一類不定方程的解*

竇曉霞

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

整數(shù)是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)方向。組合數(shù)學(xué)中就有關(guān)于正整數(shù)在不同分部量下分拆數(shù)的研究[1-2]。對于一個(gè)給定的不定方程(或方程組)，它是否有解，如果有解，解是不是唯一的，能不能求出它的所有解，這是數(shù)論的一個(gè)研究方向。有的方程或方程組沒有整數(shù)解或者沒有正整數(shù)解[3-6]，有的方程或方程組只有有限個(gè)整數(shù)解[4-5]，有的方程或方程組有無數(shù)多個(gè)整數(shù)解[7-8]，還有些方程雖然未找到解的具體形式，但卻找到了方程是否有解的條件。文獻(xiàn)[7-9]給出一類方程有整數(shù)解的充分條件；文獻(xiàn)[10-11]給出所討論方程存在無數(shù)個(gè)解的充要條件；文獻(xiàn)[12-13]給出所研究方程的解數(shù)上界。另外，有一些方程，大家只關(guān)心其特殊解(如文獻(xiàn)[14]中方程的素?cái)?shù)解等)。除此之外，還可以從其它角度研究不定方程。在已知方程解的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[15]就從代數(shù)的角度研究了兩個(gè)二次方程的整數(shù)解集。

設(shè)a,b,c,d都是正整數(shù)，a,b,c是d的因數(shù)、互素且不含平方因子。對于方程

ax2+by2+cz2=m+dxyz

(1)

稱其滿足不等式組

(2)

的整數(shù)解為方程(1)的基礎(chǔ)解。當(dāng)m=0時(shí)，文獻(xiàn)[16]利用二元二次型和同余理論給出了方程

ax2+by2+cz2=dxyz

存在基礎(chǔ)解時(shí)正整數(shù)a,b,c,d的所有可能取值以及對應(yīng)的基礎(chǔ)解，并且指出，方程的其它所有非平凡解(如果方程的解(x,y,z)滿足不等式xyz≠0，則稱解(x,y,z)是方程的非平凡解)可以由這些基礎(chǔ)解求出。當(dāng)m=1時(shí)，利用二元二次型和同余理論，文獻(xiàn)[17]解出了方程

ax2+by2+cz2=1+dxyz

存在基礎(chǔ)解時(shí)正整數(shù)a,b,c,d的所有可能取值以及對應(yīng)的基礎(chǔ)解，同時(shí)也說明該方程的所有非平凡解可以由這些基礎(chǔ)解求出。

利用二元二次型和初等數(shù)學(xué)的知識，如果不定方程(1)有基礎(chǔ)解，本文討論得到正整數(shù)a,b,c,d和非負(fù)整數(shù)m的所有可能取值以及對應(yīng)的基礎(chǔ)解(x,y,z)，進(jìn)一步得到方程的多個(gè)整數(shù)解。

在方程(1)中，由于(a,x),(b,y),(c,z)地位對稱，所以當(dāng)三者的順序互相交換時(shí)，得到的依然是同類型的方程。因而對這種由(a,x),(b,y),(c,z)交換順序引起的新方程及對應(yīng)的解，看做是相同的，盡可能避免重復(fù)討論。

1 主要結(jié)論及證明

定理1設(shè)正整數(shù)a,b,c互素，不含有平方因子且都是正整數(shù)d的因數(shù)，m是非負(fù)整數(shù)。如果(x,y,z)是方程

ax2+by2+cz2=m+dxyz

的基礎(chǔ)解，則

(3)

且右邊等號當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)成立。

X2+Y2+Z2=m+DXYZ

(4)

在上面的方程中，X,Y,Z地位對稱，不妨設(shè)1≤X≤min{Y,Z}，此時(shí)就有2Z≤DXY。

當(dāng)Y≤Z時(shí)，由方程(4)可得

(DXY-2Z)2=(DXY)2-4X2-4Y2+4m

于是

兩端平方，整理得

DXY2≤X2+2Y2-m≤3Y2，m=0時(shí)右邊等號成立。

當(dāng)Z

定理2設(shè)正整數(shù)a,b,c都不含有平方因子且都是正整數(shù)d的因數(shù)，(a,b,c)=1，m是非負(fù)整數(shù)，如果不定方程(1)

ax2+by2+cz2=m+dxyz

有基礎(chǔ)解，則方程(1)中a,b,c,d,m的可能取值及對應(yīng)的基礎(chǔ)解都出現(xiàn)在表1中。

表1 方程(1)存在基礎(chǔ)解的可能情形及對應(yīng)基礎(chǔ)解

證明把方程(1)看成變量y,z的二元二次型

F(y,z)=by2+cz2-(dx)yz(=m-ax2)

