一種基于無源性理論的模糊Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習律設(shè)計方法

王 婧柏建軍薛安克

(1.萊蕪職業(yè)技術(shù)學(xué)院機械與汽車工程系,山東萊蕪 271100;2.浙江省物聯(lián)感知與信息融合技術(shù)重點實驗室,浙江杭州 310018;3.杭州電子科技大學(xué)信息與控制研究所,浙江杭州 310018)

1 引言

模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于集合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊系統(tǒng)的優(yōu)點,得到了廣泛的關(guān)注,并已成功應(yīng)用到了非線性辨識、優(yōu)化控制等領(lǐng)域[1–5].對于動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言,系統(tǒng)的穩(wěn)定性是網(wǎng)絡(luò)能夠正常工作的前提.然而,在實際中由于不可避免的會存在時間延遲現(xiàn)象,系統(tǒng)穩(wěn)定性會變差,甚至會變得不穩(wěn)定.因此,眾多學(xué)者對具有時延的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行研究并取得了大量的成果[6–11].

另一方面,利用無源性理論,只需要研究系統(tǒng)的輸入及輸出特征即可進行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[12],因此,有許多研究者嘗試利用無源性理論設(shè)計出使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滿足某些特性的權(quán)重矩陣的學(xué)習律.Yu等[9]對一類動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計了基于無源性的學(xué)習律,并在此基礎(chǔ)上對一類不同時間尺度的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計了無源的權(quán)重矩陣學(xué)習律[10].Ahn[11]將無源性理論引入到模糊Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析中,設(shè)計了一種保證系統(tǒng)輸入到輸出無源的權(quán)重矩陣學(xué)習律,并在該學(xué)習律基礎(chǔ)上附加一定的條件可使系統(tǒng)滿足輸入到狀態(tài)穩(wěn)定.然而,文獻[11]只對定常時滯情況進行了研究,對于時變時滯的情況目前還沒有人研究.

本文針對具有時變時滯的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性問題進行研究.首先,基于無源性理論,設(shè)計了一種權(quán)重矩陣學(xué)習律,并通過構(gòu)造模糊Lyapunov函數(shù),證明了該學(xué)習律可保證系統(tǒng)是無源的.然后,基于該學(xué)習律,證明了系統(tǒng)是從輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的.最后,通過一個仿真例子驗證了本文方法的有效性.

2 問題描述

考慮如下模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[13–14]:

規(guī)則i如果x1(t)是是那么

其中:i ∈表示第i條模糊規(guī)則;s ∈表示模糊規(guī)則個數(shù);表示基于前提變量xj的論域;βij ∈{1,2,···,sj}標識前提變量xj屬于論域上的第βij個模糊子集;sj是基于前提變量xj的論域上模糊子集個數(shù);x(t)=[x1(t)x2(t)···xn(t)]T是神經(jīng)元狀態(tài)向量;u(t)=[u1(t)u2(t)···um(t)]T∈是 外部輸入向量;τ(t)表示系統(tǒng)時變時滯,滿足0τ(t)τM;?(t)(?τMt0)表示系統(tǒng)狀態(tài)初始值;Ai=diag{ai1,ai2,···,ain}(aij>0,j=1,2,···,n)是自反饋矩陣;W1i(t)表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部聯(lián)系權(quán)重矩陣;W2i(t)∈表示時滯聯(lián)系權(quán)重矩陣;f(x(·))=[f1(x1(·))f2(x2(·))···fn(xn(·))]T∈表示神經(jīng)元激勵函數(shù),通常是滿足利普希茨條件的非線性函數(shù);Gi ∈是已知常數(shù)矩陣,反映外部輸入對神經(jīng)元狀態(tài)的影響程度.在不影響理解的前提下,本文用xt來代表x(t),ut來代表u(t).

則規(guī)則i標準化后的隸屬度函數(shù)為

運用標準模糊推理方法進行處理,再進行去模糊化,得到的全局模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可表示為

hi為hi(x(t))的簡寫,τ為τ(t)的簡寫.

以下為本文中比較重要的幾個定義和引理.考慮如下的系統(tǒng):

定義1[12]如果存在一個非負常數(shù)δ和半正定函數(shù)?(·)0滿足

則稱系統(tǒng)從輸入u(t)到輸出y(t)是無源的.

引理1[15]連續(xù)函數(shù)V(·):對于任意x(t)∈如果存在K∞函數(shù)α和β使得

成立,則稱系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的.

