層狀邊坡巖體的屈曲和潰屈性態(tài)研究

陳笑楠，張慧梅，周洪文

(1.西安科技大學(xué)力學(xué)系，陜西 西安 710054；2.上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)城市建設(shè)與安全工程學(xué)院，上海 201418)

在層狀邊坡巖體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中，屈曲是針對結(jié)構(gòu)分岔變形的，潰屈是針對材料強(qiáng)度破壞的[1-2]。從這個角度講，邊坡巖體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是關(guān)于材料和結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，或關(guān)于材料和結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性。已有的研究成果和目前的研究進(jìn)展主要是針對完善結(jié)構(gòu)依據(jù)線性理論在屈曲層面上開展探討[3-5]。

實際上，缺陷結(jié)構(gòu)的臨界點與分岔點是不一致的；初始缺陷的主要影響是完善結(jié)構(gòu)的基本狀態(tài)，對于缺陷結(jié)構(gòu)不是一個臨界平衡構(gòu)形[6]。當(dāng)人們將從線性理論確定的臨界載荷值與實驗測得的破壞載荷值比較時，發(fā)現(xiàn)平板結(jié)構(gòu)的破壞載荷遠(yuǎn)高于由線性理論確定的臨界載荷，而殼體結(jié)構(gòu)的破壞載荷遠(yuǎn)低于由線性理論確定的臨界載荷。缺陷結(jié)構(gòu)與完善結(jié)構(gòu)的后屈曲性態(tài)是大不相同的[6-7]。

采用線性理論的局限性還表現(xiàn)在：由線性理論得到的臨界載荷公式是正確的，但以結(jié)構(gòu)模態(tài)幅值為攝動參數(shù)的后屈曲平衡路徑卻退化為一條過分岔點的水平線，得出了關(guān)于臨界點的平衡性態(tài)是隨遇的、模態(tài)幅值是未定的結(jié)論卻是不正確的[6,8]。由線性理論得出了邊坡巖體的臨界載荷，卻未能判斷結(jié)構(gòu)屈曲后平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。目前，在邊坡工程中通常采用線性理論推導(dǎo)臨界載荷公式，用非線性理論介紹邊坡巖體平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，然后通過大撓度理論屈曲實驗和工程應(yīng)用加以驗證[9-10]。邊坡工程中巖體結(jié)構(gòu)的分岔屈曲并不意味著其承載能力的喪失，而只是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性發(fā)生改變的分岔特征。只要結(jié)構(gòu)在承載的相關(guān)階段平衡穩(wěn)定，則可繼續(xù)加載，直至潰屈破壞[11-14]。

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性屬于幾何非線性問題，層狀邊坡巖體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性則是一個由初始缺陷引起的非完善非線性問題。初始后屈曲理論是以結(jié)構(gòu)分岔點附近的鄰域為研究對象，基于漸近分析，確定結(jié)構(gòu)鄰近分岔點的初始后屈曲模態(tài)和平衡路徑；應(yīng)用能量準(zhǔn)則，判定結(jié)構(gòu)基本狀態(tài)、分岔點及鄰近后屈曲平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性[6-8]。突變理論針對結(jié)構(gòu)初始缺陷和突變模型的特點，由結(jié)構(gòu)的分岔集確定缺陷結(jié)構(gòu)的分岔載荷，由平衡曲面的不可達(dá)特性描述結(jié)構(gòu)在不同平衡狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變，由分岔集與平衡曲面之間的對應(yīng)關(guān)系判定結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定[15-16]。應(yīng)用初始后屈曲理論和突變理論研究邊坡巖體結(jié)構(gòu)在穩(wěn)定和不穩(wěn)定發(fā)展的各個階段的后屈曲性態(tài)，其目的就是探討巖體結(jié)構(gòu)從基本平衡狀態(tài)到鄰近平衡狀態(tài)再到巖體結(jié)構(gòu)整體潰屈破壞，關(guān)注邊坡巖體在穩(wěn)定和不穩(wěn)定發(fā)展的各個階段巖體材料承載能力的發(fā)揮[17-20]。

1 邊坡巖體的初始后屈曲

位能增量泛函可表達(dá)邊坡巖體結(jié)構(gòu)在臨界載荷作用下，從基本平衡狀態(tài)過渡到同一載荷下鄰近的運(yùn)動許可狀態(tài)后體系位能的增量。對于給定了的邊坡巖體屈曲模態(tài)函數(shù)和脫離底層長度，增量泛函中的各階變分僅是模態(tài)幅值的函數(shù)[6,11]。為了確定圖1所示的邊坡巖體在分岔狀態(tài)下所承受的載荷和位移，需將泛函的二階變分在分岔點附近展開為級數(shù)，以探討邊坡基本狀態(tài)附近小鄰域的性態(tài),在展開的級數(shù)中僅取一階項，可使邊坡巖體結(jié)構(gòu)的非線性穩(wěn)定性問題線性化。于是，引入基本參數(shù)并作近似，且考慮缺陷影響后的位能增量泛函表達(dá)如下[11,13]：