這個(gè)二元二次函數(shù)的判別式Δ(F)=(dx)2-4bc。由于b,c地位對稱，可以設(shè)b≤c。二元二次型有相關(guān)結(jié)論[18]：當(dāng)Δ(F)≤0時(shí)，F(xiàn)(y,z)≥0；當(dāng)Δ(F)>0時(shí)，F(xiàn)(y,z)可正可負(fù)。在系數(shù)a,b,c都不含有平方因子的條件下，結(jié)合定理1的結(jié)論，當(dāng)(x,y,z)是方程(1)的基礎(chǔ)解時(shí)，則x以及系數(shù)b,c,d是以下10類可能之一：

接下來，對這些可能逐一進(jìn)行分析。

于是有0≤m≤a-1。當(dāng)a=1,m=0時(shí)，解得(a,b,c,d)=(1,1,5,5),(x,y,z)=(1,2,1)，這是情形5。當(dāng)a=5,m=0時(shí)，解得(a,b,c,d)=(5,1,5,5),(x,y,z)=(1,5,2)，這是情形11。當(dāng)a=5,m=1時(shí)，如果z=1,b=1,2,3，不等式組無解。如果z=1,b=4，則b有平方因子，不做討論。當(dāng)z=2,b=1時(shí)，有(a,b,c,d)=(5,1,5,5),(x,y,z)=(1,4,2)，這是情形17。當(dāng)a=5,m=2時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=1,b=3，有(a,b,c,d)=(5,3,15,15),(x,y,z)=(1,2,1)，這是情形21。當(dāng)a=5,m=3時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=1,b=2，有(a,b,c,d)=(5,2,10,10),(x,y,z)=(1,2,1)，這是情形24。當(dāng)a=5,m=4時(shí)，(a,b,c,d)=(5,1,5,5),(x,y,z)=(1,2,1)，這是情形26的特例。

于是有0≤m≤a-2。當(dāng)a=2,m=0時(shí)，解得(a,b,c,d)=(2,1,6,6),(x,y,z)=(1,2,1)，這是情形9。當(dāng)a=3,m=0時(shí)，解得(a,b,c,d)=(3,1,6,6),(x,y,z)=(1,3,1)，這是情形10。當(dāng)a=3,m=1時(shí)，(a,b,c,d)=(3,1,6,6),(x,y,z)=(1,2,1)，這是情形16。當(dāng)a=6,m=0時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=1,b=2,3,6，則c有平方因子，不做討論。當(dāng)a=6,m=1,2時(shí)，不等式組無解。當(dāng)a=6,m=3時(shí)，有(a,b,c,d)=(6,1,6,6),(x,y,z)=(1,3,1)，這是情形25。當(dāng)a=6,m=4時(shí)，(a,b,c,d)=(6,1,6,6),(x,y,z)=(1,2,1)，這是情形26的特例。

于是有0≤m≤a-3，所以a=7。當(dāng)m=0時(shí)，不等式組無解。當(dāng)m=1時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=1,b=2，解得(a,b,c,d)=(7,2,14,14),(x,y,z)=(1,2,1)，這是情形19。當(dāng)m=2時(shí)，解得(a,b,c,d)=(7,1,7,7),(x,y,z)=(1,3,1)，這是情形23。當(dāng)m=3時(shí)，21b2z2+4bm-4ab不是完全平方，不等式組無解。當(dāng)m=4時(shí)，(a,b,c,d)=(7,1,7,7),(x,y,z)=(1,2,1) ，這是情形26的特例。

于是當(dāng)a=m=1時(shí)，解得(a,b,c,d)=(1,b,b,2b),(x,y,z)=(1,z,z)，這時(shí)，bz2≥1。這是情形13。當(dāng)a=m=2時(shí)，解得(a,b,c,d)=(2,b,b,2b),(x,y,z)=(1,z,z)，這時(shí)，bz2≥2，且(2,b)=1。這是情形20。

