào)集的聯(lián)合恢復(fù)。

然而實(shí)際的水聲通信信道在多個(gè)OFDM 數(shù)據(jù)符號(hào)內(nèi)路徑時(shí)延可能會(huì)發(fā)生改變，甚至可能發(fā)生路徑的生滅現(xiàn)象，基于SOMP 算法的時(shí)域聯(lián)合信道估計(jì)假定在幾個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)符號(hào)內(nèi)信道共享相同的路徑時(shí)延集很難完全滿足實(shí)際情況。此外，各符號(hào)間存在獨(dú)立稀疏多徑特性，與JSM-1 模型相匹配。

在DCS 理論的JSM-1 模型中，每個(gè)信號(hào)都由公共稀疏部分和獨(dú)立稀疏部分組成，因此可以將信道路徑時(shí)延分為公共信道抽頭和動(dòng)態(tài)信道抽頭分別考慮。在這種分離的基礎(chǔ)上，本文提出一種改進(jìn)的SOMP 算法來重建時(shí)變稀疏信道。首先在所有OFDM 數(shù)據(jù)符號(hào)中同時(shí)檢測稀疏信道的公共信道抽頭，然后將公共信道抽頭的路徑時(shí)延集作為動(dòng)態(tài)信道抽頭跟蹤過程中的初始化集，目的是為了跟蹤動(dòng)態(tài)信道抽頭并消除初始化集中的錯(cuò)誤抽頭。

現(xiàn)結(jié)合逐符號(hào)OFDM 信道估計(jì)模型，給出基于改進(jìn)SOMP 算法的OFDM 信道估計(jì)流程，其步驟如下：

1）輸入

2）公共信道抽頭檢測

3）動(dòng)態(tài)信道抽頭檢測

迭代過程：第t 次迭代。

步驟1 找出殘差感知矩陣A 中相關(guān)性最大的原子對應(yīng)的列索引 λt并更新索引集與重建原子集；

步驟2利用LS 算法求出每個(gè)符號(hào)內(nèi)的信道沖激響應(yīng)。

步驟3 僅保留中最大的K 個(gè)系數(shù)，并更新索引集和重建原子集利用LS 算法重新計(jì)算

步驟4 更新殘差。

步驟5 判斷是否滿足條件若滿足，令 t=t+1， 返回執(zhí)行步驟1；否則：，迭代過程結(jié)束。

4）輸出

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

在本文的仿真系統(tǒng)中，OFDM 系統(tǒng)子載波總數(shù)設(shè)為256，保護(hù)間隔長度為64 點(diǎn)循環(huán)前綴，單個(gè)OFDM符號(hào)插入的導(dǎo)頻數(shù)量根據(jù)資料選擇32 個(gè)導(dǎo)頻。導(dǎo)頻插入方式依據(jù)信道估計(jì)方式而定，傳統(tǒng)LS 信道估計(jì)采用等間隔的梳狀導(dǎo)頻插入，而基于CS 的信道估計(jì)全部采用隨機(jī)導(dǎo)頻插入。所有調(diào)制方式均采用QPSK 調(diào)制，且無信道編碼，接收端假定已完全同步。

本文所提JSM-1 模型中的公共稀疏多徑僅幅度隨時(shí)間變化，各符號(hào)內(nèi)的動(dòng)態(tài)稀疏多徑則隨機(jī)生成。所有稀疏多徑彼此獨(dú)立，增益服從零均值的復(fù)高斯分布并按指數(shù)規(guī)律衰減。假設(shè)信道長度 L=60點(diǎn)，各多徑時(shí)延是系統(tǒng)采樣間隔的整數(shù)倍無能量泄漏。在水聲通信信道條件下，信道狀態(tài)在一個(gè)OFDM 符號(hào)周期內(nèi)保持不變，且各OFDM 符號(hào)彼此獨(dú)立。

3.2 結(jié)果分析

基于以上系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)置，做以下幾組仿真：

1）不同信道長度對估計(jì)算法性能影響

本部分主要研究了不同信道長度對估計(jì)算法性能的影響。仿真選定信噪比為30 dB，信道長度在60～120 之間變化，變化間隔為10。圖1 給出了仿真結(jié)果。圖中除了本文所提算法外，還有LS，OMP，SOMP以及Oracle-LS 算法作為對比算法。可以發(fā)現(xiàn)，信道長度的變化對信道估計(jì)算法的性能沒有較大的影響。