F(am,λ)=(λ-λ1)F′2(am)+

Π4(w,am)+Π0(w,am)

(1)

式中:am——模態(tài)幅值/m；

w——屈曲模態(tài)函數(shù)；

λ——載荷因子；

λ1——臨界載荷因子；

F′2(am)——二階變分對載荷因子的偏導(dǎo)數(shù)；

Π4(w,am)——泛函的四階變分；

Π0(w,am)——泛函的零階余項。

圖1 邊坡巖體屈曲力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of buckling slope rock

式(1)是邊坡巖體的位能增量泛函經(jīng)無量綱化，并引入滿足其邊界條件的變形模態(tài)后得到的；式(1)是近似的，是關(guān)于模態(tài)幅值和載荷因子的一個二參數(shù)函數(shù)族。將位能增量泛函中各被積函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，整理并略去四次方以上各項，由F′2(am)及符合邊坡巖體邊界條件的屈曲模態(tài)得式(1)的各項表達(dá)式為:

式中:Pk——邊坡的臨界載荷/kN；

Er——巖層的等效彈性模量/MPa；

I——巖層橫截面的慣性矩/m4；

μ——巖層的泊松比。

邊坡巖體基本平衡狀態(tài)附近的平衡構(gòu)形可由函數(shù)F(am,λ)的駐值確定，當(dāng)駐值為本征最小時，平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。為了確定邊坡巖體的模態(tài)幅值和平衡構(gòu)形，可利用駐值定理?F(am,λ)/?am=0，得平衡模態(tài)幅值方程:

(2)

l——邊坡脫離底層的長度/m；

q——邊坡單位寬度分布載荷/(kN·m-2)；

α——邊坡的傾角/(°)。

式(2)的點的集合是一個臨界流型，其幾何形態(tài)是一個平衡曲面。臨界流型具有突跳、雙模態(tài)、不可達(dá)等特性[21]。由式(1)知，當(dāng)λ=λ1時，使模態(tài)幅值am減少為零的變形路徑是真正的后屈曲平衡路徑。

2 邊坡巖體的后屈曲性態(tài)

位能增量泛函僅在其二次變分中考慮了與載荷因子有關(guān)的項，當(dāng)增量泛函的奇點滿足其一階和二階導(dǎo)數(shù)為零時，可得位能增量泛函奇點的一個子集，即系統(tǒng)狀態(tài)突變的控制方程：

(3)

式中：D1——分岔集中的正則因子；

D2——分岔集中的剖分因子。

式(3)也稱為尖點突變模型的分岔集方程[22]。顯然，當(dāng)D1>0時，即當(dāng)作用在邊坡巖體上的載荷小于分岔載荷時，邊坡巖層保持穩(wěn)定的基本狀態(tài)。當(dāng)D1≤0時，即當(dāng)作用在邊坡巖體上的載荷大于分岔載荷，并D1和D2同時滿足分岔集時，體系從基本平衡狀態(tài)到達(dá)鄰近的平衡狀態(tài)。將D1、D2代入分岔集方程，得跨越分岔集載荷的增量：

(4)

式(4)以載荷增量的形式給出了分岔點附近的鄰域，而跨越分岔點的載荷增量是由初始缺陷確定的，與邊坡的長度無關(guān)。當(dāng)邊坡巖體處于臨界平衡狀態(tài)時，對于任意的am值，由泛函的二階變分為零，可得臨界載荷Pk。應(yīng)用與增量泛函二階變分為零相一致的條件，以及幾何邊界條件，得載荷參數(shù)的最小值λ1=1。因此，由式(4)可確定邊坡的分岔載荷：

(5)

式(5)給出了缺陷結(jié)構(gòu)的分岔載荷，表明在與臨界載荷相鄰的載荷下，缺陷結(jié)構(gòu)的屈曲性態(tài)與完善結(jié)構(gòu)是很不相同的。

(6)

(7)

即

(8)