引理2[11]給定適當維數(shù)矩陣或向量U和V,對于任意正實數(shù)α,不等式

總是成立的.

3 主要結(jié)論

本節(jié)基于模糊Lyapunov函數(shù),對如式(1)所描述的T–S模糊時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)設(shè)計了系統(tǒng)輸入到輸出無源的權(quán)重矩陣學(xué)習律,并證明了在該學(xué)習律下,系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的.

定理1給定對稱矩陣S >0,如果存在式(12)所定義的對稱矩陣Pi >0(i=1,2,···,s)使得線性矩陣不等式(7)和(9)成立,且權(quán)重矩陣W1i(t),W2i(t)(i=1,2,···,s)分別遵循式(9)和式(10)的學(xué)習律,則系統(tǒng)(2)是從外部輸入到輸出無源的.輸出y(t)∈如式(11)所示.

證考慮如下Lyapunov函數(shù):

是沿路徑Γ(0,x)的積分函數(shù),ν(xt)=對V(xt)沿著系統(tǒng)(2)的狀態(tài)運動軌跡對時間t求導(dǎo)得

如果權(quán)重矩陣W1i(t)和W2i(t)分別滿足式(9)和式(10),則有

對上式兩端從0到t作積分,可以得到

根據(jù)定義1可得,系統(tǒng)從外部輸入到輸出是無源的.定理1得證. 證畢.

以下定理證明了在上述學(xué)習律的條件下,系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的.

定理2在條件(7)和(9)滿足的前提下,權(quán)重矩陣學(xué)習律(9)和(10)使得系統(tǒng)(2)是從輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的.

證根據(jù)引理2可知

由式(14)可得

其中

其中:α1,α2,α3為任意大于0的正數(shù),表示最大特征值,表示最小特征值.不難看出,如果S存在,總能夠找到任意的α1,α2,α3使得>0.根據(jù)引理1,系統(tǒng)(2)是從輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的.

定理2得證. 證畢.

4 仿真實例

在這節(jié)中,將通過數(shù)值仿真來驗證本文所提方法的有效性.

例1考慮以下模糊系統(tǒng):

規(guī)則1 如果x1(t)是接近“0”的,那么

規(guī)則2 如果x1(t)是接近“1”或“?1”的,那么

其中相應(yīng)參數(shù)為

隸屬度函數(shù)定義如下:

W21(t),W12(t),W22(t)有類似定義,τ(t)=0.4+0.4 cost,則τM=0.8,u(t)=[0.2 sint0.2 cost]T,?(t)≡[0.5?0.4]T(?τMt0),各個權(quán)重矩陣在t=0時刻的初始值為

本文在仿真時發(fā)現(xiàn),當Pi(i=1,···,s)較大時,系統(tǒng)軌跡震蕩較大.為了避免系統(tǒng)劇烈的震蕩,在求解LMIs(7)–(9)時加入以下條件以求得盡可能小的Pi值.

取S=運用MATLAB中LMI工具箱對式(7)–(9)及式(16)求解,可得

系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖如圖1所示.權(quán)重矩陣隨時間變化如圖2–5所示.由圖可知,運用本文所提的方法,系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖Fig.1 System state trajectories

圖2 W11(t)更新過程Fig.2 W11(t)update process

圖3 W12(t)更新過程Fig.3 W12(t)update process

圖4 W21(t)更新過程Fig.4 W21(t)update process

圖5 W22(t)更新過程Fig.5 W22(t)update process

文獻[11]基于公共Lypunov 的方法設(shè)計了模糊Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種權(quán)值學(xué)習律.令本文中的P1=P2=···=Ps=P,則本文中的結(jié)論將退化為文[11]中的結(jié)論.利用LMI工具箱可得如下解:

系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖的對比如圖6–7所示,不難看出,采用本文給出的學(xué)習律,系統(tǒng)的狀態(tài)震蕩比文[11]要小一些.

圖6 x1對比圖Fig.6 x1comparison

圖7 x2對比圖Fig.7 x2comparison

5 結(jié)論

本文對一類帶有時變時滯的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題進行研究,基于無源性理論,給出了一種新的權(quán)重矩陣學(xué)習律,通過構(gòu)造模糊Lyapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)是輸入到輸出無源的,并在此基礎(chǔ)上證明了系統(tǒng)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的.最后,通過數(shù)值仿真,驗證了本文所提方法的有效性.