圖 1 不同信道長度下的歸一化均方誤差Fig. 1 The NMSE with different channel lengths

2）公共信道抽頭數(shù)對信道估計(jì)算法性能影響

本次仿真中設(shè)信道最大稀疏度K=10，用時(shí)間相關(guān)度L 表示公共信道抽頭數(shù)，具體數(shù)值在2～8 之間變化，圖2 給出了仿真結(jié)果。圖中除了本文所提算法外，還有LS、OMP、SOMP 以及Oracle-LS 算法作為對比算法?？梢?，所有算法中受時(shí)間相關(guān)度L 影響最大的是SOMP 算法，其余算法均無較大影響。本文所提算法由于包含了動(dòng)態(tài)信道抽頭檢測，因此L 的變化僅影響算法的計(jì)算復(fù)雜度，對算法性能影響不大。至于SOMP 算法，由于其默認(rèn)共享相同路徑時(shí)延集，因此當(dāng)L 增大時(shí)，相同的路徑時(shí)延數(shù)增大，算法性能變好，反之算法性能減弱?？梢钥吹?，當(dāng)L=K=10 時(shí)，信道退化為JSM-2 模型，此時(shí)本文所提算法也退化為SOMP 算法，因此兩者的估計(jì)性能相當(dāng)。

圖 2 不同時(shí)間相關(guān)度下的歸一化均方誤差Fig. 2 The NMSE with different temporal correlation degree L

3）不同信噪比下多種算法的NMSE 及BER 曲線

本組仿真比較了本文所提算法在內(nèi)的多種算法的信道估計(jì)性能，具體評價(jià)指標(biāo)采用歸一化均方誤差和誤比特率這2 個(gè)參數(shù)。

圖3 和圖4 分別是NMSE 和BER 的仿真結(jié)果。在這2 組仿真中，公共信道抽頭數(shù)和信道最大稀疏度分別被設(shè)置為L=8 和K=10，參與對比的信道估計(jì)算法有LS，OMP，SOMP 以及Oracle-LS 算法。為保證LS 算法性能，導(dǎo)頻插入方式為均勻間隔為8 的梳狀導(dǎo)頻，其余CS 算法均采用隨機(jī)導(dǎo)頻。

圖 3 不同信噪比下的歸一化均方誤差Fig. 3 The NMSE with different SNR

圖 4 不同信噪比下的誤比特率Fig. 4 The BER with different SNR

從圖3 和圖4 不難發(fā)現(xiàn)，NMSE 和BER 的性能曲線基本趨于一致。其中，LS 算法作為傳統(tǒng)算法，由于導(dǎo)頻數(shù)小于信道長度且算法本身估計(jì)稀疏路徑時(shí)受噪聲影響較大，因此估計(jì)性能最差。對于基于CS 的信道估計(jì)，SOMP 算法在信噪比較低時(shí)對于OMP 算法有較大優(yōu)勢。然而當(dāng)信噪比增大時(shí)，由于SOMP 算法模型在時(shí)變信道下的固有缺陷，性能提升效果有限，而OMP 算法在高信噪比環(huán)境下受噪聲影響較小，每次重構(gòu)信道都可以進(jìn)行完整K 次迭代，因此高信噪比環(huán)境下性能更優(yōu)。至于本文中所提出的改進(jìn)SOMP 算法，由于考慮了對動(dòng)態(tài)信道的抽頭檢測，因此效果好于OMP 和SOMP 算法，與前文數(shù)學(xué)分析的結(jié)果相一致。此外，本組仿真中的對比算法Oracle-LS 是時(shí)變稀疏信道多徑時(shí)延集已知時(shí)的LS 估計(jì)，此結(jié)果是LS 準(zhǔn)則下的理論極限值。圖5 將所提算法在信噪比30 dB 下，第1 個(gè)OFDM 符號(hào)時(shí)間內(nèi)的信道估計(jì)結(jié)果與原始信道對比，可以發(fā)現(xiàn)兩者數(shù)據(jù)基本重疊，估計(jì)性能良好。

圖 5 所提算法信道估計(jì)結(jié)果與原信道對比Fig. 5 The comparison between channel estimation result of the proposed algorithm and the original channel

4 結(jié) 語

本文主要研究了基于改進(jìn)的SOMP 水聲通信信道聯(lián)合估計(jì)方法。首先闡述了分布式壓縮感知理論及聯(lián)合稀疏模型，分析了現(xiàn)有的基于SOMP 算法的時(shí)域聯(lián)合信道估計(jì)方法未曾考慮信道時(shí)變性的缺陷，并提出了一種基于JSM-1 模型的改進(jìn)SOMP 算法用于聯(lián)合恢復(fù)信道估計(jì)。仿真結(jié)果表明，本文所提算法在時(shí)變信道環(huán)境下相比現(xiàn)有逐符號(hào)CS 信道估計(jì)算法具有更大的性能優(yōu)勢，且算法復(fù)雜度更低。