一種改進(jìn)的高精度光譜尋峰算法研究

江 虹，郭宇龍，鄭曉丹，劉鵬輝，周上清

（長春工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，長春 130012）

0 引 言

超弱光纖光柵（Fiber Bragg Grating，F(xiàn)BG）傳感器作為現(xiàn)今發(fā)展起來的新型光纖傳感器，其基本原理［1］是當(dāng)FBG元件受到外界應(yīng)變、溫度、壓力和磁場改變時(shí)，其反射光譜的中心波長會發(fā)生偏移，通過中心波長的微小變化［2－3］檢測到被測量的變化，具有靈敏度高、抗干擾能力強(qiáng)、抗腐蝕、可靠性高、使用壽命長和復(fù)用能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，因此，其被廣泛應(yīng)用于建筑工程、航空航天、電力工程和石油領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)應(yīng)變以及溫度變化監(jiān)測中［4］。

由于超弱FBG的反射在光譜中心波長處的幅值最大，因此，可以通過定位超弱FBG的反射光譜曲線的峰值來確定中心波長的值。目前使用FBG的尋峰算法有最小二乘擬合算法、質(zhì)心算法、直接尋峰算法、遺傳算法以及螞蟻算法等。最小二乘擬合算法尋峰精度有限；質(zhì)心算法雖然運(yùn)行快且誤差相對較小，但受噪聲影響較大，在噪聲大（信噪比低）的情況下達(dá)不到理想的尋峰效果；直接尋峰算法精度低，且受噪聲的影響很大；遺傳算法和螞蟻算法雖然能夠達(dá)到很好的精度，但計(jì)算量大，求解需耗費(fèi)較長時(shí)間，不能滿足解調(diào)要求。

目前光柵傳感技術(shù)正朝著大容量、長距離和網(wǎng)絡(luò)化發(fā)展，傳感器數(shù)目可達(dá)成百上千個(gè)［5］，因此，研究適合實(shí)際工程應(yīng)用的高精度解調(diào)尋峰算法極其重要。本文針對上述方法存在的不足，分析發(fā)現(xiàn)在超弱FBG數(shù)據(jù)的采集過程中，由于噪聲的干擾［6］，導(dǎo)致超弱FBG的反射光譜曲線不是標(biāo)準(zhǔn)的高斯型，波峰附近區(qū)域呈不對稱形狀［7］，峰值位置偏向左或偏向右。為了在受噪聲干擾的情況下保證尋峰精度，提出加權(quán)最小二乘擬合結(jié)合非對稱高斯修正（Weighted Least Squares－Asymmetric Gaussian correction，WLS－AG）算法，該算法利用加權(quán)最小二乘擬合（Weighted Least Squares，WLS）算法，其具有快速精確地定位中心波長和抗噪聲干擾的優(yōu)點(diǎn)，然后結(jié)合非對稱高斯修正（Asymmetric Gaussian Correction，AG）進(jìn)一步提高尋峰精度。該算法克服了傳統(tǒng)尋峰算法［8］的局限性，并保證了波長的解調(diào)精度。

1 超弱FBG傳感器解調(diào)系統(tǒng)及原理

超弱FBG解調(diào)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺由寬帶光源、光環(huán)行器和光譜分析儀組成。寬帶光源發(fā)出的光經(jīng)過光環(huán)行器入射到超弱FBG傳感器陣列中，超弱FBG具有選擇透過性，符合該超弱FBG中心波長的光被返回，其他波長的光將透過。經(jīng)調(diào)制后的反射波又經(jīng)光環(huán)行器到光譜分析儀，觀測其反射光譜。光源參數(shù)波長為500～2 400nm，輸出功率100mW；光譜儀選擇橫河 AQ6370D－12－L1H／FC／RFC光譜分析儀，波長掃描范圍：1 550nm波段的中心波長，波長精度0.02nm。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)框圖

