基于平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則的裂紋斷裂擴(kuò)展特性分析

黃如旭，謝曉忠，謝 鋒，黃進(jìn)浩，萬正權(quán)

(中國(guó)船舶科學(xué)研究中心 深海載人裝備國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214082)

0 引 言

由于結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜性或裂紋分布隨機(jī)性使得工程結(jié)構(gòu)中的裂紋通常為混合型裂紋。用于研究混合型裂紋斷裂問題的經(jīng)典斷裂理論假設(shè)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)僅由奇異項(xiàng)控制，這些斷裂理論主要包括最大環(huán)向應(yīng)力準(zhǔn)則（MTS 準(zhǔn)則）[1]、應(yīng)變能密度因子準(zhǔn)則（SED準(zhǔn)則）[2]以及平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則（ASED 準(zhǔn)則）[3]。與MTS 準(zhǔn)則和SED 準(zhǔn)則僅考慮裂紋前緣某一點(diǎn)的應(yīng)力或應(yīng)變能不同，ASED 準(zhǔn)則考慮裂紋尖端某一區(qū)域內(nèi)所有應(yīng)力分量對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響并假設(shè)裂紋尖端以臨界距離rc為半徑的圓形面積內(nèi)平均應(yīng)變能密度達(dá)到其臨界值時(shí)裂紋發(fā)生起裂擴(kuò)展，具有明確的物理意義。已有研究表明[4–7]，裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)常數(shù)項(xiàng)對(duì)裂紋擴(kuò)展過程中的裂紋尖端塑性區(qū)形狀、起裂擴(kuò)展角及起裂擴(kuò)展條件的影響不可忽略。本文基于ASED 準(zhǔn)則理論圍道積分核心思想[3,8–10]，綜合考慮裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)奇異項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響，建立I-II-III 混合型裂紋起裂擴(kuò)展條件計(jì)算式。在此基礎(chǔ)上，系統(tǒng)分析常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力對(duì)裂紋起裂擴(kuò)展條件的影響；最后，以承受縱向拉伸、側(cè)向壓縮雙軸疲勞載荷作用下的平板表面I 型裂紋為研究對(duì)象，結(jié)合修正的平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則分析常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的影響。

1 修正平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則

柱坐標(biāo)系下，包含奇異項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)的裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)為[11]：

式中：σij（i，j=1，2，3）為柱坐標(biāo)系下與裂紋平面呈θ 角；距離裂紋尖端為r 的一點(diǎn)應(yīng)力分量（見圖1）；KI，KII，KIII和T 分別為I 型、II 型、III 型應(yīng)力強(qiáng)度因子和非奇異項(xiàng)T 應(yīng)力；υ'為材料常數(shù)，平面應(yīng)力問題取為0，平面應(yīng)變問題取為材料泊松比υ。

彈性體中一點(diǎn)應(yīng)變能密度表達(dá)式為[8–9]：

式中：μ 為剪切模量；參數(shù)κ 為材料參數(shù)，平面應(yīng)變問題κ=3–4υ，平面應(yīng)力問題κ=( 3-υ)/(1+υ)。

圖 1 裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)Fig. 1 Stress field around crack tip

根據(jù)ASED 準(zhǔn)則[3]，當(dāng)裂紋尖端以臨界距離rc為半徑的圓形面積內(nèi)的平均應(yīng)變能密度達(dá)到臨界值時(shí)裂紋發(fā)生起裂擴(kuò)展，如圖2 所示。

圖 2 裂紋尖端斷裂控制區(qū)域[9-10]Fig. 2 Fracture progress zone

結(jié)合式（1）～式（8），采用Mathematica 計(jì)算，得到綜合考慮裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)奇異項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的平均應(yīng)變能密度：

根據(jù)ASED 準(zhǔn)則，裂紋起裂判據(jù)表達(dá)式為：

對(duì)于純I 型裂紋有KII=0，KIII=0，T=0。同時(shí)，純I 型裂紋起裂時(shí)KIf=KIc，于是以臨界距離rc為半徑的圓形面積內(nèi)的平均應(yīng)變能密度臨界值

聯(lián)立式（9）、式（10）和式（11）可得修正平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則I-II-III 混合型裂紋起裂判據(jù)為：

