精雕細(xì)琢　精益求精

王國(guó)俊

在“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行和垂直這兩種位置關(guān)系，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。本章是“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”的延續(xù)和提高。直線平行的條件和性質(zhì)，圖形的平移，三角形三邊關(guān)系，多邊形的內(nèi)角和、外角和是初中幾何的重要內(nèi)容，有條理地表達(dá)和思考是規(guī)范證明的關(guān)鍵。在學(xué)習(xí)本章的過(guò)程中，希望同學(xué)們能注意以下幾點(diǎn)。

一、提煉基本圖形。提高解題效率

我們?cè)谶M(jìn)行有關(guān)幾何圖形的證明與計(jì)算時(shí)，往往會(huì)遇到形狀類(lèi)似、能得出某個(gè)固定結(jié)論、出現(xiàn)頻率較高的圖形。對(duì)于這些圖形，我們要注意歸納、提煉，并能熟練運(yùn)用。本章中與三角形內(nèi)角和有關(guān)的基本圖形有：

1.“8字”型。

如圖1，線段AD、BC相交于點(diǎn)O，我們把類(lèi)似圖1的圖形稱(chēng)為“8字”型。根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，且∠AOB=∠COD，不難得出∠A+∠B=∠C+∠D。

2.“飛鏢”型。

如圖2-①，我們把它稱(chēng)為“飛鏢”型。通過(guò)作射線AO，如圖2-②，可得∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C，所以∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C，即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C。

例1 圖3-①是我們非常熟悉的五角星圖案。你知道五角星的五個(gè)角的度數(shù)之和是多少嗎？

【分析】本題的解題方法較多，我們可以借助上面的基本圖形解決。連接CD，如圖3-②，借助“8字”型基本圖形，∠B+∠E=∠1+∠2，則五角星五個(gè)角的和就等于∠A+∠ADF+∠ACF+∠1+∠2，即轉(zhuǎn)化成△ACD的內(nèi)角和。

本題其實(shí)也可以借助“飛鏢”型基本圖形解決。如圖3-③，則∠CFD=∠A+∠C+∠D。由∠CFD=∠BFE，可得∠BFE=∠A+∠C+∠D。那么五個(gè)角的和即為∠B+∠E+∠BFE，轉(zhuǎn)化成了ABFE的內(nèi)角和。

例2 如圖4-①是一個(gè)六角星的圖案，AD、BE相交于點(diǎn)O，其中∠BOD=75°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)。

【分析】本題看似復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，圖4-①其實(shí)可以看成是由圖4-②和圖4-③兩個(gè)“飛鏢”型基本圖形組合而成，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOD+∠AOE。而∠BOD和∠AOE是一組對(duì)頂角，結(jié)合已知條件∠BOD=75°，則要求的六個(gè)角的和為75°+75°=150°，問(wèn)題得以輕松解決。

本章雖然涉及的圖形較多，但較多復(fù)雜的圖形往往都是由一些基本圖形組合而成的。因此提煉基本圖形，把不同背景下的問(wèn)題化歸到同一模型中，則能化難為易，化繁為簡(jiǎn)，提高解題效率。

二、歸納解題策略。觸類(lèi)旁通

例3 如圖5-①，直線AB∥直線CD，EFGHI為其中一條折線，求∠AEF+∠EFG+∠FGH+∠GHI+∠HIC的度數(shù)。

【分析】本題涉及的角較多，而條件只有一組平行線，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可以考慮過(guò)其中的點(diǎn)F、G、H分別作AB的平行線。如圖5-②，將∠EFG、∠FGH、∠GHI分成∠EFF′、∠F′FG、∠FGG′、∠G′GH、∠GHH′、∠H′HI六個(gè)角。那么∠AEF+∠EFG+∠FGH+∠GHI+∠HIC可以看成是四組同旁?xún)?nèi)角的和。