當(dāng)超弱FBG傳感器受到外界溫度變化、壓力或應(yīng)力時(shí)，F(xiàn)BG的柵距會發(fā)生變化，從而引起反射波長的變化，解調(diào)系統(tǒng)就是通過檢測波長的變化來計(jì)算外界溫度變化、壓力或應(yīng)力的，所以解調(diào)系統(tǒng)中高精度光譜尋峰算法至關(guān)重要。

2 算法與原理設(shè)計(jì)

2.1 高斯函數(shù)最小二乘擬合原理及其改進(jìn)算法

超弱FBG反射光譜曲線與高斯曲線模型相似，用高斯函數(shù)近似表示超弱FBG反射光譜的功率密度譜為

式中：x為超弱FBG波長；σ為對應(yīng)反射光譜的帶寬；μ為中心波長值；y0為真實(shí)超弱FBG反射光譜的波峰強(qiáng)度。實(shí)際中，y0、μ和σ這3個(gè)參數(shù)是未知量，受儀器中噪聲和環(huán)境噪聲的干擾，傳統(tǒng)尋峰算法擬合得到的y0、μ和σ的系數(shù)會受噪聲的影響產(chǎn)生較大的誤差，因此，本文采用WLS算法。

對高斯函數(shù)最小二乘擬合算法進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，并對F（x）取對數(shù)，得到

式中，c1、c2和c3為中間變量，分別為簡化后x2、x1和x0的系數(shù)。

通過上式把超越函數(shù)變換成簡單的二次函數(shù)，將高斯函數(shù)擬合變換成二次多項(xiàng)式函數(shù)的最小二乘擬合問題。解出中間變量c1、c2和c3，由式（2）可知，中間變量在數(shù)據(jù)處理過程中未發(fā)生任何中間變換，依然保留下實(shí)際測量的各個(gè)數(shù)據(jù)采集點(diǎn)的原始數(shù)據(jù)，可以最大程度地保證實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合精度，而且使用中間變量簡化了中間處理的運(yùn)算過程，求出高斯函數(shù)的參數(shù)。接下來對中間變量c1、c2和c3的求解進(jìn)行推導(dǎo)。其實(shí)際上是一個(gè)超定方程組，

式中：A為各個(gè)波長x組成的矩陣；C為求解系數(shù)的列向量；S為各個(gè)波長的功率密度譜強(qiáng)度測量值的向量。

引入權(quán)重因子W，對最小二乘擬合算法進(jìn)行改進(jìn)，

式中：ρ為殘差向量的二范數(shù)的平方；z為殘差向量。

式（5）為求解C的公式，為了達(dá)到簡化運(yùn)算，采取規(guī)避掉矩陣求逆運(yùn)算，達(dá)到縮短運(yùn)算時(shí)間的目的，令

式中：M 為求解向量C系數(shù)矩陣；N為使得ρ最小密度函數(shù)的向量。

根據(jù)式M＝ATWTWA，N＝ATWTWS求解三元一次方程組，求出中間變量c1、c2和c3，再由式（6）解得y0、μ和σ，則可快速得到加權(quán)的高斯擬合函數(shù)，其中心波長μ 為－c2／（2c1）。

取一個(gè)超弱FBG反射光譜曲線，其曲線模型符合高斯函數(shù)y＝500exp［－（x－60）2／250］的曲線形狀，在超弱FBG反射光譜中加入高斯白噪聲，如圖2所示。然后采用上述步驟對加入噪聲后的反射光譜曲線分別進(jìn)行最小二乘擬合和 WLS算法，用Matlab軟件仿真，仿真結(jié)果如圖2和3所示。

圖2 加入白噪聲的高斯函數(shù)