2 常數(shù)項(xiàng)對(duì)裂紋斷裂特性影響分析

2.1 對(duì)I-II 混合型裂紋斷裂特性影響分析

對(duì)于I-II 混合型裂紋，KIII=0，式（12）蛻化為III 混合型裂紋起裂擴(kuò)展條件計(jì)算式[12]。研究I-II 混合型裂紋時(shí)引入無量綱參數(shù)雙軸因子B 和參數(shù)α[7]：

式中：Keff為有效應(yīng)力強(qiáng)度因子[7]；a 為裂紋長(zhǎng)度；rc為斷裂控制區(qū)域臨界距離，可由進(jìn)行估算[7]，其中σt為材料拉伸極限。反映常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力的參數(shù)Bα 為：

引入?yún)?shù)Bα 后，修正平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則I-II 混合型裂紋起裂判據(jù)為[12]：

平面應(yīng)變狀態(tài)，泊松比υ=0.3 時(shí)不同Bα 情況下的修正平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則斷裂判據(jù)曲線（Bα=0 時(shí)為ASED 準(zhǔn)則，作為比較基準(zhǔn)），如圖3 所示。

圖 3 常數(shù)項(xiàng)對(duì)I-II 混合型斷裂判據(jù)曲線影響Fig. 3 The effect of T-stress on fracture limit

由圖3 可以看出，考慮常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力影響的斷裂判據(jù)曲線均在ASED 準(zhǔn)則（Bα=0）斷裂判據(jù)曲線之內(nèi)，即T 應(yīng)力降低了材料裂紋起裂阻力，且|Bα|越大裂紋斷裂極限值越低；當(dāng)|Bα|相同時(shí)，正的T 應(yīng)力（Bα 為正值）對(duì)應(yīng)的斷裂判據(jù)曲線在負(fù)的T 應(yīng)力（Bα 為負(fù)值）對(duì)應(yīng)的斷裂判據(jù)曲線之下，即|Bα|相同時(shí)，正T 應(yīng)力要比負(fù)T 應(yīng)力更容易發(fā)生斷裂。

2.2 對(duì)I 型、II 型裂紋斷裂特性影響分析

對(duì)于I 型裂紋（KII=0），修正平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則I 型裂紋斷裂判據(jù)為[8]：

對(duì)于II 型裂紋（KI=0），修正平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則II 型裂紋斷裂判據(jù)為：

平面應(yīng)變狀態(tài)，泊松比υ=0.3 時(shí)I 型裂紋斷裂極限值KIf隨Bα 的變化曲線如圖4 所示。

圖 4 I 型裂紋斷裂極限隨Bα 變化曲線（KII=0）Fig. 4 Variation of fracture limit for mode I crack

由圖4 可以看出，T 應(yīng)力對(duì)I 型裂紋斷裂極限值KIf有很大的影響，當(dāng)T 應(yīng)力為負(fù)值時(shí)，KIf隨T 應(yīng)力的增大而增大直到達(dá)到最大值（KIfmax=1.02KIc），隨后隨T 應(yīng)力的繼續(xù)增大而下降；T 應(yīng)力在區(qū)間為–0.48＜Bα＜0 時(shí)I 型裂紋斷裂極限值KIf反而大于KIc，可理解為此區(qū)間內(nèi)T 應(yīng)力增大了I 型裂紋的斷裂韌性，但引起的增大幅度并不高，可忽略不計(jì)，即–0.4 8 ＜Bα＜0 時(shí)，T 應(yīng)力對(duì)I 型裂紋斷裂極限KIf幾乎沒有影響；正的T 應(yīng)力將降低I 型裂紋斷裂極限值KIf；相同|Bα|時(shí)，正T 應(yīng)力對(duì)應(yīng)的I 型裂紋斷裂極限KIf低于負(fù)T 應(yīng)力對(duì)應(yīng)的I 型裂紋斷裂極限KIf，如當(dāng)Bα=1.0 時(shí)，KIf=0.75KIc（考慮T 應(yīng)力時(shí)的I 型裂紋斷裂韌性降低了25.0%）當(dāng)Bα=–1.0 時(shí)，KIf=0.88KIc，即考慮T 應(yīng)力時(shí)的I 型裂紋斷裂韌性降低了12.0%。