平行線間的拐點(diǎn)問(wèn)題，可以通過(guò)過(guò)拐點(diǎn)作平行線，轉(zhuǎn)化成平行線間的角問(wèn)題，利用平行線的性質(zhì)解決。同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，要注重對(duì)一些解題技巧的歸納，通過(guò)解決一道題，學(xué)會(huì)解一類(lèi)題。

三、注重一題多解訓(xùn)練，提高思維靈活性

例4 如圖6-①，AB∥CD，AO與CO相交于點(diǎn)O。試猜想∠1、∠2、∠AOC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

【分析】根據(jù)例3的解題方法，本題可以考慮過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線，如圖6-②，把∠AOC分成∠3和∠4，通過(guò)兩組內(nèi)錯(cuò)角解決三個(gè)角之間的關(guān)系;也可以考慮連接AC，得到一組同旁?xún)?nèi)角∠BAC、∠ACD，如圖6-③，則（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°，又∠3+∠4+∠AOC=180°，可得∠AOC=∠1+∠2;或者延長(zhǎng)AO交DC于E，如圖6-④，通過(guò)△COE的外角AAOC=∠2+∠3和一組內(nèi)錯(cuò)角∠1=∠3，可得∠AOC=∠1+∠2。

同學(xué)們還可嘗試過(guò)點(diǎn)O向右側(cè)作AB的平行線，或延長(zhǎng)CO與AB相交，亦可解決問(wèn)題。

通過(guò)不同的解題方法體會(huì)平行的作用，可開(kāi)拓思路，提高思維的靈活性，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的提升。因此，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中切不可滿(mǎn)足于掌握一種解題方法，應(yīng)嘗試多種方法，學(xué)會(huì)比較各方法的優(yōu)劣，提升數(shù)學(xué)思維的敏捷性。

四、掌握數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

本章內(nèi)容涉及較多的數(shù)學(xué)思想方法，同學(xué)們需認(rèn)真體會(huì)，內(nèi)化于心。

如探究直線平行的條件時(shí)，通過(guò)角度（數(shù)）的變化觀察兩直線位置關(guān)系（形）的變化，這是數(shù)與形的結(jié)合;在探究多邊形的內(nèi)角和的過(guò)程中，我們嘗試了不同的方法，如在多邊形內(nèi)取一點(diǎn)，或在多邊形的邊上取一點(diǎn)，或過(guò)其中的一個(gè)頂點(diǎn)分別連接其他頂點(diǎn)（如圖7），把多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干三角形的內(nèi)角和的問(wèn)題，這是化未知為已知。

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，當(dāng)已知條件不確定時(shí)，我們還需要分類(lèi)討論。如當(dāng)一個(gè)角的兩邊平行于另一個(gè)角的兩邊時(shí)，這兩個(gè)角的關(guān)系是相等或互補(bǔ)。又如一個(gè)正方形剪去一個(gè)角后，求剩余部分的多邊形的內(nèi)角和，剩余部分既可能是三角形，也可能是四邊形或五邊形（如圖8）。再如平面內(nèi)有六條直線，其中任何三條直線都不共點(diǎn)，要求畫(huà)出圖形說(shuō)明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，可以從平行線的角度考慮，先考慮六條直線都平行，再考慮五條、四條、三條、兩條直線平行，最后考慮都不平行的情況。從特殊到一般，這是解決問(wèn)題的常用方法，其中也滲透了分類(lèi)討論的思想。此外，同學(xué)們還要注意歸納。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)最本質(zhì)、最具價(jià)值的內(nèi)容，是數(shù)學(xué)知識(shí)的“靈魂”。因此，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，既要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，又要重視數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，從而有效地提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本章既是規(guī)范證明的開(kāi)端，也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)飛躍。在學(xué)習(xí)本章的過(guò)程中，我們不能忽視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，要抓住重點(diǎn)，精雕細(xì)琢，注重?cái)?shù)學(xué)思維能力的提升;要注重歸納，精益求精，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。