圖3 最小二乘擬合和WLS算法對比結(jié)果

由圖2和3可知，用最小二乘擬合加噪聲的高斯函數(shù)的效果沒有WLS算法的效果好，峰值附近的殘差矢量很大。通過實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)：峰值處數(shù)值受噪聲影響較小，距離峰值越遠(yuǎn)，受噪聲的影響越大。將數(shù)值進(jìn)行對數(shù)變換后，其趨勢以指數(shù)衰減，而且數(shù)值的權(quán)重隨著數(shù)值的增加呈指數(shù)衰減。在加入噪聲的情況下，離峰值越遠(yuǎn)，數(shù)值的權(quán)重增大，導(dǎo)致更多的權(quán)重分往峰位的兩邊。高斯擬合的原理是對數(shù)變換后的殘差向量的2范數(shù)‖z，由于把大部分的權(quán)重分往峰值的兩邊，導(dǎo)致‖z受到峰位兩側(cè)的數(shù)值影響變大。因此，在擬合變換回高斯函數(shù)后，反而使峰值處的殘差向量變大，尋峰精度滿足不了要求。

為了解決這一問題，本文通過在最小二乘法擬合算法的殘差向量r中加入一個(gè)權(quán)重因子W 來改進(jìn)最小二乘擬合算法。加入W 后使其數(shù)據(jù)權(quán)重削弱趨勢與取對數(shù)運(yùn)算后相反或者與數(shù)據(jù)本身相同，使峰值附近的殘差向量減小，達(dá)到改善擬合效果的目的。圖4所示為兩種算法的擬合結(jié)果，可以看出，采用WLS擬合后的效果得到了明顯的改善，說明引入W 后，降低了噪聲對信號的干擾，提高了尋峰精度。

圖4 最小二乘擬合和WLS算法擬合對比

根據(jù)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)圖，在高噪聲的環(huán)境采集的超弱FBG1光譜數(shù)據(jù)經(jīng)最小二乘擬合算法擬合的效果并不理想，波形出現(xiàn)了明顯的波動，光譜出現(xiàn)了明顯的失真，最小二乘擬合算法的光譜數(shù)據(jù)受噪聲影響較大，WLS算法擬合對比最小二乘擬合算法擬合效果明顯改善，受噪聲的影響小，如圖4所示。

2.2 AG算法

由于實(shí)際環(huán)境和儀器的限制，受到多種因素的影響，采集的發(fā)射光譜信號波長并不是標(biāo)準(zhǔn)的高斯函數(shù)模型，呈非對稱形態(tài)，非對稱特性對確定中心波長的位置帶來誤差影響。為更進(jìn)一步達(dá)到精確尋峰，需對非對稱高斯模型尋峰結(jié)果進(jìn)行修正。

對超弱FBG反射光譜曲線上的點(diǎn)做切線，切線的斜率為k，標(biāo)準(zhǔn)高斯函數(shù)每兩對應(yīng)的點(diǎn)對應(yīng)相同的縱坐標(biāo)值，這兩個(gè)點(diǎn)的斜率關(guān)系為kA＝－kB，但非對稱高斯函數(shù)模型，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)對應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)的斜率不全滿足kA＝－kB，kA＞0為峰值左側(cè)點(diǎn)的斜率；k0＝0為峰值點(diǎn)的斜率；kB＜0為峰值右側(cè)點(diǎn)的斜率。非對稱高斯函數(shù)的修正可用左右側(cè)兩個(gè)部分的方差的二階參數(shù)和確定。式中：A為超弱FBG反射光譜在中心波長處左側(cè)部分方差的二階參數(shù)；B為超弱FBG反射光譜在中心波長右側(cè)部分方差的二階參數(shù)；NA為kA＞0的樣本數(shù)量；NB為kB＜0的樣本數(shù)量；x為峰值區(qū)域內(nèi)的采樣點(diǎn)；f（x）為超弱FBG反射光譜功率大??；x0為斜率k0＝0時(shí)所對應(yīng)的點(diǎn)；f（μ）為超弱FBG反射光譜在中心波長處的幅值；μ為高斯擬合獲得峰值的位置。