平面應(yīng)變狀態(tài)，泊松比υ=0.3 時(shí)II 型裂紋斷裂極限值KIIf隨Bα 的變化曲線，如圖5 所示。

圖 5 II 型裂紋斷裂極限隨Bα 變化曲線（KI=0）Fig. 5 Variation of fracture limit for mode II crack

由圖5 可以看出，對(duì)于II 型裂紋來說，T 應(yīng)力降低了II 型裂紋斷裂極限值KIIf；相同|Bα|時(shí)，II 型裂紋斷裂極限KIIf相同，II 型裂紋斷裂極限值KIIf受T 應(yīng)力的大小影響，與T 應(yīng)力的正負(fù)無關(guān)。當(dāng)|Bα|=1.0 時(shí)，KIIf=0.51KIc，以ASED 準(zhǔn)則純II 型裂紋斷裂極限值KIIf=0.63KIc作為參考基準(zhǔn)，考慮T 應(yīng)力時(shí)的II 型裂紋斷裂韌性降低了19.1%。

3 常數(shù)項(xiàng)對(duì)裂紋擴(kuò)展影響分析

工程結(jié)構(gòu)中最常見、最危險(xiǎn)的裂紋形式為I 型表面裂紋，選取雙軸載荷作用下平板半橢圓表面I 型裂紋研究常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的影響，其中縱向載荷為拉伸屬性，側(cè)向載荷為壓縮屬性?？紤]T 應(yīng)力影響的I 型裂紋KII=0，T≠0。按照修正平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則，I 型裂紋等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Keq為：

疲勞裂紋擴(kuò)展計(jì)算參量ΔKeq，只需將式（18）中KI替換為ΔKI=（1–R）KI即可，為簡(jiǎn)化研究，取應(yīng)力比R=0。

3.1 準(zhǔn)靜態(tài)分析

縱向施加拉伸載荷P1=300 MPa，側(cè)向施加壓縮載荷P2=500 MPa。雙軸載荷作用下的平板模型示意如圖6 所示。平板長(zhǎng)度為L(zhǎng)=600 mm，寬度為W=120 mm，厚度為t=35 mm；半橢圓表面裂紋位于平板中心，初始裂紋長(zhǎng)度為2c=5 mm，深度為a=2 mm，裂紋形狀示意如圖7 所示。

采用20 節(jié)點(diǎn)solid95 單元建立含半橢圓表面I 型裂紋平板有限元模型，如圖8 所示。坐標(biāo)原點(diǎn)位于平板表面裂紋長(zhǎng)度中心位置，y 軸為裂紋長(zhǎng)度方向，z 軸為平板長(zhǎng)度方向。在平板2 個(gè)側(cè)面施加500 MPa 的壓應(yīng)力，在平板縱向一端施加300 MPa 的拉應(yīng)力。邊界條件為：平板縱向端面面心施加uy=0，縱向端面板厚一半高度上所有節(jié)點(diǎn)ux=0，未施加縱向載荷的端面所有節(jié)點(diǎn)施加uz=0。

圖 6 雙軸載荷含半橢圓表面I 型裂紋平板結(jié)構(gòu)Fig. 6 Sketch of surface crack plate under biaxial fatigue load

圖 7 半橢圓表面裂紋示意圖Fig. 7 Sketch of surface crack

圖 8 雙軸疲勞載荷下平板有限元模型Fig. 8 FE model under biaxial fatigue load

3.2 疲勞裂紋擴(kuò)展壽命分析

疲勞裂紋擴(kuò)展分析時(shí)，計(jì)算參量分別選取為傳統(tǒng)方法的I 型應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍ΔKI和等效應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍ΔKeq，選取裂紋最深點(diǎn)A 為計(jì)算參考點(diǎn)（見圖7），裂紋擴(kuò)展深度由2 mm 擴(kuò)展至14 mm 時(shí)，最深點(diǎn)A 處的參數(shù)Bα 變化曲線，如圖9 所示。等效應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍ΔKeq（取κ=3–4υ，平面應(yīng)變狀態(tài)），如圖10 所示。