于是有0≤m≤a-1。當(dāng)a=1,m=0時(shí)，解得(a,b,c,d)=(1,2,3,6),(x,y,z)=(1,1,1)，這是情形6。當(dāng)a=2,m=0時(shí)，如果z=1,t=1，不等式組無解。因?yàn)閍,b,c不含平方因子，所以z=1,t=2不做討論。當(dāng)a=2,m=1時(shí)，解得(a,b,c,d)=(2,2,3,6),(x,y,z)=(1,1,1)，這是情形15。當(dāng)a=3,m=0時(shí)，如果z=1,t=1，不等式組無解。因?yàn)閍,b,c無平方因子，所以z=1,t=3不做討論。當(dāng)a=3,m=1時(shí)，如果z=1,t=1，不等式組無解。因?yàn)閍,b,c無平方因子，所以z=1,t=2不做討論。當(dāng)a=3,m=2時(shí)，(a,b,c,d)=(3,2,3,6),(x,y,z)=(1,1,1)，這是情形20的特例。當(dāng)a=6,m=0時(shí)，如果z=1,t=1，不等式組無解。如果z=2,t=1，有(a,b,c,d)=(6,2,3,6),(x,y,z)=(1,3,2)，這是情形12。當(dāng)a=6,m=1時(shí)，如果z=1,t=1，不等式組無解。如果z=1,t=5，有(a,b,c,d)=(6,10,15,30),(x,y,z)=(1,1,1)，這是情形18。如果z=2,t=1，3t2z2+2tm-2at不是完全平方，不等式組無解。當(dāng)a=6,m=2時(shí)，如果z=1,t=1，不等式組無解。如果z=2,t=1，有(a,b,c,d)=(6,2,3,6),(x,y,z)=(1,2,2)，這是情形22。當(dāng)a=6,m=3,4,5時(shí)，不等式組都沒有解。

于是有0≤m≤a-1。當(dāng)a=1,m=0時(shí)，解得(a,b,c,d)=(1,1,2,4),(x,y,z)=(1,1,1)，這是情形4。當(dāng)a=2,m=0時(shí)，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,4),(x,y,z)=(1,2,1)，這是情形8。當(dāng)a=2,m=1時(shí)，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,4),(x,y,z)=(1,1,1) ，這是情形13的特例。

當(dāng)a=1時(shí)，則z=1,b=1，解得(a,b,c,d)=(1,1,1,3),(x,y,z)=(1,1,1)，這是情形2。當(dāng)a=3時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=2,b=1,5b2z2-4ab不是完全平方。因?yàn)?a,b,c)=1，所以c=b=3不做討論。

所以(a,b,c,d)=(1,b,b,b),(x,y,z)=(2,z,z)，這里bz2≥4。這是情形26。

于是有0≤m≤4a-1。當(dāng)a=1,m=0時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=2,b=1，解得(a,b,c,d)=(1,1,2,2),(x,y,z)=(2,2,2)，這是情形3。當(dāng)a=1,m=1時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=1,b=3，解得(a,b,c,d)=(1,3,6,6),(x,y,z)=(2,1,1)，這是情形16。當(dāng)a=1,m=2時(shí)，如果z=1,b=1，解得(a,b,c,d)=(1,1,2,2),(x,y,z)=(2,2,1) ，這是情形20的特例。因?yàn)閍,b,c沒有平方因子，所以z=1,b=2不做討論。當(dāng)a=1,m=3時(shí)，不等式組無解。當(dāng)a=2,m=0時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=2,b=1，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,2),(x,y,z)=(2,4,2)，這是情形7。當(dāng)a=2,m=1時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=2,b=1，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,2),(x,y,z)=(2,3,2)，這是情形14。如果z=1,b=7，解得(a,b,c,d)=(2,7,14,14),(x,y,z)=(2,1,1)，這是情形19。當(dāng)a=2,m=2時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=2,b=1，2b2z2+bm-4ab不是完全平方，不等式組無解。如果z=1,b=3，解得(a,b,c,d)=(2,3,6,6),(x,y,z)=(2,2,1) ，這是情形22。當(dāng)a=2,m=3時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=2,b=1，2b2z2+bm-4ab不是完全平方，不等式組無解。如果z=1,b=5，解得(a,b,c,d)=(2,5,10,10),(x,y,z)=(2,1,1)，這是情形24。當(dāng)a=2,m=4時(shí)，如果z=1,b=1，不等式組無解。如果z=2,b=1，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,2),(x,y,z)=(2,2,2)，這是情形26的特例。當(dāng)a=2,m=5,6,7時(shí)，不等式組無解。

當(dāng)b=1時(shí)，如果z=1,2，不等式組無解。如果z=3，解得(a,b,c,d)=(1,1,1,1),(x,y,z)=(3,3,3)，這是情形1。如果z=4，5b2z2-36b不是完全平方，不等式組無解。當(dāng)b=3時(shí)，如果z=1，不等式組無解。如果z=2， 2b2z2+bm-4ab不是完全平方，不等式組無解。因?yàn)閍,b,c沒有平方因子，所以b=9不做討論。

證畢。

2 總 結(jié)