非對稱高斯模型的方差與函數(shù)形狀偏移量間的關(guān)系可推導(dǎo)出峰值修正函數(shù)為

式中：μ＇為應(yīng)用 WLS－AG算法得到的中心波長；ΔH 為一半的波峰間隔。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3.1 不同噪聲下尋峰誤差比較

本節(jié)將研究不同程度噪聲對最小二乘擬合算法、質(zhì)心算法、WLS算法及WLS－AG算法尋峰誤差的影響。實(shí)驗(yàn)中首先以圖1中的超弱FBG23傳感器作為研究對象，在恒定20℃的環(huán)境下，加入高斯白噪聲來模擬反射光譜，在噪聲干擾下進(jìn)行反復(fù)性光譜數(shù)據(jù)采集，加入的噪聲幅度／信號幅度為0.01～0.10之間，做20次重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，取其平均值作為最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖5所示。4種尋峰算法平均誤差的詳細(xì)結(jié)果如表1所示。

圖5 不同噪聲下不同算法的誤差圖

由圖5及表1可知，隨著噪聲在信號中按比例增大，實(shí)驗(yàn)用尋峰算法的精度都受到了不同程度的影響，其中高斯擬合和質(zhì)心算法受噪聲影響較大，質(zhì)心算法的誤差小于高斯擬合算法，但在噪聲剛開始增加時(shí)，質(zhì)心算法的誤差受噪聲的影響最為明顯；WLS－AG算法檢測誤差受噪聲的影響明顯小于其他算法，由此可見WLS－AG算法可以有效抵制噪聲的干擾。

表1 4種尋峰算法平均誤差詳細(xì)結(jié)果

3.2 不同溫度下尋峰誤差比較

將4個(gè)不同中心波長的超弱FBG傳感器放入5～50℃的溫控試驗(yàn)箱中，保證噪聲等其他參數(shù)穩(wěn)定，用光譜分析儀采集超弱FBG的理論中心波長，用上述4種算法分別在5、10、15、20、25、30、35、40、45和50℃溫度下采集中心波長數(shù)據(jù)，做20次重復(fù)性實(shí)驗(yàn)取其平均峰值，對比其峰值誤差，結(jié)果如圖6～圖9所示，各算法的平均誤差如表2所示。

圖6 不同溫度下超弱FBG32的峰值檢測誤差

圖7 不同溫度下超弱FBG400的峰值檢測誤差

圖8 不同溫度下超弱FBG751的峰值檢測誤差

圖9 不同溫度下超弱FBG1302的峰值檢測誤差

表2 變溫下各算法的平均誤差

分析圖6～圖9及表2可知，不同溫條件下對隨機(jī)抽取的4個(gè)不同中心波長的超弱FBG傳感器來說，最小二乘擬合算法檢測誤差波動在7.8～10.0pm之間；質(zhì)心算法的檢測誤差波動在5.5～7.5pm之間；WLS算法檢測誤差波動在1.8～2.1pm之間；WLS－AG算法檢測誤差波動在1pm內(nèi)。本文提出的WLS－AG算法與其他算法對比，其精度受溫度變化影響小，尋峰精度高，能有效提高超弱FBG傳感網(wǎng)絡(luò)的解調(diào)精度。

4 結(jié)束語

本文提出了一種改進(jìn)的高精度光譜解調(diào)尋峰算法——WLS－AG。該算法使采樣的超弱FBG反射光譜更精確地?cái)M合，獲得更精確的中心波長。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在不同的噪聲環(huán)境下，將改進(jìn)后的算法與最小二乘擬合算法、質(zhì)心算法和WLS算法進(jìn)行比較，本文所提算法具有良好的抵制噪聲干擾的能力；在變溫條件下，該算法的誤差能夠控制在1pm以內(nèi)，且具有良好的穩(wěn)定性。因此，本文提出的尋峰算法對超弱FBG傳感網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)高精度解調(diào)具有很好的應(yīng)用價(jià)值。