時，邊坡巖體的屈曲模態(tài)構(gòu)形平衡穩(wěn)定。平衡構(gòu)形的穩(wěn)定性表明，邊坡巖體從基本狀態(tài)到達(dá)鄰近的后屈曲狀態(tài)后還可繼續(xù)承載，后屈曲平衡路徑的性態(tài)揭示了后屈曲狀態(tài)下邊坡巖體的平衡穩(wěn)定性，平衡路徑上任一點表達(dá)了作用在邊坡巖體上的載荷和屈曲后的位移。

3 邊坡巖體的穩(wěn)定性性態(tài)

3.1 邊坡巖體的屈曲長度

在對層狀邊坡巖體結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)定性分析時，屈曲是針對結(jié)構(gòu)分岔變形的。隨著邊坡上部滑動段l0的增加，滑動段所提供的下滑力[23]P=(qsinα-qcosαtanφ-C0)l0，對于確定的邊坡上部滑動段長度、巖體材料、以及賦存狀況，由式(5)，即邊坡巖體的分岔載荷：

(9)

式中：φ——軟弱夾層內(nèi)摩擦角/(°)；

C0——軟弱夾層內(nèi)黏聚力/MPa；

l0——邊坡的上部滑動段長度/m。

由式(9)得后屈曲分岔狀態(tài)下以邊坡脫離底層長度表達(dá)的分岔方程：

a1l3+b1l2-c1=0

(10)

其中，

用迭代法解式(10)得后屈曲分岔狀態(tài)下的屈曲長度：

(11)

式(11)確定了分岔狀態(tài)下邊坡脫離底層的長度，表明邊坡巖體的上部滑動段長度和脫離底層長度滿足了式(11)，巖體結(jié)構(gòu)就從基本平衡狀態(tài)到達(dá)鄰近的平衡狀態(tài)。

由式(11)知，l0愈大，穩(wěn)定性愈好。為了使式(11)存在有意義的解，根號項必須是非負(fù)值。顯然，a1>0；當(dāng)b1<0時，a1l+b1>0，即當(dāng)

(12)

時，

(13)

邊坡巖體才會出現(xiàn)分岔屈曲。式(12)是由邊坡賦存狀況決定了的上部滑動段的一個閾值或上限；式(13)表達(dá)了一定條件下巖體出現(xiàn)分岔的下限。當(dāng)b1=0，在數(shù)值上，表明下滑力由初始缺陷所平衡，由式(9)，此時巖體結(jié)構(gòu)的分岔屈曲完全由其自重實現(xiàn)。

式(13)還是關(guān)于l和l0的二元一次不等式，當(dāng)A>0，B>0，Al+Bl0-C>0表示直線Al+Bl0-C=0在ll0平面右上方的平面區(qū)域。

3.2 邊坡巖體的潰屈長度

根據(jù)巖層漸進(jìn)性破壞機(jī)理[13,24]，隨著邊坡巖體上部滑動段的滑動，當(dāng)模態(tài)幅值達(dá)到一定值時，在巖層幅值橫截面邊緣出現(xiàn)塑性屈服。隨著模態(tài)幅值的進(jìn)一步增大，整個截面發(fā)展為塑性區(qū)域而形成塑性鉸，進(jìn)而材料屈服，結(jié)構(gòu)失去承載能力，巖體結(jié)構(gòu)出現(xiàn)如圖2所示的潰屈破壞。設(shè)后屈曲狀態(tài)下邊坡巖體結(jié)構(gòu)幅值截面上出現(xiàn)的塑性極限值為MP，由分岔點載荷和平衡模態(tài)幅值確定的彎矩極限值為Mmax=P·am，則由

P·am=MP

(14)

和式(5)、(6)得邊坡的潰屈方程

al3-bl2-c=0

(15)

圖2 層狀邊坡巖體的潰屈破壞Fig.2 Buckling failure for bedding slope rock mass

由式(15)可求出邊坡的潰屈長度：

(16)

式(16)表達(dá)了邊坡巖體進(jìn)入塑性狀態(tài)引起了巖體結(jié)構(gòu)潰屈，或者說是由于材料的不穩(wěn)定引起了結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定，表明材料屬性決定著分岔后結(jié)構(gòu)的承載能力。

顯然，當(dāng)c>0，al-b>0，即

(17)

(18)

時，巖體結(jié)構(gòu)才會出現(xiàn)潰屈破壞。式(17)、(18)分別表達(dá)了由邊坡巖體賦存狀況決定了的結(jié)構(gòu)潰屈破壞時巖體材料的閾值或上限，以及脫離底層的下限。式(18)還表示直線l-C=0上方的平面區(qū)域。比較式(13)與式(18)知，當(dāng)l0=0時，屈曲下限與潰屈下限重合。