由圖9 可以看出，在裂紋擴(kuò)展過程中參數(shù)Bα 為負(fù)值，總體趨勢(shì)為隨裂紋擴(kuò)展而逐漸變小，Bα 的變化區(qū)間為–2.5～–1.0（裂紋在擴(kuò)展中將不會(huì)發(fā)生偏折[6–7]）。由圖10 可知，裂紋擴(kuò)展過程中應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋擴(kuò)展而逐漸增大；裂紋擴(kuò)展過程中裂紋尖端等效應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍ΔKeq高于不考慮T 應(yīng)力時(shí)的I 型應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍ΔKI。

圖 9 參數(shù)Bα 隨裂紋深度變化情況Fig. 9 Variation of parameter Bα

圖 10 應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍ΔK 隨裂紋深度變化情況Fig. 10 Variation of ΔK

裂紋擴(kuò)展過程中應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍直接決定了裂紋擴(kuò)展壽命。根據(jù)裂紋前緣參考節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展情況計(jì)算裂紋擴(kuò)展壽命，當(dāng)參考點(diǎn)的ΔaA足夠小時(shí)，可近似將應(yīng)力強(qiáng)度因子變化范圍按常數(shù)處理。選擇工程中常用的Paris 模型計(jì)算裂紋擴(kuò)展壽命，某鋼材料疲勞裂紋擴(kuò)展速率參數(shù)如下式：

計(jì)算得到的裂紋擴(kuò)展壽命如圖10 所示。由圖10可以看出，對(duì)于承受縱向受拉、側(cè)向受壓雙軸載荷作用的平板表面裂紋，裂紋深度由2 mm 擴(kuò)展至14 mm（0.4t）時(shí)：不考慮T 應(yīng)力影響時(shí)的裂紋擴(kuò)展壽命為72 508 次；根據(jù)修正平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則，計(jì)算得到考慮常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力影響的裂紋擴(kuò)展壽命為35 752 次，約為傳統(tǒng)裂紋擴(kuò)展壽命的49%。

圖 11 裂紋擴(kuò)展壽命計(jì)算結(jié)果Fig. 11 Fatigue crack growth results

4 結(jié) 語(yǔ)

本文根據(jù)考慮常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力影響的修正平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則，研究常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力對(duì)I 型、II 型和I-II混合型裂紋起裂擴(kuò)展特性的影響?；谛拚骄鶓?yīng)變能密度準(zhǔn)則研究常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力對(duì)雙軸疲勞載荷作用下的平板表面裂紋擴(kuò)展壽命的影響。得到以下結(jié)論：

1）常數(shù)項(xiàng)T 應(yīng)力降低了材料裂紋起裂阻力，且|Bα|越大裂紋斷裂極限值越低，|Bα|相同時(shí)正T 應(yīng)力下的裂紋更易起裂擴(kuò)展。

2）對(duì)于I 型裂紋，當(dāng)T 應(yīng)力為負(fù)值時(shí)，KIf隨T 應(yīng)力的增大而增大直到達(dá)到最大值，隨后隨T 應(yīng)力的繼續(xù)增大而下降；相同|Bα|時(shí)，正T 應(yīng)力對(duì)應(yīng)的I 型裂紋斷裂極限KIf低于負(fù)T 應(yīng)力對(duì)應(yīng)的I 型裂紋斷裂極限KIf；對(duì)于II 型裂紋，相同|Bα|時(shí)，II 型裂紋斷裂極限KIIf相同，即II 型裂紋斷裂極限值KIIf受T 應(yīng)力大小影響，與T 應(yīng)力正負(fù)無關(guān)。

3）計(jì)算得到的縱向受拉、側(cè)向受壓雙軸疲勞載荷平板表面I 型裂紋，由深度2 mm 擴(kuò)展至14 mm 時(shí)，擴(kuò)展壽命計(jì)算結(jié)果約為傳統(tǒng)不考慮T 應(yīng)力影響時(shí)裂紋擴(kuò)展壽命計(jì)算結(jié)果的49%，不考慮T 應(yīng)力影響的傳統(tǒng)計(jì)算方法將會(huì)嚴(yán)重高估I 型裂紋的擴(kuò)展壽命。