一種新的壽命分布
——Rayleigh-Logarithmic 分布

田 兵

（包頭師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014030）

如何用恰當(dāng)?shù)母怕史植寄Ｐ兔枋鲅芯繉?duì)象的壽命，是可靠性統(tǒng)計(jì)中一個(gè)十分重要的研究?jī)?nèi)容。人們通常采用失效率來刻畫所研究對(duì)象壽命的概率分布。王蓉華等[1]介紹了失效率圖形常見的特點(diǎn)。Adamidis K 和Loukas A S[2]、Coskun Kus[3]、Rasoo Tahmasbia 和Sadegh Rezaeib[4]分別研究了EG 分布（指數(shù)-幾何分布）、EP 分布（指數(shù)-泊松分布）和EL 分布（指數(shù)-對(duì)數(shù)幾何分布）。通過研究，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)這三種分布的失效率函數(shù)具有單調(diào)遞減的特點(diǎn)。同時(shí)他們分別給出了這三種分布的生存函數(shù)、失效率函數(shù)和矩以及得到了這些分布參數(shù)的EM 算法的迭代方程、極大似然估計(jì)的漸近方差和協(xié)方差，并進(jìn)行了數(shù)值模擬。高艷紅[5]對(duì)RG 分布（瑞利-幾何分布）進(jìn)行了類似的研究。

受到上述研究工作的啟發(fā)，本文提出了一種新的帶有兩個(gè)參數(shù)的壽命分布——Rayleigh-logarithmic 分布（RL 分布），研究了其概率密度、生存函數(shù)、失效率函數(shù)、分位數(shù)、矩等性質(zhì)，同時(shí)給出了RL 分布參數(shù)的極大似然估計(jì)的漸近方差——協(xié)方差陣和EM 算法的迭代方程組。

1 Rayleigh-logarithmic 分布

由(2)式所確定的分布為RL 分布。RL 分布是一個(gè)由Rayleigh 分布與logarithmic 分布混合在一起得到的分布。

2 Rayleigh-logarithmic 分布的性質(zhì)

2.1 概率密度 f(x, θ)的性質(zhì)

2.1.1 f(x, θ)的極限

圖1 是RL 分布的f(x,θ)在不同條件時(shí)的圖形。從圖1 可以看出，RL 分布的概率密度是先增大后減小的。

圖1 不同條件下f(x, θ)單調(diào)性示意圖

2.2 RL 分布的分位數(shù)和k 階矩

由(1)式，根據(jù)分位數(shù)的定義

可以得到RL 分布的分位數(shù)、中位數(shù)分別為

其中polylog 是Polylogarithms 函數(shù)[6]，定義如下：

2.3 生存函數(shù)、失效率函數(shù)和平均剩余壽命

由(1)式、(2)式，可得RL 分布的生存函數(shù)、失效率函數(shù)分別為

由于RL 分布h(x,θ)、h ′( x , )θ的表達(dá)式較復(fù)雜，所以很難對(duì)h(x,θ)的單調(diào)性作出精確的判斷。圖2呈現(xiàn)的是RL 分布h(x,θ)在不同條件下的單調(diào)性圖形。從圖2 可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)p 非常小時(shí)，h(x,θ)的單調(diào)性較復(fù)雜；當(dāng)p 較大時(shí)，h(x, θ)的單調(diào)遞增?？偟膩砜?，當(dāng)x＞1 時(shí)RL 分布的失效率函數(shù)h(x, θ)單調(diào)遞增的。

圖2 h(x, θ)不同條件下的單調(diào)性示意圖

RL 分布的平均剩余壽命函數(shù)為

其中Γ 是不完全伽馬函數(shù)[7]，定義如下：

3 RL 分布參數(shù)的估計(jì)

3.1 極大似然估計(jì)的漸進(jìn)方差和協(xié)方差

利用矩法和極大似然法得到RL 分布的參數(shù)估計(jì)是非常困難的。下面利用RL 分布的似然函數(shù)，根據(jù)大樣本的漸近正態(tài)性，得出RL 分布的極大似然估計(jì)的漸進(jìn)方差和協(xié)方差。設(shè)

是從RL 分布中抽取的樣本，由(2)式可以得到RL分布的似然函數(shù)L(θ, yobs)。其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

根據(jù)大樣本的漸近正態(tài)性，參數(shù)θ 的極大似然估計(jì)漸近于均值為θ，方差－協(xié)方差陣為J-1(θ)的二元正態(tài)分布，其中

為觀測(cè)值的Fisher 信息陣，為Fisher 信息陣中的元素[8]。對(duì)(6)式和(7)式求導(dǎo)，可得

相關(guān)的期望值如下：

上述期望值的具體計(jì)算過程見附錄。由附錄公式(12)、(13)與(14)可得

3.2 RL 分布參數(shù)的EM 算法

EM 算法最早由Dempster A P，Laird N M，Rubin D B[9]提出，常用于求含有隱變量的概率模型中的極大似然估計(jì)。EM 算法稱為期望最大化算法（Expectation Maximization Algorithm），一般由兩步組成：（1）E 步：求期望（Expectation）；（2）M 步：求極大值（Maximization）。下面利用EM算法求RL 分布的參數(shù)β，λ 的估計(jì)[10]。

令(xi,zi; i=1,2,…,n)為完全數(shù)據(jù)集，它是不能被完全觀測(cè)，只能觀測(cè)到其中的xi, yobs=(xi, i=1,2, …, n)。完全數(shù)據(jù)的概率密度為

由完全數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)f(x,z;θ)，可以得到其似然函數(shù)L(x,z|θ)。相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

4 結(jié)論

提出了一種新的帶有兩個(gè)參數(shù)的壽命分布——Rayleigh-logarithmic 分布（RL 分布），得到其概率密度f(x,θ) 在p=0.25，0.5，0.75，β=1；p=0.25，β=1，2，3 時(shí)的圖形以及失效率函數(shù)h(x, θ)在p=0.005，β=1、3、6 和p=0.2，β=1、3、6 時(shí)的圖形。還得到了RL 分布的分位數(shù)、矩等性質(zhì)、極大似然估計(jì)的漸近方差——協(xié)方差陣和EM 算法的迭代方程組。

附錄：

下面給出RL 分布極大似然估計(jì)的漸進(jìn)方差和協(xié)方差中相關(guān)的期望值的計(jì)算過程。