3.3 邊坡巖體的穩(wěn)定性判據(jù)

當(dāng)作用在邊坡巖體結(jié)構(gòu)上的載荷滿足分岔方程時，結(jié)構(gòu)從基本平衡狀態(tài)到達(dá)了附近的平衡狀態(tài)。在模態(tài)幅值不斷增大的過程中，結(jié)構(gòu)從鄰近平衡狀態(tài)直至發(fā)生潰屈破壞。設(shè)邊坡脫離底層的長度為l，當(dāng)

l≥l1

(19)

時，邊坡巖體結(jié)構(gòu)處于分岔后的潰屈狀態(tài)。而當(dāng)

l=l*

(20)

時，邊坡巖體發(fā)生潰屈破壞。

4 工程算例

霸王山邊坡的實際長度為1 462 m，屬于中厚層灰?guī)r并夾有黏土層夾層的板裂巖體層狀邊坡，邊坡傾角α=40°，容重γ=27 kN/m3，抗拉、壓彈模El=3.2×103MPa，Ec=50×103MPa，泊松比μ=0.25；摩擦角φ=17°，黏聚力C0=0.04 MPa，抗壓強(qiáng)度σc=80 MPa，可滑動段長度l0=260 m，巖層厚度h=10 m[25]。

霸王山邊坡是一種板裂介質(zhì)巖體以結(jié)構(gòu)失穩(wěn)方式破壞的邊坡模型。板裂巖體結(jié)構(gòu)的提出，給梁板理論在巖體工程中的應(yīng)用提供了地質(zhì)模型。

(1)關(guān)于屈曲

由式(12)，賦存狀況確定的上部滑動段上限為：

由式(13)上部滑動段確定的分岔屈曲的下限為：

542.59-210.56=332.03 m

由式(11)，邊坡巖體的屈曲長度為：

(2)關(guān)于潰屈

由式(17)，賦存狀況確定的巖體材料取值范圍為：

由式(18)，賦存狀況確定的潰屈破壞下限為：

由式(16)，邊坡巖體的潰屈長度為：

邊坡巖體的潰屈破壞，表明巖體材料屬性決定著分岔后結(jié)構(gòu)的承載能力。

算例表明：邊坡巖體在脫離底層長度332.03 m之前不會出現(xiàn)分岔屈曲，在脫離底層長度542.79 m之前不會出現(xiàn)潰屈破壞。當(dāng)邊坡巖體的上部滑動段為260 m時，滿足巖體結(jié)構(gòu)后屈曲分岔條件，遂得出脫離底層長度為820.86 m，邊坡巖體從基本狀態(tài)到達(dá)分岔后的平衡狀態(tài)；當(dāng)邊坡巖體的屈服極限為80 MPa時，滿足潰屈長度大于542.79 m之后發(fā)生潰屈破壞的條件，確定了邊坡脫離底層的長度為904.50 m，巖體結(jié)構(gòu)由屈曲狀態(tài)發(fā)展為潰屈破壞。邊坡巖體結(jié)構(gòu)由分岔點失穩(wěn)發(fā)展為極值點失穩(wěn)。圖3給出了工程算例中的相關(guān)數(shù)據(jù)。

圖3 工程算例Fig.3 An engineering example

5 結(jié)論

邊坡巖體的屈曲是其基本狀態(tài)附近的鄰近狀態(tài)。根據(jù)邊坡巖體的賦存狀況和初始缺陷，可判定巖體結(jié)構(gòu)是否會出現(xiàn)屈曲，利用分岔方程可確定邊坡巖體的屈曲長度，并進(jìn)一步確定邊坡巖體的模態(tài)幅值。

邊坡巖體的潰屈是巖體材料不穩(wěn)定引起的結(jié)構(gòu)整體失效。根據(jù)邊坡巖體的賦存狀況和材料特性，可確定邊坡潰屈破壞時巖體材料的閾值，判定巖體出現(xiàn)潰屈破壞的上限或下限，利用分岔載荷、模態(tài)幅值和巖體材料可確定邊坡的潰屈長度。

邊坡巖體分岔后出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)幾何非線性和材料物理非線性的耦合作用，使得確定巖體結(jié)構(gòu)從失穩(wěn)到失效演化過程中所遇到的困難比在彈性穩(wěn)定后屈曲理論中大得多。本文探討層狀邊坡巖體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性也是針對具體模型或具體結(jié)構(gòu)進(jìn)行的，有關(guān)材料弱化和損傷演化等后屈曲穩(wěn)定性的一般理論還有待于進(jìn)一步探討。