圈子里的螞蟻

很多年前，我像你們這么大的時(shí)候，曾經(jīng)和小螞蟻開過這樣的玩笑：

用樟腦球在地上畫個(gè)圈，圈住兩只螞蟻?？蓱z的小螞蟻，爬來爬去，再也不敢爬出這個(gè)圈子了。

這個(gè)圈，是三角形的也好，正方形的也好，不規(guī)則的鴨蛋形也好，對(duì)小螞蟻來說都是一樣的——反正爬不出去。

在我們看來很不相同的三角形與圓，此時(shí)此刻，對(duì)于螞蟻卻沒有什么區(qū)別了。螞蟻感興趣的是：這個(gè)圈有沒有一個(gè)缺口？

有一門數(shù)學(xué)，叫拓?fù)鋵W(xué)。數(shù)學(xué)家在研究拓?fù)鋵W(xué)的問題時(shí)，倒和小螞蟻有點(diǎn)同感。這時(shí)，他們也覺得，三角形的圈、圓形的圈、矩形的圈，沒有什么分別，反正是個(gè)圈。

是不是拓?fù)鋵W(xué)家的眼光就和螞蟻的眼光完全一樣呢？也不盡然。如果圈子很大，能圈進(jìn)半個(gè)地球，或圈子極小，小得放不進(jìn)一粒細(xì)沙，螞蟻就無所畏懼了。這就是說，圈子的大小，在螞蟻看來是不同的;但對(duì)于拓?fù)鋵W(xué)家，圈子的大小是真正無所謂的，小得像原子，大得像太陽系，都一樣，反正是個(gè)圈子。

拓?fù)鋵W(xué)家把我們眼里很多不同的圖形看成是相同的，然后把他們眼里相同的圖形歸為一類。分類的結(jié)果，平面上的封閉曲線，如果不帶端點(diǎn)，不帶分岔點(diǎn)，就只有一種：圈。

似乎在拓?fù)鋵W(xué)家眼里，世界要簡(jiǎn)單一些。但拓?fù)鋵W(xué)的問題卻并不簡(jiǎn)單，有不少難題尚待解決?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支，都要用到拓?fù)鋵W(xué)的基本概念與成果。

最后，再回到螞蟻爬不出的圈子里來。這樣的一個(gè)圈，是一條連續(xù)的、封閉的、自己和自己不相交的曲線，叫作簡(jiǎn)單閉曲線，也叫“若當(dāng)閉曲線”。若當(dāng)，是19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家的名字。

一個(gè)這樣的圈子把平面分成兩部分——有限的內(nèi)部和無限的外部。螞蟻在內(nèi)部可以從一點(diǎn)爬到另外任一點(diǎn)而不碰到圈子，在外部也可以。但要從外部到內(nèi)部，或從內(nèi)部到外部，就一定得經(jīng)過圈子。這個(gè)事實(shí)，叫“若當(dāng)定理”。

這么簡(jiǎn)單的事誰不知道，還配稱為定理嗎？我們這么想，若當(dāng)以前的數(shù)學(xué)家也這么想。若當(dāng)卻不這么想。他敏銳地看出，這個(gè)問題可并不簡(jiǎn)單。因?yàn)椋裁唇羞B續(xù)，什么叫封閉，什么叫內(nèi)，什么叫外，都應(yīng)當(dāng)用數(shù)學(xué)語言精確地加以定義，再根據(jù)定義來證明：螞蟻要爬出去必須經(jīng)過圈子。這可就難了。

若當(dāng)這么一指出，別的數(shù)學(xué)家也恍然大悟。若當(dāng)嚴(yán)格地定義了這些概念，寫了很長(zhǎng)的一篇文章，證明了這條定理。

你看，我們眼里千變?nèi)f化的圖形，數(shù)學(xué)家可以認(rèn)為是同樣的圈——在數(shù)學(xué)家眼里，復(fù)雜的東西變得簡(jiǎn)單了。

反過來，數(shù)學(xué)家若當(dāng)又從簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的一個(gè)圈里提出了難題。從簡(jiǎn)單的現(xiàn)象背后，揭示出深刻的道理。

（選自《數(shù)學(xué)家的眼光》，中國(guó)少年兒童出版社）